向量及其线性运算
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算1.空间向量及其线性运算【知识点的认识】1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.f f2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为I, II特别地：f①规定长度为0的向量为零向量，记作0;②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.ff4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如的相反向量记为. _5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.6.注意：f①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.1.加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.BA = OA - OB = a - b2 .加法运算律: 空间向量的加法满足交换律及结合律.(1)交换律：+3.推广: (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:1 2 + 2 3 + 3 4 +^+ _1(求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1 .空间向量的数乘运算④|入|=|入|・加法的三甬形法则 加法的平行四边形法贝ij 减法的三眉形法则 一 的长度是 的长度的|入|倍.(2)结合律：(+ ) ++( + )•1 2 +2 3 + 3 4 +一 + 一1=0.实数入与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算. ①当入 >0时 一与的方向相同;②当入<0时 一与的方向相反; ③当入=0时 一 0.空间向量的数乘满足分配律及结合律.一②(入+P )=+一一 (2)结合律：()=( )A<0(1)分配律:一 一 ①（+ ）= + 注意：实数和空间向量可 行数乘运算，但不能进行加减运算，如 等无法计算.。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
07.1 向量及其线性运算
多边形法则还适合于平行向量的和
b
a
ab
b
b
ab
a
b
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的减法
向量 a 和 b 的 差: a - b = a + (-b)
b
a
b
a (b )
ab
减法的三角形法则
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的表示：
AB
a
AB
B
终点
A
起点
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的模（大小、长度）： a AB
AB
A
B
The magnitude or length of a vector
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法
矢量 a 和 b 的 和 （sum）
ab
b b
a
向量加法的三角形法则
The Triangle Law
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
1. 向量的加法和减法
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法的物理背景
力的合成：合力
f2 f1
f1 f 2
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法的物理背景
2 数乘向量
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
数乘向量的物理背景
数与力的乘积：
F
2F 2 F
2F
1 2
向量的线性运算及其性质
向量的线性运算及其性质向量是线性代数中的重要概念，是指由一组数按照一定规律排列而成的有序数列。
向量的线性运算是指在向量空间中，对两个或多个向量进行数学运算的过程，其中包括向量加法和数量乘法等两种基本运算。
一、向量加法向量加法是向量运算中最基本的一种运算方式。
在向量空间中，向量加法的定义是两个向量相同位置上的数值相加。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的加法定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)在向量加法中，满足加法交换律和结合律。
即对于任意向量a,b,c，有：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)此外，零向量也是一个特殊的向量，它的各个分量都为0，记为0。
对于任意向量a，都有：a+0=a二、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个常数。
常数也称为标量，表示为k。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)，其数量乘法定义为：ka=(ka1,ka2,ka3)在数量乘法中，也满足交换律和结合律。
即对于任意向量a，b 和任意实数k，有：k(a+b)=ka+kb(k1k2)a=k1(k2a)此外，特别地，当k=0时，有：0a=0这个公式表示了任何向量与零向量相乘结果都是零向量。
三、线性组合如果给定一个向量集合，可以通过线性组合的方式来构造出一个新的向量。
线性组合的形式是将每个向量分别与对应的系数相乘后相加，例如：k1a1+k2a2+k3a3其中k1，k2，k3为实数，a1，a2，a3为向量。
线性组合可以看作是向量加法和数量乘法的叠加，它有着很多重要的性质。
线性组合是向量空间中的重要概念，它可以用于描述向量之间的关系。
四、向量空间向量空间是指一组向量所组成的空间，其中的向量可以进行向量加法和数量乘法等线性运算。
向量空间必须满足以下条件：1. 零向量存在并唯一。
2. 加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
3. 对于任意向量a，都有它的相反向量-b，使得a+b=0。
向量及其线性运算
a
0
a与a 反向，| a || | | a |
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
a 同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | a0
|
a a
|
a
0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的线性运算
1.
