习题课件：《分式》章末复习
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分式-复习课件-(共34张PPT)
x2
1 x2
2
9
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
x
x
的1x2值. 的1x2 值.
变:已知 x+ 1=3 ,求
x
x2 /x2 的值. x4+x2+1 /x2
1
x2
1 x2
1
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
27xy2
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
m2+4m+4
(3)
m2 - 4
关键找出分母的
2.通分
最简公分母
(1) x 与 y (2)
6a2b
9ab2c
a-1
6
a2+2a+1 与 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
整体代入法化简思想：
【【例例11】】已已知知：：1x
a0 1
an
1
an
(a 0)
(1)(3)3 1 (3)3
1 27
(2)(3a)2 b2 (a2b2 )3 解：原式= 32 a2b2 a6b6
6、用科学记数法表示：
例： 0.00065 6.5104
(1) 0.000030
3.0 105
7、约分
:
例(1)
6x2y 12 xy 2
(2) x 1 2x 1 3x 2 x 1 1 x x 1
复习回顾一:
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
分式与分式方程末归纳与复习ppt
北京地下水位的未来
通过实施南水北调，增加地表水资源量，改善地下水水质，逐步恢复地下水水位 。
未来趋势
未来10年，北京地下水位埋深有望下降到18米左右； 未来30年，北京地下水位埋深有望下降到13米左右；
未来20年，北京地下水位埋深有望下降到15米左右； 未来50年，北京地下水位埋深有望下降到10米左右；
THANKS
选择题
总结词：重点考察
详细描述：分式的变号法则、分式方程的解法、分式运算的顺序、分式化简求值 的方法、分式方程的应用。
解答题
总结词：难点突破
详细描述：分式化简求值、分式方程的解法、分式的混合运 算、分式化简求值的应用题、分式方程的应用题。
综合题
总结词：综合运用
详细描述：综合运用分式的性质和运算法则解决实际问题、解较复杂的分式方程 、求较为复杂的分式值等。
解决实际问题
通过建立分式方程模型，解决生活中的实际问题。
数学竞赛中的应用
分式方程在数学竞赛中占有重要地位，需要灵活运用各种技巧求解。
练习与巩固
练习题1
通过观察法求解分式方程。
练习题3
待定系数法求解分式方程。
练习题2
用换元法求解分式方程。
练习题4
转化法求解分式方程的应用。
03
分式方程的解法及注意事项
分式的变号法则
• 分式的符号变化规律：把一个分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号不变；把一个分式的分 子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号改变
02
分式方程的解法
概念回顾
分式方程的定义：分式方程是一种含有分式、根式和常数的方程。 分式方程的解：通过化分式方程为整式方程，求得方程的解。
通过实施南水北调，增加地表水资源量，改善地下水水质，逐步恢复地下水水位 。
未来趋势
未来10年，北京地下水位埋深有望下降到18米左右； 未来30年，北京地下水位埋深有望下降到13米左右；
未来20年，北京地下水位埋深有望下降到15米左右； 未来50年，北京地下水位埋深有望下降到10米左右；
THANKS
选择题
总结词：重点考察
详细描述：分式的变号法则、分式方程的解法、分式运算的顺序、分式化简求值 的方法、分式方程的应用。
解答题
总结词：难点突破
详细描述：分式化简求值、分式方程的解法、分式的混合运 算、分式化简求值的应用题、分式方程的应用题。
综合题
总结词：综合运用
详细描述：综合运用分式的性质和运算法则解决实际问题、解较复杂的分式方程 、求较为复杂的分式值等。
解决实际问题
通过建立分式方程模型，解决生活中的实际问题。
数学竞赛中的应用
分式方程在数学竞赛中占有重要地位，需要灵活运用各种技巧求解。
练习与巩固
练习题1
通过观察法求解分式方程。
练习题3
待定系数法求解分式方程。
练习题2
用换元法求解分式方程。
练习题4
转化法求解分式方程的应用。
03
分式方程的解法及注意事项
分式的变号法则
• 分式的符号变化规律：把一个分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号不变；把一个分式的分 子和分母同时乘以或除以同一个非零整式时，分式的符号改变
02
分式方程的解法
概念回顾
分式方程的定义：分式方程是一种含有分式、根式和常数的方程。 分式方程的解：通过化分式方程为整式方程，求得方程的解。
第三章整理《分式》(复习)ppt课件
顺水速=静水速+水流速 逆水速=静水速-水流速
设是水流速为xkm/ h
则 水 为 20 + x)km/ h 顺 速 (
逆 速 (20 - x)km/ h 水 为
72 48 = 20 + x 20 − x
A．扩大3倍 B．扩大9倍C．扩大4倍D．不变 扩大3 扩大9 扩大4
3、 填空： x ( x − y ) = ( x − 2
y)
