平面向量的正交分解和坐标表示及运算

复习回顾
1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ）
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )
A.3 B .-3 C.0 D.2
4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值.
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、基本概念
1．平面向量的坐标表示
（1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。

(3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝
下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。

(4).
. 向量的坐标运算
①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________.
(5). 向量平行的坐标表示:b a // ⇔______________________ .
（6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ .
二． 典例分析
例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB A B =-u u u r （2）已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB B A =-u u u r （3）已知求 的坐标.
(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+r r r r r r r r 练习1 .已知求 的坐标.
2.已知点
()A -1,5和向量()2,3a =r ，若AB=3a u u u r r ，则点B 的坐标为_____________________ .
例2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、
（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.
变式. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例3. (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD ＝ ( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(－3，－5) D．(－2，－4)
变式．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．
例4. (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．
若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2
变式．(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为 ( ) A．5 B．6
C．7 D．8
例5．已知向量
)3,2(
=
a
，
)6,
(x
b=
，且b
a//，则=
x_____________________ .
练习1．已知向量
(1,1),(1,2)
a b
=-=
r r
，且
(2)//()
a b a b
λ
+-
r r r r
，则=
λ_____________________ ．
2.已知
(1,2),(,1),2
a b x u a b
===+
r r r r r
，2
v a b
=-
r r r
，且//
u v
r r
，求实数x；
本节检测
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于(
) A ．－12a ＋32b B.12a －32b
C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB u u u r ＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交
于点F.若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r ＝( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b
6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b.
巩固练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ， 求P 点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.
4．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③
C ．②③
D ．①②③
5．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为 ( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
6．已知两点
A (4,1)，
B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，－35
7．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.。