直角三角形的性质与判定2
直角三角形的性质与判定(2)
C
解：找AB的中点D，连接CD。
1 ∴CD= AB=BD=AD 2
B
30 °
D
A
∵ ∠A=30° ∠BCA=90° ∴ ∠B=60 ° ∴ ⊿CBD为等边三角形
1 ∴BC=BD= AB 2
归纳结论
C 30
直角三角形性质定理2：
B
D
A
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半。
A
D C B
2.如图，在⊿ABC中， ∠CBA=90°, D是AC的中 点,AB=3 ,∠CBD=30°， 求AC的长
C
30 B
D A
小结： 直角三角形性质定理
在 直 角 三 角 形 中
斜边上的中线等于斜边的一半 30°角所对直角边等于斜边的一半
一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。
动脑筋 1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为 Rt⊿ABC斜边AB上的中线，则可得到哪 C 些相等的线段？ CD=BD=AD A B D 2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ ∠B=60° 3.⊿CBD是什么三 角形? 等边三角形 现在你能说出直角边BC与斜边AB的关 系，并写出推理过程吗？ 30
作业： 教材P93，3题 4题
问题：试着把上述性质的条件与结论 调换，仍然成立吗？
探究
如图，在Rt⊿ABC中， ∠BCA=90°,如果 1 BC= AB，那么∠A等于多少？ 2 C
分析： 同上可知⊿BCD是等边三角形 ∴ ∠B=60° ∴ ∠A=30°
B
D
A
归纳结论
直角三角形性质定理3：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
1.2.1直角三角形的性质与判定(2)
B
C
学后反思
• 通过今天的学习我解决了那些问题？我有 什么感受？我有什么收获？
复习回顾
1. 三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的 最大边长等于16cm，则最小边长是 cm。
复习回顾
2.在直角三角形中，最长边是2，最短边是1， 则最长边与最短边的夹角为 。
复习回顾
3.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC, DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿，BE=____。
1.2.1 直角三角形的 性质与判定（2）
30cm 40cm 50cm Nhomakorabea 巩固提升
1.在Rt△ABC中，∠C =90º . (1)已知a=25,b=15 ，求c； (2)已知a=5, c=9 ， 求b； (3)已知b=5, c=15 ，求a；
巩固提升
2、已知：如图, ∠B = ∠D =90º , ∠A=60º , AB=4,CD=2。求：四边形ABCD的面积。
合作共研
• 探究二：勾股定理内容是什么？ 它的条件是什么？结论又是什么？ 由上可得勾股定理：直角三角形两直角边 的 ,等于斜边的 。
即：
。
合作共研
例1、如图， ∠B=∠ACD =90º ,AD=13， CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
A
B
C D
合作共研
例 2 、小亮同学想把一根 70cm 长的木棒放长、 宽、高分别为50cm,40cm,30cm的盒子里， 你认为能放得进去吗？
教学目标
1、经历操作活动，探索勾股定理。 2、会用“勾股定理”解决有关简单实际问题。
自学自研
小亮同学想把一根 70cm 长的木棒放在长、 宽、高分别为50cm,40cm,30cm的盒子里， 你认为能放得进去吗？
直角三角形的性质与判定(2)第二课时
1、 什么是勾股定理？
2、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只 蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行 的最短路程( 取3）是多少？
合作交流，典例精析 例1：求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
x 81
144
144 y
169
z
576 625
合作交流，典例精析
变式1：已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6， S7的值
D
0
E
.
E
B
F
C
知识应用，体验成功
1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点
间加一个加固木条,则木条的长为( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
2、把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，
则其斜边（ ）
A.不变
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3
合作交流，典例精析
例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
0
.
E
C
D
B
合作交流，典例精析
变式：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点 F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长
A
到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是(
)
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
2
蛋糕 B
B8８A来自AAS3S4
S 0
2
.
