2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
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2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
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平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
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课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
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3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(6)
D
yj a yj
C ''
C
xi
E
j BA xi x
o i C' D'
把x叫做a的横坐标，y叫做a的纵坐标.
对向量坐标的透切理解:(1)|x|= |CE| | CE | | CE |, |i | 1
即x的绝对值等于向量a在x轴上的分向量的长度； （2）x的符号：当CE与i 同向时，x>0，当CE与i反向时，x<0， 当CE缩短为一点时，x=0.同理确定y.
y 5
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
b
4a
3
2A
A1
j 1i
同理
-4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x
b 2i 3 j (2,3);
-2
c 2i 3 j (2, 3);
c
-3
d
-4
d 2i 3 j (2, 3).
-5
点评：要找出向量在坐标轴上的分向量，简单
思考：i的坐标是多少？用坐标怎样表示？j 呢？
i的横坐标为1，纵坐标为0，坐标表示为：
i (1, 0).
j (0,1).
如图2.3-8，在直 角坐标平面中， 以原点O为起点 作OA a,则点A 的位置由向量a 唯一确定. 由OA a=xi y j 可以看出向量OA的 坐标（x, y）就是 点A的坐标；反过来， 终点A的坐标也是 向量OA的坐标.
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b, 3a 4b 的坐标。
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.请写出下列各向量的坐标
i ＿(1＿,0＿) ， j ＿(0＿,1＿) ，0 ＿(0＿,0＿) .
2.若向量
a
3i
4
j
，则向量
a 的坐标
是 (3,-4) .
3.若向量a
(x
2,3)与向量b
(1,
y
2)相等,
则(B)
A.x=1, y=3 B.x=3, y=1 C.x=1, y=-5 D.x=5, y=-1
i3_, _juiur__+来_4_表u_jur_示,OuuuDOr C=,_O_5D_uiu_r _+，_7_则u_jur_：.
y
7
D
4
C
B
j
o
r i
A
35
x
（3）向量
uuur CD
rr
能否由 i, j
表示出来？
有且只有一对实数x, y , 使得
a
xi
yj
y
A
j
Oi
B
a
x
如图，在平面直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的
两个单位向量 i、j 作为基底.
对于平面内的一个向量 a
由平面向量基本定理可知，
有且只有一对实数x, y ,使得
a
xi
yj
y
yj
A2
B
a
A
A1
j
Oi
xi
x
向量的坐标表示
产生理论联系实际的价值取向和理论来 源于实践、服务于实践的认识观念.
教学重难点
重点： 向量的正交分解及坐标表示
问题1．如图，光滑的斜面上一个木块受到重力 G
的作用，会产生哪两个效果？
§2.3.2-2.3.4平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、共线的坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 2.3.4平面向量共线的坐标表示一、教学目标1．知识与技能（1）理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；（2）掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法；（3）理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标； （4）掌握平面向量共线的坐标表示． 2．过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化．3．态度情感与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美．二、教学重难点1．教学重点：平面向量的坐标运算． 2．教学难点：理解向量坐标化的意义．三、教学过程㈠ 课前1分钟（书P65 习题1.8 A 组 2）根据下列条件，求(0,2)π内的角A1213041()sin ()sin ()cos ()tan A A A A ==-==㈡ 复习回顾平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ, 2λ，使得1122a e e λλ=+．不共线的平面向量1e ，2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底． ㈢ 新课探究引例：光滑斜面上的木块所受重力G 可以分解为平行斜面使木块下滑的力1F 和木块产生的垂直于斜面的压力2F （如图）．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.★在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单，引例就是一个正交分解的例子．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.则对于该平面内的任一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………①其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x ．探究一：以O 为起点，(,)P x y 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 解：如图 (,)OP xi y j x y =+=以O 为起点的向量OP 的坐标也就是终点P 的坐标向量(,)OP P x y −−−−→一一对应探究二：在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示？可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O 处．+OA xi y j =， +a xi y j =点评：1．把a xi y j =+称为向量基底形式； 2．(,)a x y =，称其为向量的坐标形式； 3．(,)a xi y j x y =+=；4．单位向量(1,0)i =，(0,1)j =；5．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1212x x a b y y =⎧=⇔⎨=⎩例1．如图，已知(1,3)A -，(1,3)B -，(4,1)C ，(3,4)D ，求向量OA ，OB ，OD ，OC 的坐标．例2．如图，用基底i ，j 分别表示向量a ，b ，并求出它们的坐标．