平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示选择题1. 已知向量(,2),(3,)→→=-=-m m a b ,m ∈R ,若()→→→+∥a a b 则=m （ ）A.B.C.D.-1或4【分值】5【答案】C【易错点】（1）向量平行与向量垂直在坐标运算上容易弄混（2）容易把=m 况遗漏掉【考查方向】本题主要考查向量的坐标运算以及向量共线得坐标表示，向量得坐标运算特别是平行与垂直的坐标表示常常是这几年高考的热点问题，属于基础题，考查学生对基本的结论的掌握及运算求解能力.【解题思路】先求得→→+a b 的坐标，进而再利用向量平行的坐标运算结论得到关于m 的方程，从而解得m 的值.【解析】(3,2)m m a b +=--+，若()∥a a b +，则有(2)2(3)0m m m -+---=，解得m =2. 在ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若()PA 4,3=，()PQ 1,5=，则BC ＝( )A. ()5,8B. ()8,6C. ()-6,21D. ()18,39【分值】5【答案】C【易错点】个别同学在表示向量PC时不能直接和PA与PQ建立联系.【考查方向】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的几何运算法则及坐标运算，是对用基底表示完平面向量后又对其坐标运算的考查.【解题思路】本题实质是以PA与PQ为基底表示向量BC，可以先将BC转化到离基底比较近的向量PC上，然后再逐步逼近基向量，最后依据向量的加减法坐标运算法则得到BC 的坐标.【解析】()()()()==-=-=-=-.BC3PC32PQ PA6PQ3PA6,3012,96,213.已知点()B a,0共线，则函数y sin axP2,1在直线AB上，且A(0)2，,()=的周期为( )pA.2B. pC. 2pD. 3p【分值】5【答案】A【易错点】(1)三点共线，有些同学不会利用向量这一工具来解决问题;(2)在用向量共线的坐标表示时易与垂直的结论弄混.【考查方向】本题主要考查平面向量共线的坐标表示及三角函数的图像及性质。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示和运算
解：设b (x, y),则4b (4x,4 y),3a (6,3)
所以：3a 4b (6 4x,3 4 y) (3,4)
即：6344xy43, 得x
9 4
,
y
1 4
所以：b ( 9 , 1 ) 44
由题意知：3a (6,3)
4b
（
3,4）
3a
（
3,4）（6,3）（
9,1）
得b ( 9 , 1 ) 44
同理可得 a b=(x1-x2,y1-y2) 这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
典例剖析
例4.已知a (2,1),b (3,4),求a b, a b的坐标.
探究:如图，已知 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2，) 求 AB 的坐标.
y
解：AB = OB - OA A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
O
x
且AB DC
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
向量 a 的坐标 一 一 对 应 点A坐标（x ，y）
例3.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3);
第六章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减法的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
平面向量的正交分解极坐标表示ppt课件
（填写正确的序号）．
①
14 3
，3
；②
7
，9 2
； ③
-
14 3
，-
3
；④
( - 7 ，9 )
.
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新课引入
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为Gu r
，下滑力为uF
ur
1
，木块对斜面的压力为
u F
ur
2
，
这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
ur uur uur G=F1+F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作 把向量正交分解.
.
平面向量的坐标表示
如的单图位，ri向, rj 量是，分若别以与ri x, r轴j 为、基y轴底方，向则相同
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
丽水学院附中高一数学组
.
பைடு நூலகம்
知识回顾
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)基底不唯一，关键是不共线； (2) 基底给定时，分解形式唯一.
.
.
uuur 例2.如图，已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 A B 的坐标。
解：
uuu r uuu r uuu r A BO BO A
y
(x2,y2)(x1,y1)
A
(x2x1,y2y1)
B
O
x
小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段
平面向量正交分解及坐标表示及坐标运算
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算学习目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。
学习任务：(一)平面向量的正交分解：阅读课本94-95页，回答下列问题 1、什么是正交分解？2、观察右图，OA a =,完成下列问题:(1)向量1OA 与向量i 共线，则存在唯一实数x ，使得i OA___1=; (2)向量2OA 与向量j 共线，则存在唯一实数y ，使得j OA__2=;(3)由平行四边形法则，________________+=+==OA a. 3、阅读课本第95-96页，完成下列问题向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的 向量i ，j 作为 ，对于任一向量a ， ____________一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫___________，记作_________ 其中x 叫 ，y 叫 。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）相等的向量的坐标 ；（3）i =（ ， ），j =（ ， ），0(0,0)=；（4）直角坐标系中点A 、向量OA 、有序数（x,y ）有什么关系？从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是 。
(二)平面向量的坐标运算1.阅读课本第96页，完成问题已知),(),,(2211y x b y x a ==，则(1)=+b a ____________________,=-b a____________________(用坐标表示)。
(2)=aλ____________________(R ∈λ)(用坐标表示)。
2.阅读课本第97页例4，完成课本第100页练习1，2；课本第101页习题A 组2。
3.若A 点坐标为),(11y x ，B 点坐标为),(22y x ，O 为坐标原点，则(1)OA =___________,OB =___________,________________________=-=-=AB 。
【例题讲解】平面向量的正交分解及坐标表示完整版课件
4i 2 j 4,2 .
