2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
平面向量的正交分解、坐标表示及运算
教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减
及数乘运算。
教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：坐标表示及运算意义的理解。
教学过程
一、复习提问
1．复习向量相等的概念
相等向量OA=BC，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a=λ11e+λ22e
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课
1、正交分解的物理背景及其概念
图－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一
是木块受平行于斜面的F1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力
F2，G＝F1＋F2，叫做把重力G分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量
a=λ11e+λ22e
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、平面向量的坐标表示
取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，
记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0） O B C A
x y
a 例2、如图，分别用基底i, j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标。
解：由图可知：
21AAAAa＝2i＋3j
所以，a＝（2,3）
同理，有：
b＝－2i＋3j＝（－2,3）
c＝－2i－3j＝（－2,－3）
d＝2i－3j＝（2,－3）
3、平面向量的坐标运算
（1）已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，ab的坐标
（2）已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标
解：a+b=(x1i+y1j)+( x2i+y2j)=(x1+ x2) i+ (y1+y2) j
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
启航书院 高中数学必修4 2.3.2平面向量的坐标表示
1 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
考点一：平面向量的坐标表示
1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2.已知起点和终点求向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.
显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。
变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求→AB的坐标。
⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。
⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，∠x0A=60°,求向量→OA的坐标。
⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。
考点二：相等向量的坐标表示
例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.
变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______.
⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______. 启航书院 高中数学必修4 2.3.2平面向量的坐标表示
2.3.1平面向量基本定理与2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
高一数学备课组 新人教A必修4第2章《平面向量》导学案 2012年上学期
第 1 页 共 2 页 §2.3.1平面向量基本定理
§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；
2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：
复习1：向量b、0aa是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为 .
复习2：给定平面内任意两个向量1e、2e，请同学们作出向量1232ee、122ee.
（二）自主探究：（预习教材P93—P96）
探究：平面向量基本定理
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122ee的向量表示呢？
1.平面向量的基本定理:如果1e,2e是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,使 。其中，不共线的这两个向量,1e2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,ab，作OA,aOBb，则
叫做向量a与b的夹角。如果,AOB则的取值范围是 。当
时，表示a与b同向；当 时，表示a与b反向；当 时，表示a与b垂直。记作：ab.在不共线的两个向量中，90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
2.3.2向量正交分解及坐标表示（教学建议和反思）
古镇高中精品课程建设数学科组材料 教学建议与反思
1 §2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学建议
（一）、复习引入：
问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义
设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。
指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ
１、ｅ
２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ
１、ｅ
２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1，λ2是被a
，
1e，
2e唯一确定的数量
（二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解
问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。
设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向
量的正交分解概念及意义。
指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究
问题带来很大的方便。
2、平面向量的坐标表示
问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。对
直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标
系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。
问题4、如图，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。
设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和
向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。
问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？
设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由
具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，
问题6、写出、、的坐标；
设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一
一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。 古镇高中精品课程建设数学科组材料 教学建议与反思
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
一.课前案：
1. 设向量12(,)aaa，a的方向相对于x轴正向的转角为，则1a
2a 。
2. 在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量OA所惟一确定，设点A的平面直角坐标为(x,y)，则12(,)OAxeyexy，即点A位置向量OA的坐标与点A的平面直角坐标是统一的。
自学检测
1.已知平面向量(1,1),(1,1)ab，则向量1322ab 。
2.已知点A（2，1），B(3,2),且2APPB，则点P的坐标为 。
3.已知点A（1，3），B(-3,5),则线段AB的中点坐标为 。
二.课中案：
1.合作探究
什么样的两个向量能作为正交基底？
2．典例分析
例1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||43OA,60xOA,求向量OA的坐标.
例2.已知点A（-1，2），B（2，8），且11,33ACABDABA,求C,D的坐标。
例3.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若()APABACR，试求为何值时，点P位于第三象限。
例4.已知(cos,sin),(1sin,1cos)OPOQ，其中0，求||PQ的取值范围及||PQ取得最大值时的值。
3．当堂检测
1.已知(2,3),(1,5)ab，则3ab等于（ ）
A.(-5,14) B.(5,14) C.(7,4) D.(5,9)
2.已知三点A(1，1)，B(-1,0),C(0,1),若AB和CD是相反向量，则D点坐标是（ ）。
平面向量的正交分解和坐标表示的教学案例
平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例
一. 案例要解决的教学困惑：
在高中数学教材中，很多知识，若是学生记住结论，学生就能够解决一系列的数学题目。关于这种知识的教学一直困扰我好久。究竟是简单地让学生记住一个公式，一个结论，或是纯粹地仿照技术，仍是要让学生通过不断的试探、探讨、实践，试探总结出公式和结论呢？新的《一般数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不该只限于对概念、结论和技术的经历、仿照和同意，独立试探、自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。”“教师不仅是知识的教授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者。”本案例确实是为了针对解决如此的困惑而展开的教学试探。
二. 教材分析：
【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）
【课时安排】：节平面向量的大体定理及坐标表示要紧四部份内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。考虑到学生的同意能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。
【教学目标】
1.知识目标：
①使学生明白得平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的进程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；
②把握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法那么，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
2.能力目标：
①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现进程，激发学生的探讨精神，增强学生知识的应用意识；
②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一样到特殊的归纳能力。 3.德育目标：