解：由图可知：1223a AA AA i j =+=+，∴(2,3)a = 同理，23(2,3)b i j =-+=-探究：你能发现向量a 的坐标与它起点坐标和终点坐标间有什么联系吗？平面向量的坐标运算 向量的加法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b +的坐标吗？ 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和．结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++ 向量的减法思考：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，能得出a b -的坐标吗？ 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差． 结论：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y -=--向量的数乘同理可得，已知11(,)a x y =，则11(,)a x y λλλ=即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标．例5．已知平面上三点的坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点．分析：引导学生发现可以,AB BC 为邻边构造平行四边形，则AD BC =即可求出点D 的坐标；还可以以,AB AC 为邻边，或以,BC AC 为邻边． 平面向量共线的坐标表示探究：向量b与向量(0)a a ≠共线当且仅当存在实数λ使b a λ=，若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则上述结果如何用坐标表示？1211222212(,)(,)(,)x x x y x y x y y y λλλλλ=⎧==⇔⎨=⎩思考：（1）如何消去λ？ 当20x ≠时，12x x λ=，∴1122xy y x =即12210x y x y -= （问：左式当20x =时成立吗？）（2）向量共线的两种等价形式：1221//(0)0a b a b a x y x y λ≠⇔=-=或． 探究：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，当12PP PP λ=时，点P 的坐标是多少？解：∵12PP PP λ=，∴1121PPPP λλ=+（如何确定？）11112121()11OP OP PP OP PP OP OP OP λλλλ=+=+=+-++121211(,)1111x x y y OP λλλλλλλ++=+=++++ ∴点P 的坐标是1212(,)11x x y y λλλλ++++——定比分点坐标公式注意：（1）中点坐标公式是定比分点坐标公式的特殊情况1λ=；（2）套用公式时要分清向量的起点、终点以及λ是多少． ㈣ 课堂练习 课后练习书P100-101（6与7要求用探究得到的定比分点坐标公式重新计算）． 练习巩固1．已知O 是坐标原点,点A 在第一象限，43OA =60xOA ∠=︒，求向量OA 的坐标． 2．已知(11,12)A 、(4,5)B 、(10,11)C ，求证：A 、B 、C 三点共线． 3．已知(,12)A k 、(4,5)B 、(10,)C k ，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 能力提升1．已知(1,0)a =，(2,1)b =，当实数k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？并确定此时它们是同向还是反向．2．已知(1,3)A -和(8,1)B -，如果点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值． 3．已知ABC ∆中,(0,0)O ,(0,5)A ,(4,3)B ,14OC OA =，12OD OB =,AD 与BC 交于M ，求点M 的坐标．4．已知点,,,O A B C 的坐标分别为(0,0), (3,4)，(1,2)- (1,1)是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立?解释你所得结论的几何意义．㈤ 课堂小结 1．向量坐标定义；2．向量的坐标运算法则：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，11(,)a x y λλλ=3．若),(11y x A ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--； 4．平面向量共线的坐标表示若11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么1221//(0)0a b a x y x y ≠⇔-=． ㈥ 课后作业1．书P101 习题2.3 A 组 1，3，7 B 组 2； 2．课时训练． ㈦ 教后反思。
2.3.2向量正交分解及坐标表示（教学建议和反思）
§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学建议（一）、复习引入：问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。
指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。
设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。
指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。
2、平面向量的坐标表示问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。
对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。
问题4、如图，取与x 轴，y 轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。
设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。
问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，问题6、写出、、的坐标；设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。
问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么的坐标是什么？（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么？（1）（2）设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
人教版高中数学必修四《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》
b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算
性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？ 答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
答案
梳理
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2.3.2 平面向量的正 交分解及坐标表示
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量 的坐标区分开来.