平面向量的正交分解及坐标表示
典例讲解
例 如图，在平面直角坐标系中，分别 取与x轴，y轴同向的两个单位向量i ，j，以{i，j}作为基底，对于平面 内的一个向量a，若|a| =2，θ=45°， 则向量a的坐标为__________.
平面向量的正交分解及坐标表示
典例讲解
例 已知取与x轴，y轴同向的两个单位 向量分别为i，j，{i，j}作为基底， 分别用i，j 表示 OA , OB , AB , 并求出它们的坐标.
分别把 OA , OB , AB 作正交分解， 以{i，j}作为基底，即可求得 坐标.
解 由图知，OA6i 2 j , 所以 OA(6,2) ,
a 正交分解
a |a|cosi|a|sin j
对于起点不在原点的向量 ：（1）正交分解；
分别向x轴，y轴作垂线 （2）借助三角函数，计算得到坐标表示.
谢谢观看
Thanks
|a|sin
|aosi|a|sin j
解 由题意知， a |a|cosi|a|sin j
2cos45i 2sin45 j 2i 2 j （ 2，2）.
平面向量的正交分解及坐标表示
知识小结
例 如图，在平面直角坐标系中，分别 取与x轴，y轴同向的两个单位向量i ，j，以{i，j}作为基底，对于平面 内的一个向量a，若|a| =2，θ=45°， 则向量a的坐标为__________.
平面向量的正交分解及坐标表示
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课件(人教版)
人教202XA版必修 第二册
平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及 坐标表示
复习回顾
平面向量基本定理:
e 如果，那么对于这一平面内的任一向量 a
有且只有一对实数 1 、2 使 a 1e1 2e2
我们把 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
3.如图，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30° 角，求点 B 和点 D 的坐标和A→B与A→D的坐标．
3.【解析】由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆
心的单位圆的交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，
达标检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．
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3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y
如 图 ， i， j是 分 别 与 x轴 ， y轴 方 向 相
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
a
同 的 单 位 向 量 ， 若 以 i， j为 基 底 ， 则 C
A
对于该平面内的任一向量a,
有且只有一对实数x,y，可使 a=xi+yj
j
oi B
D
x
这 里 ， 我 们 把 ( x, y) 叫 做 向 量 a 的 坐 标 ， 记 作 a= ( x, y)
其 中 ， x 叫 做 a 在 x 轴 上 的 坐 标 ， y 叫 做 a 在 y 轴 上 的 坐 标 .
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3i 2j j a
Oi
A
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
y
7
D
4
C
B
j
x
oi A 3 5
（2）若用 i , j 来表示OC,OD ，则： O C _ _ 3_ i _ _ 4_ j_ _ , O D _ _ _ 5_ i_ _ 7_ j_ _ .
（3）向量 C D 能否由 i , j 表示出来？可以的话，如何表示？
CD2i3j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
回顾：
1.什么是平面向量基本定理？
2.什么是向量的夹角？夹角的范围是多 少？夹角为多少度时两向量垂直？
导入：
光滑斜面上一个木块受到重力 G 的作用， 如图，它的效果等价于 F 1 和 F 2 的合力效果，
即 G=F1 F2, G=F1 F2 叫做把重力 G 分解.
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫做把向量正交分解.
正交分解时向量分解中常见的一种情形.
思考：
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点 都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直 角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？
思考：如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OAi,OBj，填空：
（1） i ___1__,| j |___1___, | OC| ___5___;
在平面直角坐标系内，每一个平面向量 都可以用一组有序实数对唯一表示.
y
y
A
axi+yj
x
a (x, y)
例1 如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
A2
A
A1
解：如图可知
a A A 1 A A 2 2 i 3 j
所以a(2,3).
同理，
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
总结：
1.正交分解的概念 2.向量的坐标标示
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.