高等代数课件-§1 向量及其线性运算
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《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
线性代数向量及其线性运算 ppt课件
称为数ｋ与向量α的数量积.
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
第一节向量及其线性运算共55页PPT
第一节向量及其线性运算
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
高等数学2017年最新课件向量及其线性运算
a
和结合律: (a+b)+c=a+(b+c).
2向量的减法
设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量 ,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b).特别是 a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到 向量a 上去
a -b a-b
3,数乘向量
z
y
x
上下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一 个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一 个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面 的四个卦限按逆时针分成1，2，3，4卦限；下面的四个卦限
按逆时针分成5，6，7，8卦限
过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量, 记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与 任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的 终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向 量共线.
二
向 量 的 线 性 运 算
向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算. 1,向量的加法 规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边, 对角线为它们的和.(称为平行四边形法). 把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量 的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形 法则)
b
c
c
b b c d
a a 向量加法的平行四边形法则与
a
三角形法则是一致的,这从上面 可明白地看出.但多个向量相加 a+b+c+d
时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次 首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点 为终点的向量即是所求的和向量.
大学高数向量及其线性运算
03 解空间的性质可以通过线性代数中的概念和定理 进行描述。
04
向量的线性变换
向量线性变换的定义与性质
定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映射。
性质
线性变换保持向量的加法性质和标量乘法性质，即对于任意向量$x$、$y$和标量 $k$，有$T(x+y)=T(x)+T(y)$和$kT(x)=T(kx)$。
应用
特征值和特征向量在解决实际问题中 具有广泛的应用，如求解线性方程组、 判断矩阵的稳定性、计算矩阵的逆和 行列式等。
05
向量的应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
01
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力与分力。
速度和加速度
02
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的函数，通过
向量运算来描述物体运动状态的变化。
数乘
数乘是指一个实数与向量的乘积，其实质是向量的长度或模的伸缩。设实数$k$与向量 $overset{longrightarrow}{A}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{A}$，其长度为 $|koverset{longrightarrow}{A}| = |k| times |overset{longrightarrow}{A}|$。
向量的减法与向量的共线
要点一
向量的减法
向量减法是通过加法来实现的，即 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} overset{longrightarrow}{B}$等同于 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + (overset{longrightarrow}{B})$。
04
向量的线性变换
向量线性变换的定义与性质
定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映射。
性质
线性变换保持向量的加法性质和标量乘法性质，即对于任意向量$x$、$y$和标量 $k$，有$T(x+y)=T(x)+T(y)$和$kT(x)=T(kx)$。
应用
特征值和特征向量在解决实际问题中 具有广泛的应用，如求解线性方程组、 判断矩阵的稳定性、计算矩阵的逆和 行列式等。
05
向量的应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
01
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力与分力。
速度和加速度
02
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的函数，通过
向量运算来描述物体运动状态的变化。
数乘
数乘是指一个实数与向量的乘积，其实质是向量的长度或模的伸缩。设实数$k$与向量 $overset{longrightarrow}{A}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{A}$，其长度为 $|koverset{longrightarrow}{A}| = |k| times |overset{longrightarrow}{A}|$。
