24.7(1)向量的线性运算
向量的线性运算 讲义-2024-2025学年沪教版(上海)九年级数学第一学期
《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。
这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。
那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。
有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。
那风筝线就好像是一个向量。
风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。
所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。
咱们再来说说向量的表示方法。
通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。
就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。
在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。
比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。
一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。
还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。
然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。
那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。
咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。
这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。
2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。
想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。
你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。
那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。
在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。
24.7 向量的线性运算
第24章 第四节 平面向量的线性运算§24.7向量的线性运算 教学目标(1)知道向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，会画图表示简单的线性运算结果.(2)知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量用两个给定的不平行向量的线性组合表示。
(3)知道向量的分解式，能画出平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。
(4)在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法。
教学重点让学生理解向量的线性运算的含义，知道向量的线性组合。
引进向量的分解式，帮助学生学会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。
知识精要1.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。
2.如果a b 、是两个不平行的向量，x y 、是实数，那么xa yb +叫做a b 、的线性组合。
3.如果a b 、是两个平行的向量，c ma nb =+(m n 、是实数)，那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成。
用a b 、的线性组合表示向量c ，也可以说是对向量c 分解。
这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a b 、方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a b 、的分解式。
4.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。
用作图的方法，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。
经典题型解析(一)向量的线性组合例1.如右图，已知两个不平行的非零向量a b 、，求作满足 关系式3(3)2(4)a x b x -=-的向量x 。
a b随堂练习：如图，已知两个不平行的向量a 、b ，求作：3()(3)2a b a b ---。
b a例2.(1)已知在ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，//DE BC ，且2AD DB =。
若AB a =，AC b =，则向量DE 可用a b 、表示为___________。
向量的线性运算向量的加法和数乘
向量的线性运算向量的加法和数乘向量的线性运算：向量的加法和数乘向量是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，向量的线性运算是一项基础且重要的内容。
本文将重点介绍向量的加法和数乘两种线性运算，以及它们的性质和应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置上的元素进行相加得到一个新的向量。
设有两个向量：向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和向量B = (b₁,b₂, ..., bₙ)，则它们的加法可表示为：A +B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)其中，a₁ + b₁表示A和B的第一个元素相加，a₂ + b₂表示A和B的第二个元素相加，以此类推。
需要注意的是，参与加法运算的两个向量必须有相同的维度，即拥有相同数量的元素。
向量的加法具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。
即向量的加法满足交换律，顺序可以交换而不影响结果。
2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。
即向量的加法满足结合律，可以按照任意顺序进行多次加法运算。
3. 零向量：对于任意向量A，存在一个全零向量0，使得A + 0 = A。
即任何向量与零向量进行加法运算，结果仍为原向量本身。
向量的加法有着广泛的应用，例如在力学中，将多个力的作用效果用向量的加法表示；在几何学中，将多个向量的位移用向量的加法表示等等。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数乘以一个向量的每个元素得到一个新的向量。
设有一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)，实数k，则它们的数乘可表示为：kA = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ)即向量A的每个元素都乘以k得到新的元素。
这里的实数k称为标量，而向量A称为向量kA的标量倍。
需要注意的是，标量与向量进行数乘时，不改变向量的维度。
向量的数乘具有以下性质：1. 结合律：对于任意实数k₁和k₂以及向量A，有(k₁k₂)A =k₁(k₂A)。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
24.7(1)向量的线性运算
例题2：已知：两个不平行的向量 a 、 b
7 求作： a b a 2b 2
b
a
注：先化简，再画图
了解概念： 向量，c
一般来说，如果 a 、b
c xa yb
是两个不平行的 是平面内的一个向量，那么 其中x、y是实数
叫做 a 、 b 的线性组合
例题3： 如图，点M是△CAB的边AB的中点．设 CA a ，CB b ，试用 a 、b 的线性组合
表示向量 CM
C
A
M
B
24.7 向量的线性运算（1）
一、复习： 1、平面向量定理：
平行，那么 a 如果向量 b 与非零向量
存在唯一的实数k,使 b ka
如果存在唯一的实数 k, 使 b ka 反之：
那么 a 0 ， b∥a
2、向量加法的平行四边形法则（画图演示）
