2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
思考：已知 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 你能得出 a b, a b, a 的坐标吗？
平面向量的坐标运算： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
课堂小结: 1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) 3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？ CD 2 i 3 j
i 7 j . 3 i 4 j OD 5 OC ________, _________
D
C
x
3
5
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
2
解：如图可知
a (2,3)
a AA1 AA2 2i 3 j
A
A1
同理 b = -2i + 3j = (-2,3); c = -2i - 3j = (-2,-3); d = 2i - 3j = (2,-3).
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和（差）
a ( x1, y1 )
实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的坐标
探究3
向量的加法：
y y1+y2 y1 y2 b o x1 x2 x1+x2 x a＋b
a
已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)
D A O x
AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) ( x, y ) (3 x, (3 x,4 y)
解得 x=2,y=2
1 3 x 2 4 y
所以顶点D的坐标为（2，2）
例3.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， y 试求顶点D的坐标。 C B 解法 2 ：由平行四边形法则可得
BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) (3, 1)
a (x1 , y1 )
练习:已知 a (2,1), b (3, 4) 求 a b, a b,3a 4b 的坐标。
A ( x , y ), B ( x , y ) 例 2. 如图，已知 1 1 2 2 求 AB 的坐标。 这是一个重要结论 ！ y 解：
平面向量的坐标表示
目标：把平面内的任意向量用一有 序实数对（坐标）表示
复
习
1、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、什么是平面向量的基底？
平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任一 向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使 得a= λ1 e1+ λ2 e2 向量的基底: 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这 一平面内所有向量的一组基底.
D A O x
而 OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2) 所以顶点D的坐标为（2，2）
变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标 分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求第四个顶点的坐标。
y (3,4)· (-1,3)· (-2,1)· O x
4 向量坐标.
则
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
AB=(x2
- x1 , y 2 – y1 )
y a
o
P
x
4
3
2
（3， 2） P
1
j
-2
O i
-1 -2
2
4
6
OP 3i 2 j (3,2)
-3
向量的坐标表示
4 3
OP xi y j (x, y)
P（x，y）
2
1
j
-2
O
-1 -2
2
4
6
i
向量 OP
一一对应 P（x ，y）
思考:
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定 2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？ y 若a以O为起点,两者相同 向量a
一一对应
A(x, y)
a
坐标（x ，y）
j
a
x
3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？
O i
a b x1 x2且y1 y2
变形:如图，分别用基底 、、 、 ， i j， 表示向量 a b c d 并求出它们的坐标。 A
AB OB OA (x2 , y2 ) (x1, y1)
A
O
B
x
( x2 x1, y2 y1 )
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
例3.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的 坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 试求顶点D的坐标。 y C 解法１：设点D的坐标为（x,y） B
平面向量的坐标表示
y
C
的单位向量，若以 i, j 为基底，则 A 对于该平面内的任一向量 a ， j
a
D
x
B
有且只有一对实数x、y，可使 a = xi + yj
这里，我们把（x,y）叫做 向量 a 的（直角）坐标，记作
o i
a ( x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在 y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
思考1:
问分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底? 任一向量a ，用这组基底 能不能表示?
j O y a x
i
思考：如图，在直角坐标系中， y 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 7 j 设 OA i, OB ，填空： 4 1 1 （1）| i | _____,| B j | ______, j 5 | OC | ______; o iA , j 来表示 OC, OD ，则： （2）若用 i
向量的减法：
y y1 y1－y2 y2 x1－x2 o
已知a=(x1,y1), b=(x2,y2), 则a-b=(x1-x2,y1-y2)
a －b a b
x1 x2 x
同理可得数乘向量的坐标运算 已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）
向量的坐标运算法则
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) 则： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.