S6
S1 S5
S7
合作交流，典例精析
变式2：如图，你还能求出 S1，S2，S3之间的关系吗？
直角三角形的性质及判定(2)
A
B
C
D
证明： 延长BC到D点，使DC=BC，连AD. ∵∠ACB=90˚， ∴∠ACD=90˚. 在ΔABD与ΔACD中， BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ ΔABC≌ΔADC. ∴AB=AD B
A
C
D
又∠BAC=30˚ ∴∠B=60˚ ∴ΔABD是等边三角形。
你还有其他方法证明吗？ 分析：
A
证明：
D
∴CD=BD=BC
∴∠B=60˚
∴∠A=30˚
B
C
结论
直角三角形的性质定理4：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于30˚。
几何语言： 如图，Rt∆ABபைடு நூலகம்中，
BC 1 AB 2
B
30˚
A
C
则∠A=30˚，
解：如图，在Rt∆AOD中， ∠AOD=90˚-60˚=30˚.
如图，AD是等边ΔABC的高，∠BAD等于多少度？ BD与AB又有什么数量关系？
擦去右边部分，对于Rt∆ABD，30˚的角所对的 直角边与斜边之间有何数量关系？
A
在直角三角形中，30˚的角所对的 直角边等于斜边的一半。
B D C
探究1
你能进行证明吗？ 点拨：从前面的操作中我们得到启发： 通过构造等边三角形就可以证明。
AD
1 2
北
A
60˚
AO
1 30 3 2 15 3 25 . 98 20
O
D
东
不会触礁。
做一做
A 解： CD AB , DB 1 BC 2
BCD 30 ,
D B C
(完整版)直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定一、知识要点1、直角三角形的性质：(1)在直角三角形中，两锐角 _____________________ ;(2) _________________________________________ 在直角三角形中，斜边上的中线等于■勺一半；(3) _______________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 _________________________________ ;(4) ________________________________________________________________________________ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 ____________________ 。
2、直角三角形的判定：(1) ____________________ 有一个角等于■勺三角形是直角三角形；(2) ____________________ 有两个角■勺三角形是直角三角形；(3) _________________________________________ 如果三角形一边上的中线等于这条边的 ____________________ 那么这例2、如图，在Rt△ ABC中, CD是斜边上的中线, CEL AB 已知AB=10cm DE=2.5crr，求CD和/ DCE个三角形是直角三角形。
二、知识运用典型例题例1、在厶ABC中，/ C=90°，/ A=30°, CD丄AB,⑴若BD=8求AB的长；(2)若AB=8求BD的长。
例3、如图，在△ ABC 中，/ C=90°，Z A=x °，Z B=2 x。
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版
一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对 要角 求线 出AACC的 的A长 长1最 ，m大 怎， 样B因 求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
DCAຫໍສະໝຸດ EB变式训练：如图，已知AD、BE分别是△ABC的 BC、AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中 点，则FG⊥DE，请说明理由。 C
E
F
D
A
G
B
例2、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D， P是BD上一点，AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
C
A
B
PD
变式训练：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD 于点D，P是BD上一点，且AP=PC，BP=DC， 则AP⊥PC，请说明理由。
C
A
B
PD
例3、如图，一块直角三角形的纸片，两直角 边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， 求CD的长．
A
6
利用勾 股定理 求出AD 的长， 再计算 三角形 面积
亲爱的同学们，通过这节课的复 习，分享一下自己的收获
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
变式训练、如图，Rt△ABC中，∠C=90° ，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=5 ，AB=13．
（1）求DE的长； （2）求△ADB的面积．
1．(2017)如图，△ABC中，AC 5, BC 12
，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º， BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 若AB=10cm,则CD=_____
A
D
CB
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
1.2直角三角形性质和判定2
归纳：在直角三角形中，如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
三、例题讲解
四、练习见书P6
五、小结
教学பைடு நூலகம்思
3、了解上述两个定理之间的联系。
