直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定教学反思
直角三角形的性质与判定教学反思直角三角形是初中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和判定方法。
本文将从几何角度出发，详细介绍直角三角形的性质和判定方法，并对教学过程进行反思，提出一些建议和改进措施。
一、直角三角形的性质直角三角形是指一个三角形中，其中一个角是90度的三角形。
直角三角形具有以下性质：1. 斜边：直角三角形的斜边是最长的一边，它位于直角的对面。
2. 直角边：直角三角形的两条边中，与直角相邻的边称为直角边。
3. 直角：直角三角形的一个角是90度，称为直角。
4. 特殊比例关系：在直角三角形中，直角边与斜边的长度之比称为正弦，直角边与另向来角边的长度之比称为余弦，斜边与另向来角边的长度之比称为正切。
这些比例关系在三角函数中有广泛的应用。
二、直角三角形的判定方法判定一个三角形是否为直角三角形有多种方法，下面介绍两种常用的方法：1. 三边关系法：如果一个三角形的三条边中，满足勾股定理（即两直角边的平方和等于斜边的平方），则该三角形是直角三角形。
例如，对于一个三角形，如果边长分别为a、b、c，满足a² + b² = c²，则可以判定该三角形为直角三角形。
2. 角度关系法：如果一个三角形中，有一个角是90度，则该三角形是直角三角形。
例如，对于一个三角形，如果其中一个角度为90度，则可以判定该三角形为直角三角形。
三、教学反思在直角三角形的教学过程中，我发现以下几个问题：1. 教学内容安排不合理：在教学中，我发现直角三角形的性质和判定方法往往被简单地介绍和讲解，没有充分展示其应用和实际意义。
这导致学生对于直角三角形的理解程度不够深入，无法将其运用到实际问题中。
2. 缺乏足够的练习：在教学过程中，我没有赋予学生足够的练习机会，导致学生对于直角三角形的判定方法掌握不坚固。
他们在解题时容易出错或者迷失方向，无法准确判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 缺乏启示性的教学方法：在教学中，我过于依赖传统的讲解方式，缺乏启示性的教学方法。
《直角三角形的性质和判定》教案
《直角三角形的性质和判定》教
案
直角三角形
设计理念:通过梯度问题探究让学生轻松获取知识，通过数学变换和逆向思维的训练让学生直观地接受知识。
教师的教学方法:情境法、提问法、引导法、练习法。
学生学习方法:讨论与实践。
1.直角三角形性质与判定(Ⅰ)(1)
学习目标：
1.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
2.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.
学习重点：
“直角三角形的两个锐角互余”，“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这两性质的灵活应用.
学习难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.
学习过程：
复习引入：
三角形内角和.
2.等腰三角形及相关概念。
18-直角三角形性质及全等判定 - 教师版
教师姓名学生姓名年级上课时间学科数学课题名称直角三角形性质及全等判定待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一1、直角三角形全等的判定（1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称“H.L”定理）．（2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．知识点二2、直角三角形的性质：（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余；（2）定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒．Ⅱ知识精析二、直角三角形的性质（一）典例分析、学一学例2-1如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．问题1：求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；问题2：如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。
答案：（1）证明：联结PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴PE=12 BF．同理：PD=12 BF，∴PD=PE∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，联结PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：联结PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证：QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．例2-2如图，在等边△ABC 中，AB=4，点P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 作PE ⊥BC 于E ；过E 作EF ⊥AC 于F ；过F 作FQ ⊥AB 于Q ．问题1：设BP=x ，AQ=y ，用含x 的式子填空， EC= ， AF= ，写出求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； 问题2：当AQ=1.2时，求BP 的长度；问题3：当BP 的长度等于多少时，点P 与点Q 重合？答案：问题1： EC =4-12x ，AF =2+14x ， y 与x 之间的函数关系式为y =1+18x ；（0<x <4）问题2：当AQ =1.2时，即y =1.2时，1.2=1+18x ，解得x =1.6，∴当AQ =1.2时，求BP 的长度为1.6； 问题3：∵点P 与点Q 重合，∴x +y =4，∴x +1+18x =4，解得x =83， ∴当BP 的长度等于83时，点P 与点Q 重合． 例2-3如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是△ABC 内的一点，且1PB =，2PC =，3PA =，求BPC ∠的度数．答案：135提示：旋转三角形APC例2-4如图在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，DA DB =，E 、F 分别在AC 和BC 上，且ED ⊥DF ． 求证：222EF AE BF =+．提示：倍长FD ，将三条线段转化到一直角三角形中.FEDBACⅢ课堂测评1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：△ACE≌△CBF.证明:∵AE⊥CD∴∠AEC=90°,∴∠ACE+∠CAE=90°(直角三角形两个锐角互余)∵∠ACE+∠BCF=90°∴∠CAE=∠BCF (等角的余角相等)∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC =90°.在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，AEC=∠BFC，AC=BC∴△ACE≌△CBF(AAS)2.如图，已知在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE．求证：∠B＝2∠BCE．证明:联结DE.∵AD⊥BC,AE=BE,∴DE=BE,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)∴∠B=∠BDE.(等边对等角)∵CD=BE,∴CD=DE,(等量代换) ∴∠DEC=∠DCE.(等边对等角)∵∠EDB=∠DEC+∠BCE,(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.)∴∠EDB=2∠BCE.(等式性质)∵∠B=∠EDB, ∴∠B=2∠BCE. (等量代换)3.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