y A a a x o
y
a xi +y j y
A
a
OA xi +y j
j
O
x i
x
i , j 是分别与x轴、y轴方向相同 如图，
课件3：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
知识点 2：平面向量的坐标运算 问题导思 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出 a＋b，a－b，λa 的 坐标表示吗？ 能
总结 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
试求 λ 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内．
解:设点 P 的坐标为(x，y)，
则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A→B＋λ·A→C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
解:如图，正三角形 ABC 的边长为 2，则顶点 A(0,0)，B(2,0)， C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1， 3)，D(12， 23)，∴A→B＝(2,0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)，B→D＝(12－2，23－0)＝(－32，23)．
规律方法 1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当 向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几 何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
例 2.(1)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)， 求A→B＋2B→C，B→C－12A→C的坐标． (2)已知 a＝A→B，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且 a＝3b－ 2c，求 A 的坐标．
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-课件ppt
j x
O
X
i
向量表示方法：字母表示，几何表示，坐标表 示。
基本单位向量，位置向量，向量坐标。
对任一向量a 可表示成 a OA xi y j
记作 a = (x, y)
其中 i 、j为基本单位向量，
x、y为实数
例1
如图，用基底 i 、j
分别表示向量
a 、b 、c、d
5
b
4
3
2
1 j -4 -3 -2 -1 o i
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
2.3.3 平面向量的坐标运算
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。
同一平面可以有不同基底
2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式；
3)分解是唯一的
思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往正北运动,要几只小猴子?
A2
a
A 123
B
A1 4x
并求出它们的坐标。
-1
解：由图可知
a =AA1+AA2
-2
c
-3
d
-4
= 2i 3 j∴a =(2,3)
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点一：平面向量的坐标表示1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2.已知起点和终点求向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。
变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求→AB的坐标。
⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。
⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，∠x0A=60°,求向量→OA的坐标。
⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。
考点二：相等向量的坐标表示例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______.⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______.⑶已知向量i =(1,0),j =(0,1)，a =(3i+3j),则a 的坐标是______.⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量→OA 的坐标是______,向量→OB 的坐标是______,向量→AB 的坐标是______.⑸已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，∣OM ∣=4，∠M0y=30°,则向量→OM 的坐标是_______.⑹已知向量→AB =(22246,3m m n -+-),向量→CD=(22,3n+7),向量→EF=(m,n),且→AB=→CD ，求向量→EF 的坐标。
课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(6)
D
yj a yj
C ''
C
xi
E
j BA xi x
o i C' D'
把x叫做a的横坐标，y叫做a的纵坐标.
对向量坐标的透切理解:(1)|x|= |CE| | CE | | CE |, |i | 1
即x的绝对值等于向量a在x轴上的分向量的长度； （2）x的符号：当CE与i 同向时，x>0，当CE与i反向时，x<0， 当CE缩短为一点时，x=0.同理确定y.
y 5
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
b
4a
3
2A
A1
j 1i
同理
-4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x
b 2i 3 j (2,3);
-2
c 2i 3 j (2, 3);
c
-3
d
-4
d 2i 3 j (2, 3).
-5
点评：要找出向量在坐标轴上的分向量，简单
思考：i的坐标是多少？用坐标怎样表示？j 呢？
i的横坐标为1，纵坐标为0，坐标表示为：
i (1, 0).
j (0,1).
如图2.3-8，在直 角坐标平面中， 以原点O为起点 作OA a,则点A 的位置由向量a 唯一确定. 由OA a=xi y j 可以看出向量OA的 坐标（x, y）就是 点A的坐标；反过来， 终点A的坐标也是 向量OA的坐标.
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b, 3a 4b 的坐标。
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
高中数学《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算》课件新人教A版必修
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b,3a 4b 的坐标. 解：a b (2,1) (3,4) (1,5);
a b (2,1) (3,4) (5,3);
3a 4b 3(2,1) 4(3,4) (6,3) (12,16) (6,19).
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量 a ，均可 以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量 正交分解.
平面向量的坐标表示
思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),
D(5,7).设 OA i,OB j ，填空：
CD 2 i 3 j
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
a xi +y j
y
7
4 B
j o iA
y a
C
A
j o iB
D
C x
35
D
x
这样，平面内的任一向量 a 都可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.
