2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
复习
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
复习
a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条 件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一，λ1,λ2唯一确定。
新课引入
F1 G F2
G = F G与 F F ? 1+F2 1, 2有什么关系 G=F1+F2叫做重力G的分解
若两个不共线向量互相垂直时
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
y y
A
C ( x, y )
o
j
a
i
B
a
x
( x, y ) 叫做向量的坐标，记 ③我们把有序数对 作 a ( x, y) ；
则C点的坐标为 ( x, y ) ；反之，若已知C点 x
的坐标为 ( x, y ) ，也可得到 a ( x, y) 。
a ④将 的起点平移到原点，作向量 OC a ，
x
a xi yj =( x,y )
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
y yj j O i a x
xi
y
向量a、b有什么关系? a＝b
yj yj j O i
a
b
能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi xi x
相等的向量坐标相同
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5
i1 2 3 4 x d
d=2i-3j=(2,-3)
问题三：已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，你能得出 a b , a b , a 的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）；
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标。
a ( x1 , y1 )
(1)利用相等向量。
(2)利用加法的平行
B
(2,1) A
O
D
( x, y )
x
四边形法则。
随堂练习 1、 a= 4,6 ,且a=2b,那么 b的 坐标是 B A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) 2、若向量a= x-2,3 与向量b= 1,y+2 相等，那么 B A、x=1,y=3 B、x=3,y=1
例2、已知 a (2,1), b (3,4), 求 a b , a b ,3a 4b
的坐标。
a b (1,5) a b (5, 3)
3a 4b (6,3) (12,16) (6,19)
(1)a (1, 2)
解：y (2)b 源自(1, 2)B(1, 2)
y
o
. A(1,2) a x
.
b
o
x
例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、
d ,并求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
3、平面向量的坐标运算；
例3、如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，求 AB 的坐标。
y
AB ( x2 x1 , y2 y1 )
A
B O x
AB 一个向量的坐标等于该向量的有向线段的
终点坐标减去起点坐标。 B A
例4、如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的 (1,3)、 (3,4) ，试求顶点D的坐标。 坐标分别是 (2,1)、 (3, 4) (1,3) y C
C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1 3、已知AB= x,y , B的坐标是 -2,1 ,那么 OA的坐标为 C A、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1) C、(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)
4、若向量 a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,那么 c等于 B 1 3 1 3 3 1 3 1 A、 - a+ b B、 a- b C、 a- b D、 - a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 5、已知a= 3,-1 ,b= -1,2 ,那么 -3a-2b等于 B
B、 -1 C、 -1 -7， -7,1 D、 7， 6、已知B的坐 标是 m,n ,AB 的坐标为(i,j),则点A
A、 7,1
的坐标为
A
A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)
B、(i-m,j-n)
D、(m+n,i+j)
课堂小结： 1、平面向量的正交分解； 2、平面向量的坐标表示；
λ2 a2
a
F1 G
F2
正交分解
λ 1a 1
问题二： 在平面直角坐标系中，每一个点都可 以用有序实数对来表示，即A( x, y ) 。
y
①分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向 量 i , j 作为基底（正交基底）； ②对于平面内的任意向量 a ，由平面向量基 本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 得 a xi yj ；
课件3：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
知识点 2：平面向量的坐标运算 问题导思 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出 a＋b，a－b，λa 的 坐标表示吗？ 能
总结 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
试求 λ 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内．
解:设点 P 的坐标为(x，y)，
则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A→B＋λ·A→C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
解:如图，正三角形 ABC 的边长为 2，则顶点 A(0,0)，B(2,0)， C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1， 3)，D(12， 23)，∴A→B＝(2,0)，A→C＝(1， 3)， B→C＝(1－2， 3－0)＝(－1， 3)，B→D＝(12－2，23－0)＝(－32，23)．
规律方法 1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当 向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几 何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
例 2.(1)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)， 求A→B＋2B→C，B→C－12A→C的坐标． (2)已知 a＝A→B，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且 a＝3b－ 2c，求 A 的坐标．
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (2)
yj 1
j
-2
2
4
6
O i xi
OP -1 向量
一 一 对 应P（x ，y）
-2
-3
向量的坐标表示4 OP xi y j (x, y) 3 P（x，y） 2
yj 1
j
-2
2
4
6
O i xi
OP -1 向量
一 一 对 应P（x ，y）
-2
-3
新知探究
探究2: 在平面直角坐标系内，起点不在坐标
x
a ( x, y )
典例解析
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.
