第一节向量及其线性运算讲解
向量的线性运算
向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
10第一节向量及其线性运算
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量,记作 a .
规定: (1) 0, a与a同向, | a| | a|;
(2) 0,
a
0;
(3) 0, a与a反向,| a| | a| .
总之: | a|| ||a| . a
2a 1 a
2
数与向量的乘积符合下列运算律：
(1) 结合律： (a) ( a) ()a
零向量：模长为0的向量.
记为
0
.
4. 相等向量
若 a与 b的模相等且方向相同, 则称 a与 b相等 ,
记为
a
b
.
a
b
5. 两向量平行
两非零向量
a
与
b的方向相同或相反,
则称
a 与
b
平行
,
记为
a//
b
.
两向量
a与
b
平行
,
则 a与 b夹角为
0或
.
规定：零向量与任何向量平行.
两向量平行 , 又称两向量共线 或线性相关 .
| |
a
,
两式相减,
得
(
)a
0
,|
||
a|
0
,
| a| 0 , | | 0 , , 即是唯一的.
6. 推论
对数轴 Ou 上的任意一点 P , 轴上有向线段 OP
都可唯一的表示为 P 的坐标 u 与轴上单位向量 eu 的乘积 , 即 OP ueu .
例3 在 u 轴上取定一点 O 作为坐标原点. 设 A, B
s a3 a1
a2
向量加法符合下列运算律：
(1)
交换律：
a
b
b
线性代数-向量及其线性运算_图文
必满足
.
证法
进一步：P94 定理2.6
定理 向量组线性相关至少有一个向量可由其 余向量线性表示．
定理 向量组线性无关任何一个向量都不能由 其向量线性表示．
P96 例题9
如果向量组
线性无关，而向量组
线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.
证设
∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关， ∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 . 如果 k 0, 0, 那么
线性代数-向量及其线性运算_图文.ppt
注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector） １、引入
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角
机身的水平转角
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组
２、定义 ｎ个数
组成的有序数组
称为一个ｎ维向量，其中 称为第 个分量.
x=（c1,c2,…., cn)T
来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭 ②对数乘封闭
那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 .
解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量； 任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．
2) 运算规律
交换律 + = + . 结合律 + ( + ) = ( + ) + .
《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数
第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。
（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。
（3）向量的模：||AB 。
（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。
（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。
（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。
（7）自由向量：可自由平行移动。
（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。
（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。
（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。
2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。
3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。
|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。
4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。
（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
第一讲向量及其线性运算
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则 三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零 一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
2）.
向量的线性运算
1.4 在共线共面问题上的应用
于是 C 和A, B 共线 AC // AB 存在实数s, 使得AC = s AB
即 OC OA = s (OB OA) 存在实数s, 使得OC = (1s) OA + s OB OC 对OA, OB 可分解, 且分解系数之和为1. 充分性. 设OC = r OA + s OB, 其中r + s = 1, 于是 OC = (1s) OA + s OB, 即 AC = s AB. 因此 AC // AB, 从而 C 和A, B共线.
设又有 ＝ , 则( ) = = 0.
又 0 , 故 = 0 , 即 = .
充分性由平行定义易知.
注: 为方便, 将这里的数 记为
1.3 向量的分解
(2) 存在性. 从同一起点 O 作
OA = , OB = , OC = .
过 C 作 CD // OB, 且与直线 OA 交于 D.
1.4 在共线共面问题上的应用
由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线、共面问题以及线段的 定比分割问题等.
命题1.2 假设O, A, B不共线, 则点C 和A, B共线 的充分必要条件是: 向量OC 对OA, OB 可分解, 并且分解系数之和等于1. 证明: 必要性. 由于O, A, B不共线, 所以OA, OB不平行, 且AB 0.
注: 向量组共线就是其中任何两个向量平行, 向量组共面就是其中任何三个向量共面. 于是判别“两向量是否平行”, “三向量是否共面” 成为基本问题.
1.3 向量的分解
定理1.1 (向量分解定理)
(1) 设 为非零向量, 则 // (与共线) 当且 仅当存在唯一实数, 使得 = . (2) 若向量 , , 共面, 并且 与 不平行, 则 存在唯一的一对实数, 使得 = + .
向量的概念及线性运算
力的合成与分解
力的合成
当有两个或多个力同时作用于一个物 体时，这些力可以合成一个合力，合 力的大小和方向可以通过向量加法得 到。
力的分解
如果已知一个力的大小和方向，那么 这个力可以分解为两个或多个分力， 分力的大小和方向可以通过向量减法 和数乘得到。
速度和加速度的计算
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量，可以用向量表示，其大小等于位移的模与时间的比值，方向与物体运动方向 相同。
向量的概念及线性运算
目 录
• 向量的定义与表示 • 向量的线性运算 • 向量的数量积与向量积 • 向量的混合积与点积 • 向量线性运算的应用
01 向量的定义与表示
向量的定义
01
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02
向量的大小称为向量的模，记作|a|。
03
向量的方向由起点指向终点的箭头表示。
向量减法的定义
向量减法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点作为 结果向量的起点，以第一个向量的终点作为结果向量的终点。
向量减法的性质
向量减法满足交换律，即$vec{a} - vec{b} = vec{b} vec{a}$。
向量减法的几何意义
向量减法的几何意义是将两个向量的起点重合，然后以第一个向 量的终点为起点，第二个向量的起点为终点作一条新的量的点积定义
对于两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，其点积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中 $theta$是两向量的夹角。
几何意义
点积的几何意义是向量$mathbf{a}$与向量$mathbf{b}$在方向上的投 影长度之积。
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bx ax by ay
bz az
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x 3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y 3a 5b (11, 2,16)
练习：P12-1
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x 坐标面 :
坐标轴 : y
2. 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐标表系示下x,,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r xi y j z k (x, y,z)
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
M
r
OM
OP
OQ OR
o
Q y
由勾股定理得
P
x
N
r OM
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例 4 设P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为
到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
高等数学
第八章：空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 —坐标,方程（组）
基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
M B
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
o
A
中点公式:
x1 x2 2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
1.
设
向量的模与两点间的距离公式
r
(x,
y , z ), 作 OM
r,
则有
z R
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有与a同向的单位向量 a
1 a
a.
因此 a a a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
设四a、 利(aa用x,baa坐y,((标aazx)a作,x b,b向xa, (a量yby,x的,babyzy线,),baz性z),运bz为)算实数，则
=当>平a 行0向时量, 对应坐标成比例 bx by bz ax ay az
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之: a a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
解：因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
a4
a5
a3 s
a2 a1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的大小相等相同, 但方向相反的向量称为 a 的 负向量, 记作－a ;
1. 向量的加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
ab
b
ab b a
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
s a1 a2 a3 a4 a5
a
b
)
MD
1 2
(b
a
)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅳ
Ⅶ
x
x轴(横轴) Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量.
向量的模 : 向量的大小,
单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,