x + xy
x+y
例1：化简求值 ：
a−2 a −1 a−4 ( 2 − 2 )÷ a + 2a a + 4a + 4 a + 2 2 其中a满足：a + 2a − 1 = 0
1. 若分式
A、 A、x≠-1 C、x≠2 、
若有意义， 应满足（ 若有意义，则x应满足（ B ） 应满足
B、 ≠-1且 B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2 、 或
x −4 ( x + 1)( x − 2)
若值为0， 应满足（ 若值为 ，则x应满足（ B ） 应满足
A、x=2 、 C、 、
1km
中点 18km }
xkm / h
甲 A
乙 B
甲走了总共20km 甲走了总共
设 乙的速度 xkm / h 则 甲的速度( x + 0.5)km / h
20 18 = x + 0.5 x
1、一项工程，若甲队单独做，恰好在规定的日期 、一项工程，若甲队单独做， 完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成 天完成； 完成，若乙队单独做要超过规定日期 天完成；现 在先由甲、乙合做2天 在先由甲、乙合做 天，剩下的工程再由乙队单独 也刚好在规定日期完成， 做，也刚好在规定日期完成，问规定的日期是多 少天？ 少天？ 1 甲每天的工作量 x 设 天 甲x
《分式总复习》课件
也较为复杂，学生容易出错。
经典例题解析
例题一
计算 $frac{x}{x + y} + frac{y}{x - y} frac{2xy}{x^2 - y^2}$。
解析
首先将所有项的分母统一 为 $(x + y)(x - y)$，然后 进行约分和加减运算。
解析
根据已知条件，通过等式 的性质和分式的加减法进 行证明。
特点
通常形式为 ax/b = c (其中 a、b、c 是已知数，b ≠ 0)。
复杂分式方程
定义
复杂分式方程是含有多个分式的 方程。
特点
通常形式为 f(x)/g(x) = h(x)/i(x) ( 其中 f(x)、g(x)、h(x)、i(x) 是多项 式函数)。
解法
通过消去分母，将方程转化为整式 方程或使用其他数学方法求解。
约分和通分是分式中的重要概念 ，但学生常常难以理解和掌握。 约分是将分子和分母中的公因式 约去，通分则是将两个或多个分
式化为同分母。
分式的加法与减法
在进行分式的加法和减法时，需 要寻找分母的公倍数，将分母统 一后再进行计算。这一过程对学
生来说较为复杂，容易出错。
分式的乘法与除法
在进行分式的乘法和除法时，需 要寻找分子和分母的公因式，进 行约分后再进行计算。这一过程
分式的性质
总结词
分式具有一些重要的性质，这些性质包括基本性质、等价变换性质和运算性质。
详细描述
分式的基本性质是分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式；等价 变换性质是分式的等价变换不改变分式的值；运算性质是分式的加、减、乘、除 等运算应先进行括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
分式的约分与通分
经典例题解析
例题一
计算 $frac{x}{x + y} + frac{y}{x - y} frac{2xy}{x^2 - y^2}$。
解析
首先将所有项的分母统一 为 $(x + y)(x - y)$，然后 进行约分和加减运算。
解析
根据已知条件，通过等式 的性质和分式的加减法进 行证明。
特点
通常形式为 ax/b = c (其中 a、b、c 是已知数，b ≠ 0)。
复杂分式方程
定义
复杂分式方程是含有多个分式的 方程。
特点
通常形式为 f(x)/g(x) = h(x)/i(x) ( 其中 f(x)、g(x)、h(x)、i(x) 是多项 式函数)。
解法
通过消去分母，将方程转化为整式 方程或使用其他数学方法求解。
约分和通分是分式中的重要概念 ，但学生常常难以理解和掌握。 约分是将分子和分母中的公因式 约去，通分则是将两个或多个分
式化为同分母。
分式的加法与减法
在进行分式的加法和减法时，需 要寻找分母的公倍数，将分母统 一后再进行计算。这一过程对学
生来说较为复杂，容易出错。
分式的乘法与除法
在进行分式的乘法和除法时，需 要寻找分子和分母的公因式，进 行约分后再进行计算。这一过程
分式的性质
总结词
分式具有一些重要的性质，这些性质包括基本性质、等价变换性质和运算性质。
详细描述
分式的基本性质是分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式；等价 变换性质是分式的等价变换不改变分式的值；运算性质是分式的加、减、乘、除 等运算应先进行括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
分式的约分与通分
第15章分式小结与复习课件(共34张PPT)
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2），去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
【例5】 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意；(2)设未知数； (3)找相等关系；(4)列出方程；(5)解这个分式方程；(6)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；(7)答.