yA a
a
ox
平面向量的坐标表示
y
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方
D a
向相同的单位向量，若以 i, j 为基
C
底，则
A
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
j o iB
x
a xi +y j
课堂小结
1.平面向量基本定理可以联系物理学中 的力的分解模型来理解，它说明在同一 平面内任一向量都可以表示为不共线向 量的线性组合，该定理是平面向量坐标 表示的基础，其本质是一个向量在其他 两个向量上的分解。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算
B
)
解析：设 c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
λ1＋λ2＝－1 则 ，∴ λ1－λ2＝2
3 λ ＝－ 2
λ1＝
2
1 2
，
1 3 ∴c＝ a－ b，故选 B. 2 2
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
5．已知边长为单位长的正方形 ABCD.若 A 点与坐标原点重合，边 AB、AD 分别落在 x 轴、y 轴的正方向上，则向量 2AB― →＋3BC― →＋AC― →的坐标为________．
解析：根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为 A(0,0)、B(1，0)、 C(1,1)、D(0,1)．
D
)
1 3 1 3 解析： a－ b＝ (1,1)－ (1，－1)＝(－1,2)，故选 D. 2 2 2 2
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
4．若 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( 1 3 1 3 (A)－ a＋ b (B) a－ b 2 2 2 2 3 1 3 1 (C) a－ b (D)－ a＋ b 2 2 2 2
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要点突破
典例精析
演练广场
解：OC― →＝－OA― →＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)． 由正方形的对称性得 B(1，－1)， ∴OB― →＝(1，－1)，同理 OD― →＝(－1,1)．
向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，本题从以下两个方面考虑：一是相 等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(6)
D
yj a yj
C ''
C
xi
E
j BA xi x
o i C' D'
把x叫做a的横坐标，y叫做a的纵坐标.
对向量坐标的透切理解:(1)|x|= |CE| | CE | | CE |, |i | 1
即x的绝对值等于向量a在x轴上的分向量的长度； （2）x的符号：当CE与i 同向时，x>0，当CE与i反向时，x<0， 当CE缩短为一点时，x=0.同理确定y.
y 5
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
b
4a
3
2A
A1
j 1i
同理
-4 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x
b 2i 3 j (2,3);
-2
c 2i 3 j (2, 3);
c
-3
d
-4
d 2i 3 j (2, 3).
-5
点评：要找出向量在坐标轴上的分向量，简单
思考：i的坐标是多少？用坐标怎样表示？j 呢？
i的横坐标为1，纵坐标为0，坐标表示为：
i (1, 0).
j (0,1).
如图2.3-8，在直 角坐标平面中， 以原点O为起点 作OA a,则点A 的位置由向量a 唯一确定. 由OA a=xi y j 可以看出向量OA的 坐标（x, y）就是 点A的坐标；反过来， 终点A的坐标也是 向量OA的坐标.
例3.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b, 3a 4b 的坐标。
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1.请写出下列各向量的坐标
i ＿(1＿,0＿) ， j ＿(0＿,1＿) ，0 ＿(0＿,0＿) .
2.若向量
a
3i
4
j
，则向量
a 的坐标
是 (3,-4) .
3.若向量a
(x
2,3)与向量b
(1,
y
2)相等,
则(B)
A.x=1, y=3 B.x=3, y=1 C.x=1, y=-5 D.x=5, y=-1
i3_, _juiur__+来_4_表u_jur_示,OuuuDOr C=,_O_5D_uiu_r _+，_7_则u_jur_：.
y
7
D
4
C
B
j
o
r i
A
35
x
（3）向量
uuur CD
rr
能否由 i, j
表示出来？
有且只有一对实数x, y , 使得
a
xi
yj
y
A
j
Oi
B
a
x
如图，在平面直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的
两个单位向量 i、j 作为基底.
对于平面内的一个向量 a
由平面向量基本定理可知，
有且只有一对实数x, y ,使得
a
xi
yj
y
yj
A2
B
a
A
A1
j
Oi
xi
x
向量的坐标表示
产生理论联系实际的价值取向和理论来 源于实践、服务于实践的认识观念.
