人教版高中数学必修四《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》
b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算
性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？ 答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
答案
梳理
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2.3.2 平面向量的正 交分解及坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量 的坐标区分开来.
平面向量的基本定理
把一个向量分解为 两个互相垂直 量，叫做把向量正交分解.
的向
知识点一
平面向量的正交分解
思考 如果向量 a与b的夹角是 90°，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一 组基底？ 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一
有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，
我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
思考2
在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1 ， 1) ，则 A 点位置 确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定 了吗？
题型探究
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45° ，
→ → ∠OAB＝105° ，OA＝a，AB＝b. 四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
解答
→ (2)求向量BA的坐标；
解
3 3 3 → → BA＝－AB＝ ，－ . 2 2
答案
答案
对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，
给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的
位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此 a 的位置还与
其起点有关.
思考3
→ → → → 设向量BC＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC平移到OA，则OA 的坐标是多少？A 点坐标是多少？
答案
组基底.
知识点二
平面向量的坐标表示
思考1
如图，向量i ，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i 的夹角
是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
答案
a＝2 3i＋2j.
答案
梳理
(1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量 i、
j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只
(3)求点B的坐标.
3 3 3 → → → 解 OB＝OA＋AB＝(2 2，2 2)＋(－2， 2 )
＝ 2
3 3 3 2－2，2 2＋ 2 .
解答
本课结束
答案
→ → 向量OA的坐标为OA＝(1，1)，A 点坐标为 A(1，1).
答案
→ ＝(x －x ，y －y )， 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 AB 2 1 2 1
即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去考
设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，
数学公式 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量数乘
(λx1，λy1) λa＝__________
高一数学人教A版必修4课件2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
)
一
二
知识精要
典题例解
迁移应用
2.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,������������ =(2,4),������������ =(1,3), 则������������ =( ) A.(2,4) B.(3,5) C.(-1,-1) D.(-2,-4) 答案 :C 解析 :∵������������ = ������������ + ������������ ,∴������������ = ������������ − ������������ =(1,3)-(2,4)=(-1,-1).
(1)区别:
①意义:点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的坐标反映的是向量
的大小和方向,与位置无关;
一
二
知识精要
典题例解
迁移应用
②表示形式:如点 A(x,y),向量 a=������������=(x,y).当平面向量������������平行移
动到������1 ������1 时,向量不变,即������1 ������1 = ������������=(x,y),但������1 ������1 的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.
则a=b⇔x1=x2,且y1=y2.
一
二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 已知点 A,B,C 的坐标分别为 A(2,- 4),B(0,6),C(-8,10), 1 求向量������������ +2������������ − ������������ 的坐标.
2
思路分析 :由点 A,B,C 的坐标 ,求出������������ , ������������ , ������������ 的坐标 ,再利用向 量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解 . 解 :由 A(2,-4),B(0,6),C(-8,10), 得������������ =(-2,10),������������ =(-8,4),������������ =(-10,14), 1 故������������ +2������������ − ������������
高中数学必修四教案-2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(2)-人教A版
《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容：1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
本节内容是向量进行坐标运算的理论基础，是将向量由几何属性转变为代数属性的转折点，具有非常总要的意义。
【三维目标】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。
3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
教学重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】（一）回顾旧知：回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。
12a e e λμ=+【设计说明】回顾平面向量基本定理，为本节内容做铺垫，特别强调基底的系数是唯一确定的。
（二）情境引入：光滑斜面上的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?【设计说明】利用学生熟知的物理背景类比引出本节课题。
高中数学必修四1：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
得到向量
4
r b
，
则
r b
的坐标为（（
2 ，3
2 ））.
22
课堂练习
（2008辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),
uuur uuur 且 BC 2AD ，则顶点D的坐标为（ A ）
A. （2，7 ）
2
C. （3，2）
B.（2， 12） D.（ 1，3）
课堂练习
解析：
令D（x，y），
uuur
uuur
uuur uuur
BC （4，3），AD （x，y - 2），由BC 2 AD
得x 2，y 7 2，故A正确
课堂练习
如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
uuur r uuur r 设 OA i，OB j，填空：
为基底，向量
r a如何表示？
r a 2 3i 2 j
Br
P
ra
j
O
r i
A
探究点3 概念理解
1．以原点O为起点
uuur r 作OA a，点A的
位置由谁确定?
r 由 a 唯一确定.
y
r a
y
A
r
j
O
r i
x
x
rrr
a xi y j
uuur r r OA xi y j
典例精讲：
已知A、B的坐标分别为
r
a （x，y）
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的
坐标，①式叫做向量的坐标表示.