向量加法：
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
向量代数向量及其线性运算向量及其线性向量代数线性运算
第1讲 向量代数—向量及其线性运算主要内容1 向量的概念2 向量的线性运算3空间直角坐标系4利用坐标进行线形运算5向量的模、方向角、投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数在平面解析中. 通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题.这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.第一节 向量及其线性运算一、向量的概念.既有大小，又有方向。
例如位移、速度、加速度等等。
二、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法定理1 设向量0≠a , 那末向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使a b λ=.定理1是建立数轴的理论依据. 我们知道，确定一条数轴, 需要给定一个点、一个方向及单位长度. 由于一个单位向量既确定了方向, 又确定了单位长度, 因此, 只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.三、空间直角坐标系特钲四、利用坐标进行线形运算(=+b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()+++++(=-b ak b a j b a i b a z z y y x x )()()-+-+- (=aλk a j a i a z y x )()()λλλ++五、向量的模、方向角、投影性质1 ϕcos ||Pr a a j u = （ϕ为向量a与u 轴的夹角）;性质2 b j a j b a j u u uPr Pr )(Pr +=+;性质3 a j a j u uPr )(Pr λλ= （λ为实数）.例题选讲：1.向量的线性运算例1 化简 13325.25b a a b b ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭例2 在平行四边形ABCD 中, 设,,AB a AD b == 试用a和b 表示向量,,MA MB MC 和MD, 这里M 是平行四边形对角线的交点.解：由对角线互相平分，所以()2,a b A C A M +==即()2,a b MA -+=于是1()2MA a b =-+，111(),(),()222MC a b MD b a MB a b =+=-=-例3 在x 轴上取定一点O 作为坐标原点. 设A , B 是x 轴上坐标依次为21,x x的两个点, i是与x 轴同方向的单位向量, 证明 21().AB x x i =-2.空间两点间的距离例4 已知点)10,3,4(),4,1,2(B A ，写出以线段AB 为直径的球面方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22
333
2222
e1 (1,0, 0),e2 (0,1,0),e3 (0, 0,1).
e1 (1,0, ,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1).
二、n 维向量的线性运算 设向量
(a1, a2 , , an ), (b1,b2 , ,bn),
1.加法: (a1 b1,a2 b2 , , an bn ) 2.减法: (a1 b1,a2 b2 , , an bn )
A
a21
a22
a1n a2n
(ai1, ai2 , , ain ) i 1,2, m.
m1 m2
mn
矩阵 A的行向量
a1 j a
a2
j
amj
矩a阵 A的列向a量
(a1 j , a2 j , , amj )T j 1,2, ,n
0 = ( 0,0,··,0 )
零向量
(a1,a2 , ,an
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性 表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示， 则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。
练习
设1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1,1) 证明:{1,2 ,3}与{1,2 }等价。
证明：设3 =k11+k22 ,即
(4,1, 1)=k1(1, 2, 1) k2 (2, 3,1)
4 k1 2k2,
1
2k1
3k2
,
1 k1 k2.
kk12
2, 1.
故3 =21+2.
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
n 维向量
n 维向量及其线性运算
一、n 维向量的概念
1.定义1: 由数a1,a2, an组成的有序数组，称为
n维向量，简称为向量。
向量通常用斜体希腊字母, , 等表示。
(a1, a2 , , an ), a1 列向量
行向量
a2
(a1, a2
,
ai 第i个分量
an
, an )T
a11 a12
k1, k2， ,km使
k11 k22 kmm
则称向量可由向量1,2 , ,m线性表示， 或称向量是向量1,2 , ,m的线性组合。
(a1, a2 , , an ) a1e1 a2e2 anen
例1：设1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1) 证明：3是1,2的线性组合。
前面我们学习了行列式和矩阵，主要研究了： 行列式的计算，包括：
2，3阶行列式的计算，n阶行列式的计算， 4阶行列式的计算。 关于矩阵，主要包括：
矩阵的线性运算，矩阵的乘法运算，
矩阵的转置运算， 矩阵的秩，
矩阵可逆的条件及逆阵的求法， 分块矩阵及矩阵方程。 初等变换-----最重要和最经常使用的工具。 梯形阵， 初等矩阵。
负向量
)
维数相同，即同型。ai源自bi ,i1,2,
, n.
2.定义2: (a1, a2 , , an ),数值 a12 a22 an2 称为向量的长度或范数或模,记为 .
0 0 0 0
1称为单位向量。
( 1 , 1 ), ( 1 , 1 , 1 ), (1 , 1 , 1 , 1 ).
3可由1,2线性表示。
例2：设 n 维向量组1,2 , ,n , 若e1,e2, , en可由它
们线性表示，证明1,2 , ,n与 e1, e2 , , en等价。
证： 1,2, ,n显然可由e1, e2 , , en线性表示，
又由题设e1, e2 , , en 可由 1,2 , ,n线性表示
1,2 , ,n与e1, e2 , , en等价。
3.数乘: k (ka1, ka2 , , kan )
线性运算满足8条运算规律.
,
k( ) k k ,
( ) ( ), (k l) k l ,
0 0,
k(l ) (kl) ,
0.
1 .
4 .线性组合
定义: 设向量,1,2 , ,m，若存在一组数