1.1直角三角形的性质和判定(I)

勾 湘教版 八年级数学（下册）
B
C
股
定
A
理
——数形结合之美
这个会徽的设计基础 是1700多年前，中国古代 数学家赵爽的弦图，是为 了证明勾股定理而绘制的。 经过设计变化成为含义丰 富的2002年国际数学家大 会的会标。
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
例2 D 已知：四边形ABCD中， ∠DAB＝∠DBC＝90º A
AD＝3，AB＝4，BC＝12
求：DC的长。
B
C
解：∵∠DAB＝90º
∴在Rt△ABD中，
BD2＝AD2＋AB2 ＝32＋42 ＝25
∴ BD＝5 同理可得 DC＝13
试一试:
1、已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为 5 或 7 . B
例题分析
例：在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
运用勾股定理
可解决直角三角形中边的计算或证明
B
？4
4？
C3 A
A3C
试一试:
2、如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm， 求正方形A、B、C、D的面积之和。
我探索了… … 我感受了… …
我知道了… … c2=a2+b2
勾 股 史话
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
• 在注作中，提出以「出入 相补」的原理来证明「勾 股定理」。后人称该图为 「青朱入出图」。
数学来源于生活， 服务于生活！
1、课堂作业：
课本16页，A组第1、3题；
2、查阅有关勾股定理的历史资料，及 证明方法，与同学交流。
法 证
cb
明
a
4.验证:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼
图
法 证
c
b
明a
∵S大正方形=c2
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4·12 ab+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
归纳定理： 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形两直角边分
4. 思考：任意三边的直角三角形也成立吗？
3.猜想:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
4.验证:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
4.验证:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼
图
法 证
cb
明
a
4.验证:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
用
拼
图
我国家国之是一。最早早在了三千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一一。早。在早三千在多三年千前，多年前，周 朝国家数之学一家。早商在高三千就多提年出前，，将一根直 尺国家折之成一一。早个在直三千角多，年如前，果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即 “国家勾之三一、。早股在四三千、多弦年五前，”，它被记 载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作 《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年比前 毕达哥拉斯 要国家早之了一五。早百在多三千年多。年前
别为a，b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
强调：勾股定理反映了直角三角形的 勾
股
三边关系。
变式运用：
cba
bca
cab
a
c
b
确定斜边
？
a2+b2 = c2 a2+c2 = b2 b2+c2 = a2
灵活运 用公式
c2=a2 +b2
a2= c2 - b2 b2= c2 - a2
• 勾股定理是几何学中的明珠，所以它 充满魅力，千百年来，1940年出版过 一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股 定理的证明专辑，其中收集了367种 不同的证明方法。这是任何定理无法
比拟的。勾股定理是人类最伟大的十 个科学发现之一 。
一、总统证法 美国第20任总统-伽菲尔德
a
S梯形

1 2
(a

b)(b
相传2500年前，毕达哥拉斯有一 次在朋友家里做客时，通过朋友家地 面上铺的地板砖中发现了直角三角形 三边的某种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
A
图乙
C
A
B
C B
图甲
SA+SB=SC
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 49 4 16 8 25
填表：若小方格的边长 为1.
思考：正方形A、B、C 的面积有什么关系？
C Aa c
b B 图甲
A
图乙
a
Bb c C
猜想:a、b、c 之间的关系？
SA+SB=SC
问题：边长为任意长度的直 角三角形还成立吗？
a2 +b2 =c2
SA+SB=SC C
Aa c b
图乙 a
bc C
图甲 B
SA+SB=SC
3.猜想:a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
a)

c
1 a2 ab 1 b2 1 c2 ab
2
22
c a
1 a2 1 b2 1 c2 222
b
a2 b2 c2
二、出入相补
• 刘徽（生于公元三世纪）
• 三國魏晋时代人。
• 魏景元四年（即 263 年） 为古籍《九章算术》作注 释。