探究点2 正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫
高中数学四 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(结)
人教版必修四2。
3。
2平面向量正交分解及坐标表示（练）1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( ) A．(7,3) B．（7，7）C．(1,7) D．(1，3）[答案] A［解析] a－2b＝（3,5）－（－4,2）＝(7，3）,故选A.2．已知点A(－1，－5）和向量a＝（2,3），若错误!＝3a，则点B的坐标为( )A．（6,9) B．（5,4）C．(7，14）D．(9，24)[答案] B[解析］错误!＝(－1，－5）。
错误!＝3a＝（6,9)，故错误!＝错误!＋错误!＝（5，4)，故点B坐标为（5，4)．3．原点O在正六边形ABCDEF的中心，OA，→＝(－1,－错误!），错误!＝(1,－错误!），则错误!等于( )A．（2,0) B．(－2,0）C．(0，－2错误!）D．(0,错误!)[答案] A［解析］∵正六边形中，OABC为平行四边形，∴错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!－错误!＝(2，0)．4．已知P＝｛a|a＝（1，0）＋m(0，1),m∈R}，Q＝{b｜b＝(1，1)＋n(－1，1）,n∈R｝是两个向量集合，则P∩Q＝（）A．｛(1，1)} B．｛（－1，1)}C．{（1,0）} D．｛(0，1）｝[答案］A[解析］根据题意知,a＝（1，0）＋m(0，1)＝（1，m)，b＝（1，1）＋n（－1,1)＝（1－n，1＋n)，令a＝b得，｛1＝1－n，m＝1＋n,解得错误!，∴a＝（1，1）＝b。
∴P∩Q＝｛（1,1）｝．5．已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且错误!＝2错误!，则顶点D的坐标为（）A.错误!B.错误!C．(3,2) D．（1,3)[答案］A[解析］ 错误!＝（3，1）－（－1，－2)＝（4,3），2错误!＝2(x ,y －2）＝（2x,2y －4)∵错误!＝2错误!，∴错误!，解得错误!，故选A 。
高一数学人教A版必修4课件：2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,
只与其相对位置有关系.
②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向
量a的有向线段的终点唯一确定,即终点的坐标就是向量a的坐标. 4.相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知,两向量相等等价于它们的坐标相等,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
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1
2
3
预习交流 特别地,i,j,0的坐标分别是什么? 提示:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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触类旁通
1
2
3
3.平面向量的坐标运算
向量 的 加、 减法 实数 与向 量的 积 向量 的 坐标
若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y 1+y2),a-b=(x1-x2,y 1-y2), 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和(差) 若 a=(x,y),λ∈R,则 λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 已知向量 ������������ 的起点 A(x1,y1),终点 B(x2,y 2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1), 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标 .
(1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例. (2)正交分解的两个基向量互相垂直,构成正交基底. 2.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后,向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法,即用向量 的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示.有了向量的坐标表 示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决. 3.点的坐标与向量的坐标的区别和联系
最新高中数学人教A必修4课件：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-6-
2.3.2 平面向量的 正交分解及坐标表示
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3.向量与坐标的关系 设 ������������ = ������i+yj,则向量 ������������的坐标 ������, ������ 就是终点������的坐标 ; 反过来 , 终点������的坐标 ������, ������ 就是向量 ������������的坐标 . 因此 , 在平面直角 坐标系内 , 每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示, 即以 原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
-3-
2.3.2 平面向量的 正交分解及坐标表示
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量 ,叫做平面向量的正 交分解.
【做一做 1】 如图,在矩形 ABCD 中 ,AC 与 BD 交于点 O,下列 是正交分解的是( ) A. ������������ = ������������ − ������������B. ������������ = ������������ − ������������ C. ������������ = ������������ + ������������ D. ������������ = ������������ + ������������ 解析 :由于������������ ⊥ ������������ , 则 ������������ = ������������ − ������������ 是正交分解. 答案 :B
高中数学人教版必修4 2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示 课件2
c＝(－1,2)，则向量 c 等于( )
A．－12a＋32b
B．32a－12b
C．12a－32b
D．－32a＋12b
[答案] C [解析] 12a－32b＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)，故选 C.
