空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
-7-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 3】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若
������������=3i,������������=2j,������������1=5k,则������������1等于( )
A.i+j+k
B.13i+12j+15k
基底,则a的坐标为
.
答案(3,2,-1)
-8-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 当堂检测
探究一基底的判断
例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出
下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以
解析只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱
中,������������, ������������, ������������1不共面,可作为基底. 答案C
-4-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【思考2】平面向量的坐标是如何表示的? 答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可 知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.
空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示
思考：当
0
cos
r a
,
r b
1及1
cos
r a
,
r b
0
时，
的夹角在什么范围内？
练习:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
rr
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
rr
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
r
r8ar 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
练习：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
y
r r ur
以 i, j, k 为单位正交基底
z
z
建立空间直角坐标系O—xyz
upr P(x, y, z)
r r ur
i, j, k 为基底 ur r r ur
(x, y, z)
ur
urp xi y j zk
k
r O r
xi
j
y 记 upuur ( x, y, z)
y OP ( x, y, z)
r 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. 对空间任一向量 a ,由空间
z
r a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组
(a1
,
a2
,
a3
),使
r a
r a1 i
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
314空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)【课时目标］1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 .2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 .3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1. 空间向量基本定理 （1） 设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 0,那么，对于空间任一向量 P ,存在一个 ________________ ，使得 ____________ ，我们称 ______ , ______ , ______ 为 向量P 在i 、j 、k 上的分向量. （2） 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 有序实数组｛X, y, Z ｝，使得 ________________⑶如果三个向量a , b , c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 __________________ .这 个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的，我们把｛a , b , c ｝叫做空间的一个 __________ , a , b , c 都叫做 ___________ .空间中任何三个 __________ 的向量都可构成空间的一个基底. 2. 空间向量的坐标表示若e 1、62、e 3是有公共起点0的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为 ，以 61、62、63的公共起点 0 为原点，分别以 61、62、63的方向 为X 轴、y 轴、Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量P ,由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组｛X, y, Z ｝,使得p =x e 1+y 62+ Z 63,把x,y, Z 称作向量P 在单位正交基底 61, 62, 63下的坐标， 一、选择题 1. 在以下3个命题中，真命题的个数是 （ ） ① 三个非零向量 a , b , c 不能构成空间的一个基底，则 ② 若两个非零向量 a , b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a , b 共线； ③ 若a , b 是两个不共线向量，而 c =扫+收入吐R 且入哥0），则｛a , b , c ｝构成空间 的一个基底. A . 0 B . 1B. 设向量｛a , b , c ｝是空间一个基底，则｛a + b ,C. |（ab ）c |= a||b||c ・2. 已知0、A 、B 、C 为空间不共面的四点， —0C,则与a 、b 不能构成空间基底的是 A. 0AB . 3. 以下四个命题中，正确的是1 7 1 7A.若 0P = 20A + 30B ，贝y P 、且向量 a = 0A + 0B + 0C,向量 b = 0A + 0B0B（ ）A 、B 三点共线c.oCD.OA 或 OB，那么对空间任一向量 p,存在 记作a ,b ,c 共面; b + c , c + a ｝构成空间的另一个基底3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)D. △ ABC 是直角三角形的充要条件 AB AC = 04.设0 — ABC 是四面体，G i 是^ ABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且0G = 3G,G i 若 =xOA + yOB +Z 0C ,贝U （X, y, z ）为（ A.（4,4 4） c.（3 3,3）) (3, (2 =.