步骤：（1） 两个向量通过连接到一起 以连接后的这两个向量为 （2） 邻边向量构造平行四边形
这个平行四边形的对角线向 （3）量就是这两个向量的和向量 与差向量
3、向量加法和减法的三角形则
加法： 一终二起，一起二终 减法：共起点指向被减
例题1：已知两个不平行的向量 a
．
二、法则运用
、b
求作：3a 2b 、
b a
a 2b
向量的加法、向量的减法、实数 小结： 与向量的乘法以及它们的混合运 算叫做向量的线性运算
沪教版(上海)九年级上册数学 24.7 向量的线性运算 课件(共17张ppt)
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
D
C
5
≈5.4
A2 B
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
向量加法运算及其几何意义
流方向，所以∠DAC即为所 求
课堂练习：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
（2）已知
|
r a
|
8,|
r b
|
6, 则
|
r a
r b
|
的最大值是
__1_4__
下面我们学习向量的线性运算。
❖ 向量加法的定义：我们把求两个向量 a, b
和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a, b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B A
向量加法的平行四边形法则
a
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
沪教版数学九年级(上学期)一课一练及单元测试卷和参考答案
沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1） 3 24.2 比例线段（1） 6 24.3三角形一边的平行线第一课时（1） 10 24.3三角形一边的平行线第二课时（1） 14 24.3三角形一边的平行线第三课时（1） 19 24.3三角形一边的平行线第四课时（1） 22 24.4相似三角形的判定第一课时（1） 25 24.4相似三角形的判定第二课时（1） 29 24.4相似三角形的判定第三课时（1） 33 24.4相似三角形的判定第四课时（1） 37 24.5相似三角形的性质第一课时（1） 43 24.5相似三角形的性质第二课时（1） 47 24.5相似三角形的性质第三课时（1） 52 24.6实数与向量相乘第一课时（1） 57 24.7向量的线性运算第一课时（1） 62 九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一 67 第二十五章锐角三角比25.1锐角三角比的意义（1） 72 25.2求锐角的三角比的值（1） 75 25.3 解直角三角形（1） 7925.4 解直角三角形的应用（1） 84 九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一 90 第二十六章二次函数26.1 二次函数的概念（1） 9426.2 特殊二次函数的图像第一课时（1） 98 26.2 特殊二次函数的图像第二课时（1） 102 26.2 特殊二次函数的图像第三课时（1） 106 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1） 111 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第二课时（1） 116 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第三课时（1） 121 九年级(上)数学第二十六章二次函数单元测试卷一 126 参考答案 132数学九年级上第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）一、选择题1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 一个角为30 的等腰三角形D. 两个等边三角形2下列各组图形中一定是相似多边形的是（）A. 两个平行四边形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个菱形3某两地的实际距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（）A 1:200B 1:2000C 1:20 000D 1:200 0004. 下列不一定是相似形的是（）A. 边数相同的正多边形B. 两个等腰直角三角形C. 两个圆D. 两个等腰三角形5. 下列给出的图形中，是相似形的是（）A. 三角板的、外三角形B. 两孪生兄弟的照片C. 行书中的“中”楷书中的“中”D. 同一棵树上摘下的两片树叶6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A. 两个直角三角形B. 两个平行四边形C. 两个矩形D. 两个等边三角形7下列图形中，相似的有（）①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片④用同一底片洗出的两大小不同的照片A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组8. 对一个图形进行放缩时，下列说确的是（）A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变C. 图形中线段的长度保持不变，角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变，角的大小都保持不变二、填空题9. ABC ∆与'''A B C ∆相似，则它们的对应角，对应边。
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。
这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。
通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。
但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。
2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。
2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。
2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。
3.分组学生，进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。
2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。
3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
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24.7向量的线性运算（1）
一、教学目标
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.
2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．
二、教学重点及难点
线性运算的意义，线性组合的概念；
线性组合的简单应用.
三、教学用具准备
三角尺、多媒体演示设备
四、学情分析
本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念．
六、教学过程设计
（一） 新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
（二）探索新知
例题1 已知两个不平行的向量.,b a
求作：23+，2-.
解:略
例题2 已知两个不平行的向量.,b a 求作：).22
7()(--+
揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如23+，2-、)5(3+等，都是向量的线性运算. 如果,是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么y x +叫做,线性组合.如,两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示.
例题3 如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点.设CA =a ，b CB =，试用.,b a 的线性组合表示向量CM
（三）巩固练习
书本P49 练习24.7（1）
（四）课堂小结
（五）作业布置
练习册24.7（1）
_ C _ E
→a
→
a →b。