平面向量的基本定理
把一个向量分解为 两个互相垂直 量，叫做把向量正交分解.
的向
知识点一
平面向量的正交分解
思考 如果向量 a与b的夹角是 90°，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一 组基底？ 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一
有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，
我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
思考2
在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1 ， 1) ，则 A 点位置 确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定 了吗？
题型探究
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45° ，
→ → ∠OAB＝105° ，OA＝a，AB＝b. 四边形 OABC 为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(优秀经典公开课比赛课件).
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
Hale Waihona Puke y a（x，y）叫做向量a的坐标，记作
j
a=xi + yj
那么i =（1 ，0）
j =( 0 ，1 )
O 0 =（ 0 ，0）
i
x
2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
求它们的坐标．
A2
解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3)
A A1
d 2i 3 j (2,3)
作业
❖谢谢
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
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用方程思想求向量坐标 已知a＋b＝ (2,-8),a－b＝ (－8,16),求a和b. 分析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则问题就可转化 为方程思想解决．
解析：解法一：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则
n＋q＝－8 m－p＝－8 n－q＝16
m＋p＝2
n＝4 ，解得 p＝5 q＝－12
二、向量的坐标运算 1．两个向量和差的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________； a－b＝________. 2．数乘向量和坐标运算
若a＝(x，y)，则λa＝__________.
3．向量AB 的坐标表示 若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝______.即一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的______． 1.(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 2.(λx，λy) 3．(x2－x1，y2－y1) 终点的坐标减去始点的坐标
点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来向量的相应坐标． (2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差)
跟踪训练
1．已知 a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： 1 3 (1)2a＋3b； (2)a－3b； (3) a－ b. 2 2
解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)； (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)； 1 3 1 3 (3) a－ b＝ (－1，2)－ (2，1) 2 2 2 2 －1，1－3，3＝－7，－1. ＝ 2 2 2 2
一级训练 → 1．若AB＝(2，3)，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( A．(1,1) C.(3，5) B.(－1，1) D.(4，4)
C
)
2．已知a＝(5，－3)， b＝(1，－5)，则2a－b等于( A.(－9，1) C．(9，－1 ) B.(－9，－1) D.(9，1)
C
)
1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
→ → → 1，3)，AC＝(2，4)，AD＝(－3，5)， 解析：AB＝( → → BD＝(－4，2)，CD＝(－5，1). → → → AD＋BD＋CD＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1) ＝(－12，8). 根据平面向量的基本定理，一定存在实数m，n → → → → → 使得 AD＋BD＋CD＝m· ＋n· ， AB AC 即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)， m＋2n＝－12 m＝32 可得 ，解得 . 3m＋4n＝8 n＝－22 → → → → → 所以AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
解析：设c＝xa＋yb，则有 (－6，19)＝x(2，1)＋y(－3，4) ＝(2x－3y，x＋4y)，
2x－3y＝－6 x＝3 ∴ ，解得 . x＋4y＝19 y＝4
∴c＝3a＋4b.
平面向量的坐标表示
已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和 → → → → → (－2，3).以AB，AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD. D
自测自评 1．若向量(x，y)＝0，则必有( B ) A．x＝0或y＝0 B．x＝0且y＝0
C．xy＝0
D．x＋y＝0
1→ → → (－2，4)，MB＝(2，6)，则2AB＝( 2．已知MA＝ A．(0,5) B．(0,1) C．(2,5) D．(2,1)
D )
3．已知a＝(3,－1)，b＝(－1,2)，c＝2a＋b 则c＝( B ) A. (6,－2) C. (－5,0) B.(5,0) D.(0,5)
4．若点A (－2,1) ，B(1,3)，则
(－3,－2) ＝_________.