11-直角三角形性质与判定
题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【例6】如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．【巩固练习】 填空题：1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B =0'7413，则∠C=_____________________. 2．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，则图中相等的锐角是____________________.3． 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥ AC ，∠C=30°,AB=4，则DC=___________. 4．等腰三角形顶角的平分线的长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于__________. 5．直角三角形斜边上的中线等于3. 5cm ，斜边上的高等于2.4cm ，则这个直角三角形的面积等于__________________2cm ． 解答题：1．在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAD=∠DAC=60°，BD=53.求：ABC S ∆．2．已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，M 、N 分别是BD 、CE 的中点．求证：MN ⊥ CE3.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长4.已知：等边△ABC 中， D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.∆中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，4．如图，在ABCEF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF=CG。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
直角三角形的性质与判定
3.互逆命题与互逆定理
观察上面三组命题,你发现了什么?
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；
┏
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
1.直角三角形的性质与判定
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
2.勾股定理与逆定理
证明欣赏
b
a
c
b
a
c
1．总统证法：
美国第20任总统：詹姆斯·艾伯拉姆·加菲尔德
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL〕【典型例题讲解】例1:：如图△ ABC 中，BD ± AC , CE±AB , BD、CE 交于。
点，且BD=CE求证：OB=OC.例2:：Rt△ ABC中，/ ACB是直角, D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E,求证：CD± BE例3:△ ABC中，CD ± AB于D,过D作DE ± AC , F为BC中点，过F作FG ±DC 求证：DG=EG。
【随堂练习】1.选择：〔1〕两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，那么以下四个命题中，真命题的个数是〔〕个①这两个三角形全等；②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等；④相等的角为直角时全等A . 0 B. 1 C. 2 D . 3〔2〕在以下定理中假命题是〔〕A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，Rt△ ABC 中，/ B=90° , / ACB=60。
，延长BC 至V D,使CD=AC 贝U AC : BD=()A. 1: 1B. 3: 1C. 4: 1D. 2: 3(4)如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° , CD、CE,分别是斜边AB上的高与中线，CF 是Z ACB的平分线。
那么/ 1与Z 2的关系是()A. Z 1<Z 2B. Z 1 = 7 2;C. Z 1>Z2D.不能确定(5)在直角三角形ABC中，假设/ C=90° , D是BC边上的一点，且AD=2CD，那么Z ADB 的度数是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.解答：(1 ：如图AB ±BD , CD ± BD , AB=DC 求证：AD//BC.(2)如图，AC ± BC , AD ± BD , AD=BC , CE± AB , DF ± AB ,垂足分别是E、F 求证：CE=DF.【课后习题】一、填空题:〔每题5分,共20分〕1.有和一条对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边〞或用字母表示为“〞 .2.如图,△ ABC中,Z C=90° ,AM平分Z CAB,CM=20cm,那么M至ij AB的距离是cm.3.△ ABC 和^ A' B' C' , Z C=Z C' =90° ,AC=A' C', 要判定△ ABC^A A'B' C'，必须添加条件为①或②或③__________________ 或④.4.如图,B、E、F、C在同一直线上,AF ± BC于F,DE± BC于E,AB=DC,BE=CF,假设要说明AB// CD,理由如下：AFL BC于F,DE± BC于E〔〕△ ABF,A DCE是直角三角形. • BE=CFp知〕BE+=CF+律式性质〕即=〔已证〕••• Rt △ AB砂Rt △ DCE〔〕、选择题：〔每题5分,共25分〕5.两个直角三角形全等的条件是〔〕A. 一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；C. 