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
分式方程的应用
步骤
一审二设三找四列五解六检七答，尤其不要忘了验根
【例5】 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意；(2)设未知数； (3)找相等关系；(4)列出方程；(5)解这个分式方程；(6)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；(7)答.
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
分式方程的应用
步骤
一审二设三找四列五解六检七答，尤其不要忘了验根
北师大版数学八年级下《分式》复习课件
经济学模型：在经济学中，分式常用于建立各种经济模型，例如边际 效用函数、生产函数等，帮助我们了解经济现象和预测经济发展趋势。
生物学研究：在生物学中，分式也常用于表示生物种群数量变化、 生物体内生理指标等，帮助我们了解生物的生长和变化规律。
分式的易错点与难点解析
易错点解析
混淆分式与整 式的概念
运算过程中符 号错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分式的性质：分式的值不等于0， 分母不等于0
分式的通分：将几个分式化为同 分母，便于计算
分式的约分与通分
约分的概念：将 分式的分子和分 母进行因式分解， 然后约去公因式，
使分式简化。
约分的方法：找 出分子和分母的 公因式，然后将
公因式约去。
通分的概念：将 两个或多个分式 化为相同的分母， 以便进行加减运
分式方程
分式方程的解法
去分母法：将 分式方程转化 为整式方程，
消去分母
换元法：通过 引入新变量， 将分式方程转 化为更容易求
解的形式
参数方程法： 通过设定参数， 将分式方程转 化为参数方程，
然后求解
代数法：通过 代数运算，消 去分式方程中 的分母，将其 转化为整式方
程
分式方程的应用
分式方程在解决实际问题中的应用 分式方程在数学建模中的重要地位 分式方程的求解方法和步骤 分式方程在实际问题中的应用案例分析
算。
通分的方法：找 到各分式的最简 公分母，然后将 各分式的分子与 最简公分母进行 因式分解，最后 将各分式化为相
同的分母。
分式的运算
分式的加减法
定义：分式的加 减法是指将两个 分式相加或相减， 得到一个新的分
式
运算法则：分式 的加减法需要先 对分母进行通分， 然后对分子进行
生物学研究：在生物学中，分式也常用于表示生物种群数量变化、 生物体内生理指标等，帮助我们了解生物的生长和变化规律。
分式的易错点与难点解析
易错点解析
混淆分式与整 式的概念
运算过程中符 号错误
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分式的性质：分式的值不等于0， 分母不等于0
分式的通分：将几个分式化为同 分母，便于计算
分式的约分与通分
约分的概念：将 分式的分子和分 母进行因式分解， 然后约去公因式，
使分式简化。
约分的方法：找 出分子和分母的 公因式，然后将
公因式约去。
通分的概念：将 两个或多个分式 化为相同的分母， 以便进行加减运
分式方程
分式方程的解法
去分母法：将 分式方程转化 为整式方程，
消去分母
换元法：通过 引入新变量， 将分式方程转 化为更容易求
解的形式
参数方程法： 通过设定参数， 将分式方程转 化为参数方程，
然后求解
代数法：通过 代数运算，消 去分式方程中 的分母，将其 转化为整式方
程
分式方程的应用
分式方程在解决实际问题中的应用 分式方程在数学建模中的重要地位 分式方程的求解方法和步骤 分式方程在实际问题中的应用案例分析
算。
通分的方法：找 到各分式的最简 公分母，然后将 各分式的分子与 最简公分母进行 因式分解，最后 将各分式化为相
同的分母。
分式的运算
分式的加减法
定义：分式的加 减法是指将两个 分式相加或相减， 得到一个新的分
式
运算法则：分式 的加减法需要先 对分母进行通分， 然后对分子进行
八年级数学上册第十五章分式章末复习课件人教版
解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为 x 千米/小时，则乙校师生所乘 大巴车的平均速度为 1.5x 千米/小时，由题意得：2x40 －12.750x ＝1，解得： x＝60，经检验，x＝60 是所列方程的解，则 1.5x＝90，答：甲、乙两所 学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 60 千米/小时、90 千米/小时
16．(2019·阜新)节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶， 也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若 完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为 30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元． (1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元， 则至少需要用电行驶多少千米？