教学重点：直角三角形的两个性质定理
教学难点：直角三角形性质定理的应用
教学程序
教学要求
教学内容与方法
二次备课
一、创设情境导入新课
活动：
请大家拿一块30°的直角三角板，请量一量30°角所对的直角边与斜边有什么关系？你能证明你的发现吗？
二、合作交流，解读探究
1、
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所队的执教便等于斜边的一半。
陬市镇中学八年级《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-15设计：刘芬上课教师：审核：______
上课日期：__月__日第____周星期____第节第课时（总节数）
课题：1.1直角三角形的性质和判定（2）
教
学
目
标
1、掌握有一个锐角是30°的直角三角形的性质定理及其应用
2、掌握有一条直角边等于斜边一半的直角三角形的性质定理及其应用
直角三角形的性质和判定2
年级：八年级科目：数学主备教师：夏菲审核教师：
导学案小主人：班级：组次：编号3
课题
直角三角形的性质和判定2(勾股定理)
课型
预习+展示
学习目标
1.知道用几何语言和数学公式表示勾股定理。
2.知道利用勾股定理和方程综合解题。
学习重点与难点
重点：利用勾股定理和方程综合解题
难点：勾股定理的推导
4、已知一个等边三角形的边长为4，那这个三角形的高是多少？
5、如图，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知AB=17，AC=10，CD=6.求BC的长。
6.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是多少？
四、能力提升
如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10 ，
学习方法
自主学习合作探究
学习过程
一、自主学习（看书P9-P11）
1、直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方。用数学式子表示为；这一性质被称为。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B∠C的对边，那么：
C=; a=；b=。
二、合作探究
1.怎样证明直角三角形中的勾股定理？
2.怎样利用勾股定理证明例1？
三、当堂检测
1、若直角三角形两直角边长分别为a和b，且满足 + =0，则该直角三角形的斜边长为。
2、在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b,AB=c.
(1)若a=6,b=16,求c;
(2)若c=20,b=16,求a;
(3)若a:b=3:4,c=10,求a、b.
3、如果一个直角三角形的两条边长分别为5，12，求第三边的长。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
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六、作业
北B
一轮船以每小时20海里的速度向正东方向航行， 上午8时，该船在A处测得某灯塔在它的北偏东30° 的B处。上午10时行至C处，测得灯塔恰好在它的正
北方，上午8时，该船与灯塔相距多少海里？
30 °
A C东
三、反思问题又获新知
1.讨论：是否可由等边三角形的性质来得此定理？
方法1：过C作∠1=60°
ห้องสมุดไป่ตู้
C
12
B
D
方法2：延长BC至D使CD=BC
A D
C
B
A
2.反思：在RT△ABC中，∠ BCA=90° ，
C
1
如果BC= 2 AB，那么∠A=30°吗？
B
D
A
直角三角形中，如果一直角边等于斜边 的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
于是AD=
1 2
AO=
1 2
×30 3
≈ 25.98(海里) > 20海里
故轮船不会触礁。
五、巩固与练习
C
1.如图在△ABC中，∠A=30 °,∠ACB=90
CD⊥AB于D,BC=3,AB°=, _____ ,BD=____。 A
B D
2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10cm,BC=_____.
解: 作AB边中线CD，则CD=AD=BD
C
∵∠ A=30 °，∠ ACB=90 °(已知）
1
∴∠ B=60 °(直角三角形两锐角互余） B
A
D
∵CD=BD(已证）
∴∠ 1=∠ B=60 °（等边对等角）
∴ △CBD是等边三角形（有两个角是60 °的三角形是等 边三角形）
∴BC=BD= 1AB
2
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
C
二、问题引入探索定理
问题：如图在RT△ABC中，∠ BCA=90° ，B 如果锐角∠ A=30°，那么BC与斜边AB有什么关 系？
30°
A
提示1：量一量你们手中的这样的三角板，你发现了什么？
（BC= 1 AB）
2
2：我们知道斜边上的中线等于斜边的一半， 我们能否作一条辅助线，又怎样作呢？（作AB边中线CD）
直角三角形的性质与判定2
道县六中：唐清涛
一、知识回顾引入课题
• 1.直角三角形的性质定理和判定定理是什么？ • ①直角三角形的性质定理是：直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半。 • ②直角三角形的判定是：有两个角互余的三角形是直角三
角形。 • 2.引入：我们学过直角三角形的一条性质：直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半。这节课我们来探索一下直角 三角形的其他性质。
四、范例分析，巩固定理
北
在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由
西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°
的方向，且与轮船相距 30 3 海里，如图示，
该船如果不改变方向，有触暗礁的危险吗？
60 °
解：如图，过A作AD ⊥OB于D
O
A D B东
在RT△AOD中，AO= 30 3 海里，∠ AOD=30°