向量的减法与向量的共线
要点一
向量的减法
向量减法是通过加法来实现的，即 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} overset{longrightarrow}{B}$等同于 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + (overset{longrightarrow}{B})$。
《向量及其代数运算》课件
《向量及其代数运算》PPT课 件
CONTENTS
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积 • 向量的混合积
01
向量的定义与表示
向量的定义
总结词
向量的定义
详细描述
向量是一种有方向和大小的量，通常用有向线段表示。在二维空间中，向量可 以用一个有序对（x, y）表示，其中x和y是实数。在三维空间中，向量可以用一 个有序三元组（x, y, z）表示。
02
向量的加法与数乘
向量的加法
定义
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一 个新的向量。
性质
向量加法满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
几何意义
向量加法在几何上表示平行四边形的对角 线向量。
数乘运算
定义
数乘运算是指将一个实数与一个向量相乘 ，得到一个新的向量。
性质
向量的表示方法
总结词
向量的表示方法
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。在坐标表示中，向量的起点可以设为原点， 终点坐标即为该向量的坐标。箭头表示法则是通过一个带箭头的线段来表示向量，箭头的长度和方向分别代表向 量的模和方向。
向量的模
总结词：向量的模
详细描述：向量的模是指向量的长度或大小，记作|a|，其中a是一个向量。向量 的模可以通过勾股定理计算得出，即|a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，其中x、y和 z分别是向量在三个坐标轴上的分量。
外积的运算性质
总结词
向量外积满足交换律和结合律，但不满足分 配律。
CONTENTS
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积 • 向量的混合积
01
向量的定义与表示
向量的定义
总结词
向量的定义
详细描述
向量是一种有方向和大小的量，通常用有向线段表示。在二维空间中，向量可 以用一个有序对（x, y）表示，其中x和y是实数。在三维空间中，向量可以用一 个有序三元组（x, y, z）表示。
02
向量的加法与数乘
向量的加法
定义
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一 个新的向量。
性质
向量加法满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
几何意义
向量加法在几何上表示平行四边形的对角 线向量。
数乘运算
定义
数乘运算是指将一个实数与一个向量相乘 ，得到一个新的向量。
性质
向量的表示方法
总结词
向量的表示方法
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。在坐标表示中，向量的起点可以设为原点， 终点坐标即为该向量的坐标。箭头表示法则是通过一个带箭头的线段来表示向量，箭头的长度和方向分别代表向 量的模和方向。
向量的模
总结词：向量的模
详细描述：向量的模是指向量的长度或大小，记作|a|，其中a是一个向量。向量 的模可以通过勾股定理计算得出，即|a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，其中x、y和 z分别是向量在三个坐标轴上的分量。
外积的运算性质
总结词
向量外积满足交换律和结合律，但不满足分 配律。
高等代数课件-§1 向量及其线性运算
其中O是任意取定的一点.
向，并且 0 AM AB ，所以 AM k AB,0 k 1. 任取一点O，由上式得 OM OA k (OB OA) ， 即 OM (1 k )OA kOB
AM OM OA ( OA OB) ( )OA (OB OA) AB
于是 AM 与 AB 共线，所以M在直线AB上.由于 0≤μ ≤1，所以M在线段AB上.
情形1 ：若λ ,μ 同号，则λ a与μ a同向，因 此 a a a a a a
同时 a a a , 于是 a a a , 并且当λ ,μ 同号时，显然 a a与 a 同 向，所以 a a a.
（2）λ(μa)=(λμ)a； （3）(λ+μ)a=λa+μa； （4）λ (a+b)=λ a+λ b. (1.1) (1.2)
关于（1）和（2）可用定义1.3直接验证.
（3）的证明 时，则等式（1.1）显然成立.
若a= 0 或者λ ,μ 中有一个为零
下面设λ ,μ 都不等于零，并且a≠ 0 .
2. 一个向量a可以用一条有向线段 AB 来表示，
3.我们今后把向量的大小也称为向量的长 度。向量a的长度记作 a . 量的方向不确定.
4.长度为零的向量称为零向量。记作 0 。零向
5.长度为1的向量称为单位向量.与a同向的单 a0 . 位向量记作 6.与a长度相等并且方向相反的向量称为a的 反向量，记作-a .
DC =μ b.
唯一性: 假如c=λ a+μb=λ 1a+μ 1b,则有 (λ -λ 1)a+(μ -μ 1)b= 0 ， 因为a与b不共线，根据推1.1即得 λ -λ 1=0，μ -μ 1=0， 于是λ =λ 1，μ =μ 1.
向量及其线性运算ppt课件
ax
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
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示b，再以OA和OB为边作平行四边形OACB，则 容易说明对角线 OC 也表示向量a和b的和c（如图 1.5）.此法则称为向量加法的“平行四边形法 则”.
3.向量的加法适合下述规律： （1）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，其中a,b,c是 任意向量； （2）交换律：a+b=b+a，其中a,b是任意向量；
证明 必要性:设M在线段 AB 上，则 AM 与 AB 同
取λ =1-k，μ =k，则λ +μ =1，并且λ ≥0，μ ≥0.