11．(2019·荆州)已知关于 x 的分式方程x－x 1 －2＝1－k x 的解为正数，
则 k 的取值范围为( B ) A．－2＜k＜0 B．k＞－2 且 k≠－1 C．k＞－2 D．k＜2 且 k≠1
12．解分式方程： (1)(2019·徐州)解方程：xx－ －23 ＋1＝3－2 x ；
解：两边同时乘以 x－3，得 x－2＋x－3＝－2， ∴x＝32 ，经检验，x＝32 是原方程的根
A．3x00 －x3＋002 ＝5
B．320x0 －3x00 ＝5
C．3x00 －320x0 ＝5
D．x3＋002 －3x00 ＝5
14．(2019·安顺)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均 每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克，种植亩 数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原 计划平均亩产量为 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克， 根据题意列方程为_3_x6__－__3_16_.＋_5_x9__＝__2__0_____．
教学课件：第五章-分式与分式方程-章末归纳与复习
3. 答案
解分式方程的一般步骤包括去分母、去括号、移项合并同类项和系数化 为1等步骤。
03
解析
解分式方程需要运用分式的性质和运算法则，通过去分母、去括号、移
项合并同类项和系数化为1等步骤，将分式方程转化为整式方程进行求
解。
答案与解析
4. 答案
分式方程的应用包括解决比例问题、速度问题、路程问题等 实际问题。例如，已知甲乙两地相距100公里，一辆汽车从 甲地出发，以每小时80公里的速度驶向乙地，求汽车到达乙 地所需时间。
解析
分式方程在解决实际问题中具有广泛的应用，如比例问题、 速度问题、路程问题等。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用分式方程进行求解，可以得出实际问题 的解决方案。
THANKS
感谢观看
一元二次分式方程的解法
总结词
通过去分母，将一元二次分式方程转化为可 求解的一元二次方程，然后求解一元二次方 程得到分式方程的解。
详细描述
一元二次分式方程的一般形式为 ax^2+bx+c=0，其中 a、b、c 为已知数，x
为未知数。解一元二次分式方程时，首先去 分母，即将方程两边同时乘以公分母的最小 公倍数，将分式方程转化为整式方程。然后 利用配方法或公式法求解一元二次方程得到 x 的值。最后需要检验解的合理性，即把 x 的
04
分式的应用
分数运算在生活中的应用
日常购物计算折扣
建筑和装修中的比例计算
在购物时，经常需要计算折扣后的价 格，这涉及到分数的运算。
在建筑和装修中，经常需要使用比例 和分数来计算材料用量和布局。
食品分配
在家庭或餐厅中，当需要将食品等物 品均等分配时，需要使用分数运算。
分式方程在实际问题中的应用
解分式方程的一般步骤包括去分母、去括号、移项合并同类项和系数化 为1等步骤。
03
解析
解分式方程需要运用分式的性质和运算法则，通过去分母、去括号、移
项合并同类项和系数化为1等步骤，将分式方程转化为整式方程进行求
解。
答案与解析
4. 答案
分式方程的应用包括解决比例问题、速度问题、路程问题等 实际问题。例如，已知甲乙两地相距100公里，一辆汽车从 甲地出发，以每小时80公里的速度驶向乙地，求汽车到达乙 地所需时间。
解析
分式方程在解决实际问题中具有广泛的应用，如比例问题、 速度问题、路程问题等。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用分式方程进行求解，可以得出实际问题 的解决方案。
THANKS
感谢观看
一元二次分式方程的解法
总结词
通过去分母，将一元二次分式方程转化为可 求解的一元二次方程，然后求解一元二次方 程得到分式方程的解。
详细描述
一元二次分式方程的一般形式为 ax^2+bx+c=0，其中 a、b、c 为已知数，x
为未知数。解一元二次分式方程时，首先去 分母，即将方程两边同时乘以公分母的最小 公倍数，将分式方程转化为整式方程。然后 利用配方法或公式法求解一元二次方程得到 x 的值。最后需要检验解的合理性，即把 x 的
04
分式的应用
分数运算在生活中的应用
日常购物计算折扣
建筑和装修中的比例计算
在购物时，经常需要计算折扣后的价 格，这涉及到分数的运算。
在建筑和装修中，经常需要使用比例 和分数来计算材料用量和布局。
食品分配
在家庭或餐厅中，当需要将食品等物 品均等分配时，需要使用分数运算。
分式方程在实际问题中的应用