一条边对应相等；D.两条边对应相等6.要判定两个直角三角形全等，需要满足以下条件中的〔〕①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等.A.6个B.5 个C.4 个D.3 个7.如图，AB// EF// DC,Z ABC=90 ,AB=DC,那么图中有全等三角形〔〕A.5 对；B.4 对；C.3 对；D.2 对8.在△ ABC和^ DEF中，/ A=Z D=90°，那么以下条件中不能判定△ ABCm DEF全等的是〔〕A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD. / C=Z F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是〔〕A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题：〔共55分〕10.如图，△ ABC中，Z C=90° ,AB=2AC,M是AB 的中点，点N在BC上,MNL AB.求证:AN平分Z BAC.〔7分〕11 ：如图,AB=AE,BC=ED,Z B=Z E,AF± CD,F 为垂足,求证:CF=DF.〔8 分〕12知如图，AB=AC,Z BAC=90 ,AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BDL AE于D,CE ± AE 于E,求证:BD=DE+CE.〔8 分〕13如图，在^ ABC中，/ BAC=^ B,AB=2AC,求证：△ ABC是直角三角形?〔 8 分〕14如图，在^ ABC中，以AB AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE ACF,连结EF,过点A作ADL BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.〔1〕用圆规比拟EMI^ FM的大小.〔2〕你能说明由〔1〕中所得结论的道理吗？〔8分〕直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；②推论：〔1〕在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；〔2〕在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30° .【典型例题讲解】例1:，Rt△ ABC中，Z ACB=90 , AB=8cm D 为AB 中点，DE』AC于 E, Z A=30° , 求BC, CD^ DE 的长例2:：△ ABC中，AB=AC=BC 〔△ ABC为等边三角形〕 D为BC边上的中点,D乩AC于E.求证：CE 1 AC .4例3:：如图AD// BC,且BDL CD BD=CD AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ ABC中，/ BAC=^ B, AB=2AC AE平分Z CAB 求证：AE=2CERt △ ABC 中，Z ACB=90 , Ct^ AB, CE 为 AB 边上的中线，且Z BCD=〜DCA 求证：DE=DC AB=AC AtU BC 于 D, AF=FD AE// BC 且交 BF 的延长线于 E,假设 AD=9 BC=12 求4. 在^ ABC 中，Z ACB=90 , D 是AB 边的中点，点 F 在AC 边上，DE 与CF 平行且相等。
直角三角形的性质
直角三角形的性质：1.直角三角形的两个锐角互余。
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5.直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方,又称勾股定理。
a2﹢b2=c2直角三角形的判定：1.有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.在三角形中，如果有一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3.如果三角形的三条边长a,b,c满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线的判定定理：角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
多边形的性质：1.从n边形的一个顶点做对角线，可以做（n-3）条,这些对角线把n边形分成了（n-2）个三角形。
2.n边形的内角和等于（n-2）·180°.3.n边形的所有对角线为1／2·n(n-3)条。
4.任意多边形的外角和等于360°.平行四边形的性质：1.平行四边形的对边相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
矩形的性质：1.具有平行四边形的所有性质。
2.四个角都是直角3.对角线互相平分且相等。
矩形的判定:1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.三个角是直角的四边形是矩形。
3.对角线相等的平行四边形是矩形。
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A C
B 直角三角形的性质与判定
学习目标：
1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。
2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用.
学习重点及难点
1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.
2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.
学习过程
一 、预习与交流
1、什么叫直角三角形？
2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?
二、合作与探究
（1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？
归纳：定理1：
（2）猜一猜 量一量 证一证
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线.
求证：CD=2
1AB
A C
B
D
C
A B
D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三。
知识应用：
例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
四：巩固练习
（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ；
（2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 .
4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．
5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
五：作业.93页A 组1题
六：学习反思：
A
C B
D。