充分性: 则 若对某一点O有非负实数λ ，μ 使得 OM OA OB, 且 1,
3.显然 0 与任意向量共线；共线的向量组一定共 面；两个向量一定共面；若a=λ b（或者b=μ a）， 则a与b共线. 4.命题1.1 若a与b共线，并且a≠0 ，则存在唯一 的实数λ 使得b=λ a. 证明 存在性:若 b 0，命题显然成立。否则， 若a与b同向，则b0=a0，从而有
1.2 向量的加法
1.定义1.1 对于向量a，b，作有向线段 AB 表 示a，作有向线段 BC 表示b，把 AC 表示的向量
c称为a与b的和，记作c=a+b（如图1.4）
由这个公式表示的向量加法规则通常称为 “三角形法则”.
2. 也可以从同一起点O作 OA 表示a，作 OB 表
实变函数
概率统计
数学分析 （280）
复变函数
常微分方程
数学物理方程
泛函分析 拓扑学
高等代数 （160） 解析几何 （40）
抽象代数
微分几何
第一章
向 量 代 数
§1 向量及其线性运算
1．1 向量的概念
1. 既有大小、又有方向的量称为向量（或矢 量）. 向量用符号a, b, c, … 表示。
用这条线段的长度|AB|表示a的大小，用起点A 到终点B的指向表示a的方向（如图1.2）.
a b c a (b c ).
（2）作 OA 表示a，作 OB 表示b，以OA和OB为 边作平行四边形OACB，则 OC a b ，并且 BC a，从而
0 （3）作 AB 表示a， 可用 BB 表示，于是
7.命题1.3 若c=λ a+μ b，则a，b，c共面.
证明 若a∥b，则a，b，c共线，从而它们共 面.若a与b不平行，则当λ >0，μ >0时，由图 1.9知，a，b，c共面.对λ ,μ 的其他取值情况， 可以类似讨论.
8. 命题1.4 若a，b，c共面，并且a与b不共线， 则存在唯一的一对实数λ,μ使得 c=λ a+μ b.
2. 一个向量a可以用一条有向线段 AB 来表示，
3.我们今后把向量的大小也称为向量的长 度。向量a的长度记作 a . 量的方向不确定.
4.长度为零的向量称为零向量。记作 0 。零向
5.长度为1的向量称为单位向量.与a同向的单 a0 . 位向量记作 6.与a长度相等并且方向相反的向量称为a的 反向量，记作-a .
其中O是任意取定的一点.
向，并且 0 AM AB ，所以 AM k AB,0 k 1. 任取一点O，由上式得 OM OA k (OB OA) ， 即 OM (1 k )OA kOB
（2）λ(μa)=(λμ)a； （3）(λ+μ)a=λa+μa； （4）λ (a+b)=λ a+λ b. (1.1) (1.2)
关于（1）和（2）可用定义1.3直接验证.
（3）的证明 时，则等式（1.1）显然成立.
若a= 0 或者λ ,μ 中有一个为零
下面设λ ,μ 都不等于零，并且a≠ 0 .
证明 必要性: 设a，b，c共面，若a与b不 共线，则有实数λ ,μ 使得c=λ a+μ b.即
λ a+μ b+(-1)c= 0 . 若a∥b，则有不全为零的实数λ ,μ 使得 λ a+μ b= 0 ，从而有 λ a+μ b+0c= 0 .
充分性:不妨设k1≠ 0 ，则由(1.4)式得 因此a，b，c共面.
6. 容易看出，对于任意向量 a，b，都有
a b a b,
这个不等式称为三角形不等式，它是用向量的 形式表示：三角形的一边不大于另两边的和.
1.3 向量的数量乘法
1.定义1.3 实数λ 与向量a的乘积λ a是一个向量, 其长度为 a : a ，
其方向当λ >0时与a相同，当λ <0时与a相反.
[ (1 )]a ( )a a ( )a a ( a) a b.
AB 若a和b不平行，那么当 0 时，作 OA， 分别 表示a，b，于是 OB 表示a+b；作 OC ， 分别表 OD 示λ a，λ b（如图1.8）.
（3）对任意向量a，有a+ 0 =a；
（4）对任意向量a，有a+(-a)= 0 .