小结：平面向量的坐标运算
Y
1. a OA xi y j （x, y）
A
y
Ox
X
且 a OA x2 y2
2. 若A (x1, y1)，B (x2 , y2 ) ，则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 AB (x2 x1, y2 y1)
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点 解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使 当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0） 例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做 等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式 呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略） 七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示知识导引1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义.2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.知识点1.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做平面向量的正交分解.【做一做1】如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,下列是正交分解的是()A.AB=OB−OAB.BD=AD−ABC.AD=AB+BDD.AB=AC+CB解析:由于AD⊥AB,则BD=AD−AB是正交分解.答案:B2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.(2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是()A.(4,1)B.(-4,1)C.(4,-1)D.(-4,-1)3.向量与坐标的关系设OA=x i+y j,则向量OA的坐标x,y就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标x,y就是向量OA的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.归纳1.向量的表示法(1)字母表示法:用一个小写的英文字母来表示,例如向量a;也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示,例如向量AB,该向量的起点是A,终点是B.(2)几何表示法:用有向线段来表示.(3)代数表示法:用坐标表示.2.点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析:(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.题型一求向量的坐标【例1】如图,已知点M (1,2),N (5,4),试求MN的坐标.分析:用基底i 和j 表示MN=x i +y j ,则(x ,y )是MN 的坐标. 解:分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底,则MN=4i +2j , 所以MN的坐标是(4,2). 反思向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.【变式训练1】如图,点A (-1,3),B (2,-2),试求AB,BA 的坐标.解:∵AB=3i -5j ,∴AB =(3,−5); ∵BA =−3i +5j ,∴BA=(−3,5). 题型二 平面向量的正交分解及坐标表示【例2】已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA|=4 3,∠xOA=60°,求向量OA 的坐标.解:设点A (x ,y ),则x=|OA |cos 60°=2 3,y =|OA |·sin60°=6,即A (2 3,6),故OA =(2 3,6).【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b ,c 的方向和长度如图,分别求它们的坐标.解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2× 22= 2,a 2=|a |sin45°=2× 2= 2;b 1=|b |cos120°=3× -12 =−32,b 2=|b |sin120°=3× 32=3 32;c1=|c|cos(-30°)=4×3=23,=−2.c2=|c|sin(-30°)=4×-12因此a=(b=-3,33,c=(23,−2).。
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.2 平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.3 平⾯向量的坐标运算课标要求1.理解平⾯向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平⾯向量的坐标运算,能准确运⽤向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进⾏有关的运算. 重点:(1)平⾯向量的坐标表⽰;(2)平⾯向量的坐标运算.难点:对平⾯向量的坐标表⽰的理解.想⼀想(1)实例中的⼒和速度都是既有⼤⼩,⼜有⽅向的量,类⽐⼒和速度的分解,⼀向量能否⽤两个不共线的向量表⽰?(能,依据是平⾯向量基本定理)(2)平⾯内任⼀向量能否⽤互相垂直的两向量表⽰?(能,互相垂直的两向量可以作为⼀组基底)知识探究——⾃主梳理思考辨析1.平⾯向量的正交分解把⼀个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平⾯向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中,分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平⾯内的⼀个向量a,由平⾯向量基本定理可知,有且只有⼀对实数x、y,使得a=x i+yj,我们把有序数对叫做向量a 的坐标,记作a= ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).思考1:在平⾯直⾓坐标系中,以原点为起点的向量OA的坐标与终点A的坐标⼀致吗?(⼀致,都是(x,y))3.平⾯向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=(λx1,λy1)(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于⽤这个实数乘原来向量的相应坐标.(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=OB-OA =(x 2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).即⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.思考2:若AB=CD,则这两向量的坐标相等吗?两向量的具体位置相同吗?(若AB=CD,则这两向量的坐标必相等,但它们的具体位置,即起点、终点不⼀定相同,因为向量可以平⾏移动)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量的坐标表⽰【例1】已知O是坐标原点,点A在第⼀象限,|OA,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:如图所⽰,利⽤三⾓函数的定义,可得sin 60°=yOA,cos 60°=xOA,所以y=|OA|2sin 60°=6,x=|OA |2cos 60°12∴,6),∴OA题后反思始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.⼀般可以借助三⾓函数的定义来确定点的坐标,此时需明确点所在的象限,点到原点的距离,点与原点的连线与x 轴正⽅向的夹⾓.跟踪训练11:如图所⽰,正⽅形ABCD 的中⼼为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别⽤基底i ,j 表⽰OA ,OB ,OC , CD ,BC ,并求出它们的坐标.解:由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA =-i -j =(-1,-1), OB =i -j =(1,-1), OC =i +j =(1,1),|CD|=|CB|=2且CD 、CB 分别与x 轴、y 轴平⾏, 所以CD =-2i =(-2,0),BC =2j =(0,2).题型⼆平⾯向量的坐标运算【例2】设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. 解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).题后反思向量的坐标运算的依据是加、减、数乘运算法则.向量的坐标运算可以类⽐实数的运算进⾏,也可以先化简再计算.【例1】已知向量a =(x 2+y 2,xy),b =(5,2),若a =b ,则x+y= .解析:因为a =b ,所以225,2.x y xy ?+=?=?解得1,2,x y =??=?或2,1,x y =??=?或1,2,x y =-??=-?或2,1.x y =-??=-? 所以x+y=3或x+y=-3.答案:±3【例2】如图,已知边长为12的等边△ABC 中,点D 是边AC 上靠近点A 的边AC 的⼀个三等分点,求点D 和BD 的坐标.解:依题意可得),B(-6,0),C(6,0).设点D 的坐标为(x,y),则CD =(x-6,y),CA因为CD =23CA ,所以(x-6,y)=23 所以64,x y -=-=?? 解得2,x y ==??所以,点D 的坐标为),所以BD达标检测——反馈矫正及时总结1.若向量AB =(1,2),BC =(3,4),则AC 等于( A )(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)解析:本⼩题主要考查向量加法的坐标运算,由AC =AB +BC =(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A.2.(2013年⾼考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同⽅向的单位向量为( A )(A)（35,-45） (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35）解析:AB =(3,-4),则与AB 同⽅向的单位向量为AB AB =15(3,-4)=（ 35,- 45）.故选A. 3.在平⾯直⾓坐标系中,|a |=2014,a 与x 轴⾮负半轴的夹⾓为π3,a 始点与原点重合,终点在第⼀象限.则向量a 的坐标是( C )) ,1007)解析:设a =(x,y),则x=2014cosπ3=1007,y=2014sin π3故a 故选C. 4.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= . 解析:易得AB =(2,0),由a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等得 232,340,x x x +=??--=?∴x=-1.答案:-12.3.4 平⾯向量共线的坐标表⽰课标要求1.通过实例了解如何⽤坐标表⽰两个共线向量.2.理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件.3.会根据平⾯向量的坐标判断向量是否共线.重点难点重点:(1)⽤坐标表⽰两向量共线.(2)根据平⾯向量的坐标判断向量共线.难点:根据平⾯向量的坐标判断向量共线.想⼀想 a ∥b 的充要条件是a =λb (b ≠0),该条件能否⽤坐标表⽰?(能)知识探究——⾃主梳理思考辨析平⾯向量共线的坐标表⽰设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当时,a ∥b .思考:如何记忆平⾯向量共线的坐标表⽰?(坐标交叉相乘,差为零)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量共线的判定【例1】已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB 与CD 是否共线?如果共线,它们的⽅向相同还是相反? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)3(-6)-334=0,∴AB ,CD 共线,⼜CD =-2AB ,∴AB ,CD ⽅向相反,综上,AB 与CD 共线且⽅向相反.题后反思判定两向量共线的常⽤⽅法:(1)向量共线定理,由b =λa (a ≠0)得a ∥b .(2)向量共线的坐标表⽰:对a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由x 1y 2-x 2y 1=0得a ∥b . 跟踪训练11:下列各组向量中平⾏的是 (填序号).①a =(1,2),b =(-2,-4)②c =(1,0),d =(-3,0)③e =(2,3),f =(0,1)④g =(3,5),h =(24,40)解析:①中因为b =-2a ,所以b 与a 共线;②中因为d =-3c ,所以d 与c 共线;③因为e =(2,3),f =(0,1),231-330=2≠0,所以e 与f 不共线;④因为g =(3,5),h =(24,40),所以g =18h ,所以g 与h 共线. 答案:①②④题型⼆由向量共线求参数的值【例2】若向量a =(1,2),b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,求向量b 的坐标.名师导引:先由向量坐标的线性运算求出向量u ,v 的坐标,再利⽤两向量平⾏的坐标表⽰求出x,从⽽写出向量b 的坐标.解:法⼀ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由u ∥v ,则⼀定存在λ∈R ,使u =λv ,则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)()212,43,x x λλ?