教学重难点
重点： 向量的正交分解及坐标表示
问题1．如图，光滑的斜面上一个木块受到重力 G
的作用，会产生哪两个效果？
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点 解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使 当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0） 例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做 等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式 呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略） 七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示知识导引1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义.2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.知识点1.平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做平面向量的正交分解.【做一做1】如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,下列是正交分解的是()A.AB=OB−OAB.BD=AD−ABC.AD=AB+BDD.AB=AC+CB解析:由于AD⊥AB,则BD=AD−AB是正交分解.答案:B2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.(2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=x i+y j,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是()A.(4,1)B.(-4,1)C.(4,-1)D.(-4,-1)3.向量与坐标的关系设OA=x i+y j,则向量OA的坐标x,y就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标x,y就是向量OA的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.归纳1.向量的表示法(1)字母表示法:用一个小写的英文字母来表示,例如向量a;也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示,例如向量AB,该向量的起点是A,终点是B.(2)几何表示法:用有向线段来表示.(3)代数表示法:用坐标表示.2.点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析:(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).(3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.题型一求向量的坐标【例1】如图,已知点M (1,2),N (5,4),试求MN的坐标.分析:用基底i 和j 表示MN=x i +y j ,则(x ,y )是MN 的坐标. 解:分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底,则MN=4i +2j , 所以MN的坐标是(4,2). 反思向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.【变式训练1】如图,点A (-1,3),B (2,-2),试求AB,BA 的坐标.解:∵AB=3i -5j ,∴AB =(3,−5); ∵BA =−3i +5j ,∴BA=(−3,5). 题型二 平面向量的正交分解及坐标表示【例2】已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA|=4 3,∠xOA=60°,求向量OA 的坐标.解:设点A (x ,y ),则x=|OA |cos 60°=2 3,y =|OA |·sin60°=6,即A (2 3,6),故OA =(2 3,6).【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b ,c 的方向和长度如图,分别求它们的坐标.解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2× 22= 2,a 2=|a |sin45°=2× 2= 2;b 1=|b |cos120°=3× -12 =−32,b 2=|b |sin120°=3× 32=3 32;c1=|c|cos(-30°)=4×3=23,=−2.c2=|c|sin(-30°)=4×-12因此a=(b=-3,33,c=(23,−2).。
高中数学2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示)教案新必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.2 平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.3 平⾯向量的坐标运算课标要求1.理解平⾯向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平⾯向量的坐标运算,能准确运⽤向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进⾏有关的运算. 重点:(1)平⾯向量的坐标表⽰;(2)平⾯向量的坐标运算.难点:对平⾯向量的坐标表⽰的理解.想⼀想(1)实例中的⼒和速度都是既有⼤⼩,⼜有⽅向的量,类⽐⼒和速度的分解,⼀向量能否⽤两个不共线的向量表⽰?(能,依据是平⾯向量基本定理)(2)平⾯内任⼀向量能否⽤互相垂直的两向量表⽰?(能,互相垂直的两向量可以作为⼀组基底)知识探究——⾃主梳理思考辨析1.平⾯向量的正交分解把⼀个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平⾯向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中,分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平⾯内的⼀个向量a,由平⾯向量基本定理可知,有且只有⼀对实数x、y,使得a=x i+yj,我们把有序数对叫做向量a 的坐标,记作a= ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).思考1:在平⾯直⾓坐标系中,以原点为起点的向量OA的坐标与终点A的坐标⼀致吗?(⼀致,都是(x,y))3.平⾯向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=(λx1,λy1)(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于⽤这个实数乘原来向量的相应坐标.