证明： （1）作 OA 表示a，作 表示b， AB 作 BC 表示c（如图1.6），则
a b c OA AB BC OB BC OC, a (b c) OA ( AB BC) OA AC OC,
a ,
情形2 ： 若λ ,μ 异号，由于λ 和μ 的地位是对称 的，因此不妨设λ >0,μ <0.又分以下三种情形： 2.1） 若λ +μ ＝0，则等式（1.1）的左边为 0 右边为 a a a 1a a a 0, 因此（1.1）式成立. 2.2） 若λ +μ >0,因为λ +μ >0，-μ >0，于是由 情形1知 a a ( )a,
b a OB BC OC a b
a 0 AB BB AB a.
（4）作 AB 表示a，则 a (a) AB ( AB) AB BA AA 0. 4.本书中用符号“A:=B”表示用B来规定A， 读作“A定义成B”.
证明 存在性: 从同一起点O作 OA a, OB b, OC c. 过C作CD∥OB，且与直线OA交于D. （图1.10） 因为 OD与a共线，所以有实数λ 使得 OD =λ a.
同理有
因此有 c OC OD DC a b.
k3 k2 a b c, k1 k1
10.推论1.2 a,b,c不共面的充分必要条件是:从 (1.4)式成立必可推出k1= k2= k3= 0 .
11. 例1.1 试证：点M在线段AB上的充分必要条 件是：存在非负实数λ ,μ 使得
OM OA OB, 且 1,
0 对任意向量a， a 0 ；对任意实数 有 0 0
1 0 设a 0 , 则 a a a ,
a 0 . 这种方法称 这样可得到与a同向的单位向量
为把a单位化.
2. 向量的数量乘法适合下述规律：对于任意向量 a，b和任意实数λ,μ，均有
（1）1a=a，（-1）a=-a；
b=|b|b0=|b|a0=|b|(|a|-1a)=(|b||a|-1)a, 取λ =|b||a|-1，即得b=λ a.若a与b反向，可以 类似讨论. 唯一性:假如b=λ a=μ a，则（λ -μ ）a= 0 ， 因为a≠ 0 ，所以λ -μ = 0 ，即λ =μ .
5. 命题1.2 a与b共线的充分必要条件是存在 不全为零的实数λ ，μ ，使得 λ a+μ b= 0 . (1.3) 证明 必要性: 设a与b共线，若 a=b= 0 ，则 有1a+1b= 0 . 若a与b不全为 0 ，不妨设a≠ 0，则存在实数λ使得 b=λa，从而有λ a+(-1)b= . 0 充分性: 若有不全为零的实数λ ，μ 使得(1.3)式 成立，不妨设λ ≠0，则由(1.3)式得，因此a与b共 线. 6.推论1.1 a与b不共线的充分必要条件是：从(1.3) 式成立必可推出λ =μ =0.
则 OAB∽ OCD ，从而D必在直线OB上，于是OD 表示λ (a+b)；OD 表示λ a+λ b，所以有
λ (a+b)=λ a+λ b.
当λ <0时可以作类似讨论.
1.4 共线（共面）的向量组
1. 设a1，a2，…，an是一组向量，k1，k2，…， kn是一组实数，则k1a1+k2a2+…+knan是一个向量， 称它是向量组a1，a2，…，an的一个线性组合， 称k1，k2，…，kn是这个组合的系数. 2. 定义1.4 向量组若用同一起点的有向线段 表示后，它们在同一条直线（或同一个平面）上， 则称这个向量组是共线的(或共面的). 若a与b共线，则记作a∥b.
DC =μ b.
唯一性: 假如c=λ a+μb=λ 1a+μ 1b,则有 (λ -λ 1)a+(μ -μ 1)b= 0 ， 因为a与b不共线，根据推1.1即得 λ -λ 1=0，μ -μ 1=0， 于是λ =λ 1，μ =μ 1.
9. 命题1.5 向量 a，b，c共面的充分必要条件是 有不全为零的实数k1，k2，k3使得 k1a+k2b+k3c= 0 . (1.4)
情形1 ：若λ ,μ 同号，则λ a与μ a同向，因 此 a a a a a a
同时 a a a , 于是 a a a , 并且当λ ,μ 同号时，显然 a a与 a 同 向，所以 a a a.