+=-??=??解得4,31.2x λ?==??所以b =（12,1）. 法⼆ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由向量平⾏的坐标表⽰,得3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=12.所以b =（12,1）. 题后反思解决由向量u ,v 共线求参数问题常有两种思路:(1)表⽰出向量u 、v 的坐标,设u =λv ,由相等向量的坐标表⽰列⽅程组求出参数.(2)表⽰出向量u 、v 的坐标,利⽤向量共线的坐标表⽰求参数值.题型三三点共线问题【例3】设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),求当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线.名师导引:由A 、B 、C 三点共线可知AB ∥AC .求出AB 、AC 的坐标.由向量共线的坐标表⽰求k 值. 解:法⼀ A 、B 、C 三点共线,即AB 、AC 共线,则存在实数λ,使得AB =λAC ,∵AB =OB -OA =(4-k,-7),AC =OC -OA =(10-k,k-12).∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即,4(10),7(12)k k k λλ-=-??-=-?解得k=-2或k=11. 法⼆由题意知AB 、AC 共线,∵AB =OB -OA =(4-k,-7), AC =OC -OA =(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,∴k 2-9k-22=0, 解得k=-2或k=11.题后反思 (1)三点共线问题的实质是向量共线,因此解决三点共线问题的关键是将其转化为向量共线问题.(2)证明三点共线的解题思路.先由三点确定两个向量,然后证明这两向量共线,最后说明这两向量有⼀个公共点.跟踪训练31:已知OA =(3,4),OB =(7,12), OC =(9,16),求证:点A 、B 、C 共线.证明:AB =OB - OA =(4,8),AC =OC -OA=(6,12),∵4312-836=0,∴AB与AC共线.⼜∵AB与AC有公共点A,∴点A、B、C共线.备选例题【例1】如图所⽰,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0, ①⼜CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0, ②解①②组成的⽅程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1b,问是否存在正实数k,t,使x∥y,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:因为a=(1,2),b=(-2,1),所以x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=-1ka+1tb达标检测——反馈矫正及时总结1.下列满⾜平⾏的⼀组向量是( A)(A)a=(1,-4),b=(503,-2012)(B)a=(2,3),b=(4,-6)(C)a=(1,2),b=(-1006,2012)(D)a=(-1,4),b=(3,12)2.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( B)(A)x=-1 (B)x=3 (C)x=92(D)x=51解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),由三点P、A、B共线知PA∥PB,所以-10+5(x-1)=0,x=3.故选B.3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则2a+3b= .解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.∴b=(6,3).∴2a+3b=(8,4)+(18,9)=(26,13).答案:(26,13)4.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且⽅向相反,那么k的值为. 解析:由a∥b知k(k+1)-6=0,得k=-3或k=2.当k=-3时a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,a与b共线且⽅向相反.当k=2时,a=(2,1),b=(6,3)=3a,显然a、b共线且⽅向相同,不符合题意舍去.答案:-3课堂⼩结1.已知向量a=(x1),b=(x2,y2).若a∥b,则(1)a=λb(b≠0).(2)x1y2-x2y1=0.2.向量共线的坐标表⽰有两⽅⾯应⽤(1)由两个向量的坐标表⽰判定两向量共线或联系平⾯⼏何知识证明三点共线或直线平⾏等.(2)由两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹⽅程,要注意⽅程思想的应⽤,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列⽅程(组)的依据.。
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示设计者：杨明珠一．学习目标（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线二．学习重点难点重点：平面向量的坐标运算难点：向量的坐标表示的理解及坐标运算三．学习过程（一） 复习回顾1、平面向量基本定理： 理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量2、提出疑惑：如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基底，向量分解情况又会如何呢？（二）探究学习1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1我们把),(y x 叫做 ，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相等的向量的坐．．．．．．．标也为．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a += ，b a -= . 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a += ，同理可得b a -= .（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= .（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=（三）应用新知例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.（四）巩固新知1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.（五）学习检测1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则 OA =_______________， OB =__________________。