(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=OB-OA =(x 2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).即⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.思考2:若AB=CD,则这两向量的坐标相等吗?两向量的具体位置相同吗?(若AB=CD,则这两向量的坐标必相等,但它们的具体位置,即起点、终点不⼀定相同,因为向量可以平⾏移动)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量的坐标表⽰【例1】已知O是坐标原点,点A在第⼀象限,|OA,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:如图所⽰,利⽤三⾓函数的定义,可得sin 60°=yOA,cos 60°=xOA,所以y=|OA|2sin 60°=6,x=|OA |2cos 60°12∴,6),∴OA题后反思始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.⼀般可以借助三⾓函数的定义来确定点的坐标,此时需明确点所在的象限,点到原点的距离,点与原点的连线与x 轴正⽅向的夹⾓.跟踪训练11:如图所⽰,正⽅形ABCD 的中⼼为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别⽤基底i ,j 表⽰OA ,OB ,OC , CD ,BC ,并求出它们的坐标.解:由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA =-i -j =(-1,-1), OB =i -j =(1,-1), OC =i +j =(1,1),|CD|=|CB|=2且CD 、CB 分别与x 轴、y 轴平⾏, 所以CD =-2i =(-2,0),BC =2j =(0,2).题型⼆平⾯向量的坐标运算【例2】设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. 解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).题后反思向量的坐标运算的依据是加、减、数乘运算法则.向量的坐标运算可以类⽐实数的运算进⾏,也可以先化简再计算.【例1】已知向量a =(x 2+y 2,xy),b =(5,2),若a =b ,则x+y= .解析:因为a =b ,所以225,2.x y xy ?+=?=?解得1,2,x y =??=?或2,1,x y =??=?或1,2,x y =-??=-?或2,1.x y =-??=-? 所以x+y=3或x+y=-3.答案:±3【例2】如图,已知边长为12的等边△ABC 中,点D 是边AC 上靠近点A 的边AC 的⼀个三等分点,求点D 和BD 的坐标.解:依题意可得),B(-6,0),C(6,0).设点D 的坐标为(x,y),则CD =(x-6,y),CA因为CD =23CA ,所以(x-6,y)=23 所以64,x y -=-=?? 解得2,x y ==??所以,点D 的坐标为),所以BD达标检测——反馈矫正及时总结1.若向量AB =(1,2),BC =(3,4),则AC 等于( A )(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)解析:本⼩题主要考查向量加法的坐标运算,由AC =AB +BC =(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A.2.(2013年⾼考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同⽅向的单位向量为( A )(A)（35,-45） (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35）解析:AB =(3,-4),则与AB 同⽅向的单位向量为AB AB =15(3,-4)=（ 35,- 45）.故选A. 3.在平⾯直⾓坐标系中,|a |=2014,a 与x 轴⾮负半轴的夹⾓为π3,a 始点与原点重合,终点在第⼀象限.则向量a 的坐标是( C )) ,1007)解析:设a =(x,y),则x=2014cosπ3=1007,y=2014sin π3故a 故选C. 4.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= . 解析:易得AB =(2,0),由a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等得 232,340,x x x +=??--=?∴x=-1.答案:-12.3.4 平⾯向量共线的坐标表⽰课标要求1.通过实例了解如何⽤坐标表⽰两个共线向量.2.理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件.3.会根据平⾯向量的坐标判断向量是否共线.重点难点重点:(1)⽤坐标表⽰两向量共线.(2)根据平⾯向量的坐标判断向量共线.难点:根据平⾯向量的坐标判断向量共线.想⼀想 a ∥b 的充要条件是a =λb (b ≠0),该条件能否⽤坐标表⽰?(能)知识探究——⾃主梳理思考辨析平⾯向量共线的坐标表⽰设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当时,a ∥b .思考:如何记忆平⾯向量共线的坐标表⽰?(坐标交叉相乘,差为零)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量共线的判定【例1】已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB 与CD 是否共线?如果共线,它们的⽅向相同还是相反? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)3(-6)-334=0,∴AB ,CD 共线,⼜CD =-2AB ,∴AB ,CD ⽅向相反,综上,AB 与CD 共线且⽅向相反.题后反思判定两向量共线的常⽤⽅法:(1)向量共线定理,由b =λa (a ≠0)得a ∥b .(2)向量共线的坐标表⽰:对a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由x 1y 2-x 2y 1=0得a ∥b . 跟踪训练11:下列各组向量中平⾏的是 (填序号).①a =(1,2),b =(-2,-4)②c =(1,0),d =(-3,0)③e =(2,3),f =(0,1)④g =(3,5),h =(24,40)解析:①中因为b =-2a ,所以b 与a 共线;②中因为d =-3c ,所以d 与c 共线;③因为e =(2,3),f =(0,1),231-330=2≠0,所以e 与f 不共线;④因为g =(3,5),h =(24,40),所以g =18h ,所以g 与h 共线. 答案:①②④题型⼆由向量共线求参数的值【例2】若向量a =(1,2),b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,求向量b 的坐标.名师导引:先由向量坐标的线性运算求出向量u ,v 的坐标,再利⽤两向量平⾏的坐标表⽰求出x,从⽽写出向量b 的坐标.解:法⼀ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由u ∥v ,则⼀定存在λ∈R ,使u =λv ,则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)()212,43,x x λλ?