(3' 3' 3 3 4, 2OG5.已知点 A在基底｛a, b, c｝下的坐标为（8,6,4），其中a = i + j, b= j+ k, c= k +i,则点A在基底｛i, j, k｝下的坐标是（A. （12,14,10）C. （14,12,10）6■已知空间四边形 OABC中OA = a,N为BC的中点，贝U MN等于（）A 1 2 1A.尹-3 b+ 2c1 1 1C.^a + 2b— 2 c二、填空题)B. (10,12,14)D. (4,3,2)OHB = b, O>C = c,点 M 在 OA 上，且 OM = 2MA,2 1 1—3 a+ 2 b+2c2 2 1D.3a+ 3b—2c7.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a= 3i+ 2j—k, b=— 2i+ 4j + 2k的坐标分别是______________ .8.已知空间四边形 ABCD中，A B= a — 2c, CD = 5a+ 6b— 8c,对角线 AC、BD的中点分别为E、F，则EF = ______________________ .9■已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，A O = xAB+ yBC +zCC i，贝y x+y+ z=三、解答题10.四棱锥P— OABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC设O A= a, OC = b, OP = c, E、 F分别是PC和PB的中点，用a, b, c表示BF、B E、AE、EF.11■已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD, 求MN'、DC的坐标.【能力提升】12•甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F i, F2, F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1= i+ 2j+ 3k, F2=-2i + 3j- k, F3= 3i-4j+ 5k,则这三名工人的合力 F = x i + y j + z k，求x、y、乙13.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F分别是BB i、D1B1的中点，求证：EF1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.2.0P = xoA = xoA + yoB + zoC，当且仅当 x+y+ z= 1 时，P、A、B、C 四点共面.3.对于基底｛a, b, c｝除了应知道a, b, c不共面，还应明确:(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的 所有向量均可由基底惟一表示.(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向 量不共面，就隐含着它们都不是0.假设存在实数 k 1, k 2,使 c + a = k 1(a + b ) + k 2(b + c ) = k 1 a + (k 1 + k 2)b + k 2c , jk1 =1; 则有*1 + k 2= 0; 方程组无解，lk2= 1.即向量a + b , b + c , c + a 不共面，故 B 正确. C 中，ab =a||b |cos 〈a , b 〉w ai I •，故 C 错.D 中，由A B A C > 0? △ ABC 是直角三角形，但^ ABC 是直角三角形，可能角B 等于90° 则有"BABC ^O .故D 错.]4. A [因为 0G= 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
a, b, c
分别是是AB,
AD,
AA方向上的单位向量，
且有
AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a, b, c
表示向量
AC
？
AC x a y b z c
特2
设
e1,
e2
,
e3为有公共起点
O
的三个两两垂
直的单位向量（称为单位正交基底），
以
e1,
e2
, e3的公共起点
O
为原点，分别以
e1, e2 , e3
空间向量的正交分解及其坐标表示
人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修2-1：3.1.4
复习旧知，引入新课
平面向量基本定理
如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数
1 ,
2
，使
a
1
e1
2
e2
。
（
e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c
，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量 AC？
AC x a y b z c
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在
唯一
有序实数组x, y, z，使得
p xa y b z c
。
a, b, c
叫做空间的一组基底，a,
b,
c
都叫做基向量。
表示
OP
和
OQ
。
谢谢各位老师！
平面向量的基本定理可以推广到空间中吗？
问题情境，探究新知
探究
如图，有一平行六面体ABCD ABCD， 如何
用向量
AB,
AD,
AA
表示向量
AC
？
AC AC AA
= AB AD + AA
变式1
如图，有一平行六面AB体CDABACBDCDABCD， 设向量
A
a,
b,
c
分别是是
AB,
AD,
AA方 向上的向量，且
的方向为
x
轴、y 轴、z
轴的正方
向建立空间直角坐标系O xyz，那么对于
空间中的任意一个向量
p
，一定可以把
它平移，使它的起点与原点O重合，得
到
OP
=
p
，由空间向量基本定理，存在
有序实数组x, y, z，使得
。
p x e1 y e2 z e3
把 x, y, z称作向量
p在单位正交基
e1, e2 , e3下的坐标，记作
p x, y, z
当向量的起点在坐标原点时，空间向量与有序 实数组之间有一一对应关系
空间向量
p
e1
,
e2
,e3
为基底
一一对应
有序实数组
x, y,z
p x e1 y e2 z e3
课后思考，应用新知
如右图，M , N 分别是四面体OABC 的边 OA, BC
的中点，P,Q 是 MN 的三等分点。用向量OA、OB、OC
任意三个不共面的非零向量都可以作为空间向量的基底。
变式2
如图，有一长方体AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
A
a,
b, c
分别是是AB,
AD,
AA
方向上的向量，且
有AB
x
a,
AD
yb,AA来自zc，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量
AC
？
AC x a y b z c
特1
在空间直角坐标系
O
xyz
中，如果i ,
j,
k
是空间中的三个两两垂直的向量（称
为正交基底），那么对于空间中的向
量任一向量
p
OP，设点
C
为点
P
在
i,
j
所确定的平面上的正投影，存在有序
实数组 x, y, z，使得 p x i y j z k 。
x
i,
y
j,
z
k
为向量
p
在i ,
j,
k上的分向量。
变式3
如图，有一长方体 AABBCCDDAABBCCDD， 设向量