3．已知M→A＝(－2,4)、M→B＝(2,6)，则12A→B等于(
)
A．(0,5)
B．(0,1)
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝(1,2)． ∴xy11＋ －12＝ ＝12 ，和－ 2－1－ y2＝x2＝ 2 1 ， ∴xy11＝ ＝04 ，和xy22＝ ＝－ 0 2 . ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此C→D＝(－2，－4)．
跟踪练习
C．(2,5)
D．(2,1)
• [答案] D
[解析] 12A→B＝12(M→B－M→A) ＝12((2,6)－(－2,4))＝12(4,2)＝(2,1)， 故选 D.
4．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)已知点 A(－1,5)和向 量A→B＝(6,9)，则点 B 的坐标为________．
若O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)，则13A→B＝________.
• [答案] (－3，－2)
[解析] ∵O→A＝(2,8)、O→B＝(－7,2)， ∴A→B＝O→B－O→A＝(－9，－6)， ∴13A→B＝(－3，－2).
2.中点坐标公式
例题 2 已知平行四边形 ABCD 的一个顶点 A(－2，1)，一组对 边 AB，CD 的中点分别为 M(3,0)、N(－1，－2)，求平行四边形 其他三个顶点的坐标． • [分析] 根据平行四边形的对角线互相平分，求出对角线交
人教版 必修4
2.3.2向量正交分解及坐标表示（教学建议和反思）
§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学建议（一）、复习引入：问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。
指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。
设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。
指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。
2、平面向量的坐标表示问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。
对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。
问题4、如图，取与x 轴，y 轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。
设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。
问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，问题6、写出、、的坐标；设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。
问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么的坐标是什么？（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么？（1）（2）设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。
高中数学必修四人教版2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示5ppt课件
5.如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA = i, OB，=填j空：
（1） | ι |= __1___,| j |= _1_____, | ΟΧ |= __5____;
（2）若用 i来, j表示
O，C则, O：D
OC = _3_i__+__4_j_, OD = __5_i__+_7__j_.
y
D
a
C
A
j
x
o iB
ห้องสมุดไป่ตู้
对于该平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数x、y，可使
a = xi + y j.
i =（1，0） j =（0，1） 0 =（0，0）
这样，平面内的任一向量 都可由x，a y唯一确定，我们把 （x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作 a
a (x, y)
①
其中，x叫做 在xa轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐a标，①式叫做向
y
7
D
4
C
B
j
x
o iA 3 5
谢谢观看！
（3）向量 C能D否由 表示i出, j来？可以的话，如何表示？
CD = 2 i + 3 j
量的坐标表示.
概念理解
y
1．以原点O为起点
a
y
A
作 OA ，a点A的位置由
谁确定?
由 a唯一确定.
j
Oi
x
x
a = xi + y j
OA = xi + y j
y
a
y
A
j
Oi
x
x
2．点A的坐标与向量 的坐标a的关系？
人教A版高中数学必修四.2平面向量的正交分解及坐标表示运算精品PPT课件
6 、 已 知 B 的 坐 标是 m ,n ,A B 的坐标为(i,j),则点A
的坐标为 A
A、(m-i,n-j)
B、(i-m,j-n)
C、(m+i,n+j)
D、(m+n,i+j)
人教A版高中数学必修四.2平面向量的 正交分 解及坐 标表示 运算课 件-精 品课件p pt(实 用版)
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随堂练习
1 、 a = 4 ,6 ,且 a = 2 b ,那 么 b 的 坐标是 B
A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3)
应坐标．
思 考 ： 已 知 ： a ＝ ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 求 向 量 a b , a b ， a .
解： ab=（x1i+y1j）+（x2i+y2j） =x1i+y1j+x2i+y2j =（x1+x2） i+（y1+y2） j
即： ab＝(x1+x2,y1+y2); 同理可得： ab＝(x1-x2,y1-y2)
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
a = ( x, y )
y yj a j O i xi x
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