+=-??=??解得4,31.2x λ?==??所以b =（12,1）. 法⼆ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由向量平⾏的坐标表⽰,得3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=12.所以b =（12,1）. 题后反思解决由向量u ,v 共线求参数问题常有两种思路:(1)表⽰出向量u 、v 的坐标,设u =λv ,由相等向量的坐标表⽰列⽅程组求出参数.(2)表⽰出向量u 、v 的坐标,利⽤向量共线的坐标表⽰求参数值.题型三三点共线问题【例3】设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),求当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线.名师导引:由A 、B 、C 三点共线可知AB ∥AC .求出AB 、AC 的坐标.由向量共线的坐标表⽰求k 值. 解:法⼀ A 、B 、C 三点共线,即AB 、AC 共线,则存在实数λ,使得AB =λAC ,∵AB =OB -OA =(4-k,-7),AC =OC -OA =(10-k,k-12).∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即,4(10),7(12)k k k λλ-=-??-=-?解得k=-2或k=11. 法⼆由题意知AB 、AC 共线,∵AB =OB -OA =(4-k,-7), AC =OC -OA =(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,∴k 2-9k-22=0, 解得k=-2或k=11.题后反思 (1)三点共线问题的实质是向量共线,因此解决三点共线问题的关键是将其转化为向量共线问题.(2)证明三点共线的解题思路.先由三点确定两个向量,然后证明这两向量共线,最后说明这两向量有⼀个公共点.跟踪训练31:已知OA =(3,4),OB =(7,12), OC =(9,16),求证:点A 、B 、C 共线.证明:AB =OB - OA =(4,8),AC =OC -OA=(6,12),∵4312-836=0,∴AB与AC共线.⼜∵AB与AC有公共点A,∴点A、B、C共线.备选例题【例1】如图所⽰,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0, ①⼜CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0, ②解①②组成的⽅程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1b,问是否存在正实数k,t,使x∥y,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:因为a=(1,2),b=(-2,1),所以x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=-1ka+1tb达标检测——反馈矫正及时总结1.下列满⾜平⾏的⼀组向量是( A)(A)a=(1,-4),b=(503,-2012)(B)a=(2,3),b=(4,-6)(C)a=(1,2),b=(-1006,2012)(D)a=(-1,4),b=(3,12)2.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( B)(A)x=-1 (B)x=3 (C)x=92(D)x=51解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),由三点P、A、B共线知PA∥PB,所以-10+5(x-1)=0,x=3.故选B.3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则2a+3b= .解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.∴b=(6,3).∴2a+3b=(8,4)+(18,9)=(26,13).答案:(26,13)4.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且⽅向相反,那么k的值为. 解析:由a∥b知k(k+1)-6=0,得k=-3或k=2.当k=-3时a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,a与b共线且⽅向相反.当k=2时,a=(2,1),b=(6,3)=3a,显然a、b共线且⽅向相同,不符合题意舍去.答案:-3课堂⼩结1.已知向量a=(x1),b=(x2,y2).若a∥b,则(1)a=λb(b≠0).(2)x1y2-x2y1=0.2.向量共线的坐标表⽰有两⽅⾯应⽤(1)由两个向量的坐标表⽰判定两向量共线或联系平⾯⼏何知识证明三点共线或直线平⾏等.(2)由两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹⽅程,要注意⽅程思想的应⽤,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列⽅程(组)的依据.。
平面向量的正交分解及坐标表
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示考点一：平面向量的坐标表示1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2.已知起点和终点求向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。
变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求→AB的坐标。
⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，方向如图所示，分别求它们的坐标。
⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，∠x0A=60°,求向量→OA的坐标。
⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所示，求a的坐标。
考点二：相等向量的坐标表示例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则x=_______,y=_______. ⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则x=_______,y=_______.⑶已知向量i=(1,0),j=(0,1)，a=(3i+3j),则a的坐标是______.⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则向量→OA的坐标是______,向量→OB的坐标是______,向量→AB的坐标是______.⑸已知O是坐标原点，点M在第二象限，∣OM∣=4，∠M0y=30°,则向量→OM的坐标是_______.⑹已知向量→AB=(22246,3m m n-+-),向量→CD=(22,3n+7),向量→EF=(m,n),且→AB=→CD，求向量→EF的坐标。