5．若向量a＝ (2,3) ，b＝ (－1,2) ，则向量a－2b的坐 (4,－1) 标是___________．
平面向量的坐标运算 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，
a－b，3a＋4b.
分析：利用向量的坐标运算法则． 解析：a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)， a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
4.终点A的坐标 向量 OA 的坐标
思考应用 1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？ 解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位 置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其 仅仅由大小和方向决定，与位置无关； (2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标， 当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的 坐标．
3．几个特殊向量的坐标表示
i＝________，j＝________，0=________.
4．以原点O为起点作向量 OA，设 OA ＝xi＋yj，则 向量OA 的坐标(x，y)，就是________；反过来，终点A的 坐标(x，y)也就是________． 3．(1,0) (0,1) (0,0)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解向量的坐标表示． 2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐 标的差、数乘向量坐标和向量 AB的坐标运算．
分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的 坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识， 求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量 → → → → → 等的坐标，然后根据平面 AB、AC、AD、BD、CD → → → → → 向量基本定理得到等式 AD＋BD＋CD＝m· ＋n· ， AB AC 再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的 系数．
→ → → 量 AB、BC、AC 的坐标，进而利用向量的数乘、加、
减的坐标运算，问题就可得解．
→ → (－2，10)，BC＝(－8，4)， 解析：AB＝ → AC＝(－10，14). 1 → 1→ ∴AB＋ BC＝(－2，10)＋ (－8，4) 2 2 ＝(－2，10)＋(－4，2)＝(－6，12)； → → BC－2AC＝(－8，4)－2(－10，14) ＝(－8，4)－(－20，28)＝(12，－24).
点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量 共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知 的点的坐标，是一种最基本的方法．
跟踪训练 4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2)，B(3，－1)， C(5,6)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四 个顶点．
解析：设D(x，y)，则 → BA＝(1，2)－(3，－1)＝(－2，3)， → CD＝(x，y)－(5，6)＝(x－5，y－6). → → ∵BA＝CD， x－5＝－2 x＝3 ∴ ，解得 . y－6＝3 y＝9 ∴D(3，9).
平面向量坐标在几何中的应用 已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，
B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边
形ABCD的四个顶点．
分析：根据平行四边形对边平行且相等， → → → → 即有BA＝CD，AD＝BC.
解析：设D(x，y)，则 → BA＝(－2，1)－(－1，3)＝(－1，－2)， → CD＝(x，y)－(3，4)＝(x－3，y－4). → → ∵BA＝CD x－3＝－1 x＝2 ∴ ，解得 . y－4＝－2 y＝2 ∴D(2，2).
2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐 标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密 结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟 悉的数量运算．
3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐 标． 4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点， 终点在该点的向量坐标．
思考应用 2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而 向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？ 解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐 标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量 AB 经过平 移以后得到向量CD ，这两个向量的坐标分别等于其相 应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终 点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形 全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只 和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关， 而与具体位置无关．
m＝－3
.
∴a＝(－3，4)，b＝(5，－12).
1 解法二：a＝ [(a＋b)＋(a－b)]＝(－3，4)， 2 1 b＝ [(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12). 2
点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解 决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整 体思想，解向量方程．
跟踪训练 2．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，c＝(－6,19)， 用a，b，表示c.
基础梳理 一、平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为________ 叫做把向量正交分解． 2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由 平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得 ________．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我 们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作________，其中x 叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做 向量的坐标表示． 1.两个互相垂直的向量 2.a＝xi＋yj a＝(x，y)
点评： 坐标运算要熟记公式，始点和终点的前 后顺序不可颠倒，否则会出现错误．
跟踪训练
3．若A、B、C三点的坐标为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)， → 1→ → → 求AB＋ BC和BC－2AC的坐标． 2