一交错级数及其判别法
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
交错级数知识点总结
交错级数知识点总结1. 交错级数的定义首先，我们来看交错级数的定义。
交错级数是指一个级数的各项（正项和负项的交替相加）相互交替出现的级数。
一般来说，交错级数可以表示为\[ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其中，\( a_n \)是级数的第n个项，\( (-1)^{n-1} \)为交错项的符号。
2. 交错级数的性质接下来我们来讨论交错级数的性质。
交错级数有一些特殊的性质，其中最重要的性质就是其部分和序列的单调性。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其部分和序列\( \{ S_n \} \)具有单调性，即对于所有的正整数n，有\[ S_1 \geq S_3 \geq S_5 \geq \cdots \geq S_2 \geq S_4 \geq S_6 \geq \cdots \]这个性质是研究交错级数收敛性的重要前提。
此外，交错级数还具有便于估计收敛和误差的特点。
在实际计算中，通过对交错级数的部分和序列进行估计，往往可以得到该级数的收敛性和误差范围，因此交错级数在数学和工程领域有着广泛的应用价值。
3. 交错级数的收敛性交错级数的收敛性是研究交错级数最为关键的问题之一。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其收敛性由莱布尼茨判别法给出。
莱布尼茨判别法指出，如果交错级数的正项\( a_n \)严格单调递减趋于零（即\( a_{n+1} \leq a_n \)且 \( \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \)），那么交错级数收敛。
此外，交错级数的收敛性还可以通过比较判别法、绝对收敛和条件收敛等方法进行判断。
任意项级数
n =1 n =1 ∞ ∞
也发散。
但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数 ∑ | un |发散，
n =1 ∞
则我们就能断定 ∑ un 也发散。
n=1
∞
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定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)：
un+1 设 un 是任意项级数,且 lim = ρ ，则 n→ ∞ u n n =1 （1）ρ < 1时级数绝对收敛；
n =1 n =1 n =1
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∞
∞
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
sin n 例 3：判别级数 ∑ 的收敛性。 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n n n =1 n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n =1 n
说明: 本题的方法是常用的方法。
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( −1) | an | 例9： 设级数 ∑ a 收敛，讨论级数 ∑ n2 + λ n =1 n =1 的收敛性 (其中λ为常数 ，λ > 0)
n 2 n
∞
∞
解：
| an | 1 2 1 ≤ ( an + 2 ) 级数绝对收敛 2 n +λ n +λ 2
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an 例 8：若级数 ∑ an 收敛，则级数 ∑ 绝对收敛。 n =1 n =1 n
2
∞
∞
证:
an 1 1 1 2 | | = | an | ≤ ( 2 + an ) n n 2 n 1 因为 ∑ 2 和 n =1 n
数学中的数列与级数极限判定方法
数学中的数列与级数极限判定方法数学中的数列与级数极限判定方法是数学分析中的重要概念和工具。
数列是一系列有序的数字排列，而级数是将数列中的各项进行求和得到的数值。
在数学中，我们常常需要判定数列与级数是否收敛或发散，进而研究它们的性质与行为。
本文将介绍数学中常见的数列与级数极限判定方法。
一、数列极限判定方法1. 有界性判定法：一个数列若有上界或下界，则称它是有界的。
若一个数列既有上界又有下界，则该数列有界。
当一个数列有界时，我们可以通过观察上下界来猜测它的极限。
2. 单调性判定法：若数列的前一项与后一项之间满足一定的大小关系，即前一项小于后一项或前一项大于后一项，则称该数列是单调的。
对于单调数列，我们可以通过观察其单调性来判断其极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限判定中常用的方法之一。
当一个数列同时被两个极限为相等的数列夹在中间时，夹逼定理成立。
4. 收敛数列的四则运算法则：若两个数列收敛，它们的和、差、积、商（除数不为零）仍然收敛，并且极限满足相应的运算法则。
5. 隔项相除法：当数列中的每一项都可以表示为前一项与其后一项的商时，我们可以通过隔项相除法判断数列的极限。
二、级数极限判定方法1. 比较判别法：比较判别法是判断级数敛散性的常用方法之一。
对于正项级数，我们可以通过比较级数项与已知敛散的级数项来判断级数的敛散性。
2. 极限判别法：当级数的项可以表示为某个数列的通项时，我们可以通过判别该数列的极限来判断级数的敛散性。
3. 部分和判别法：对于级数的部分和序列，我们可以通过判断其收敛性来判断级数的敛散性。
4. 交错级数的判别法：交错级数是指级数中的项交替正负的级数。
对于交错级数，我们可以通过其交错性质和项的递减性来判断其极限。
5. 绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么该级数称为绝对收敛。
如果一个级数本身收敛，但绝对值级数发散，那么该级数称为条件收敛。
通过数列与级数的极限判定方法，我们可以更好地理解数学中的数列与级数，研究它们的性质与行为。
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。
本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。
关键词：正项级数；交错级数；敛散性On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence andDivergenceAbstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysisplays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
一交错级数及其判别法
n
数列 s2 n是有界的 ,
lim u2 n1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
n n
所以数列 S n 收敛
推论 若级数
n1 ( 1 ) un
a b 收敛.
n n
例3
{an } 具有性质: 若数列
a1 a2 an , lim an 0,
n
则级数 an sin nx 和 an cosnx 对任何 x (0,2 ) 都收敛.
x 1 n x 3x x 解:因为 2 sin 2 ( 2 coskx) sin 2 (sin 2 sin 2 ) k 1
n
an 绝对收敛 例1 证明级数 n! 证 由于对任何实数 有
lim
n
.
u n 1 un
lim
n
n 1
0
所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛
，
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排
定义:把正整数列{1,2,, n } 到它自身的一一映射
f : n k ( n)
这些乘积 ui v j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相
加，于是分别有：
u1v1 u1v2 u2v2 u2v1 u1v3 u2v3 u3v3
和
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1
若级数(1)、（2）都绝对
定理12.14 (柯西定理)
收敛，则对（3）中所有乘积 ui v j 按任意顺序排列 所得到的级数 wn 也绝对收敛，且其和等于 AB.
交错级数收敛性的两个补充判别法
２ 一
３
一
Ｚ ２ —３ — （ｎ ） ｎ ２ ２ ＋３ ＋ ｎ —
１ １
。
—
＜
而 Ｐ级数
、
ｎ ＝ｌ
４ ｚ收敛 。 ｎ
１ １ １ １ １ １
・
． ．
级 数 。－ ４。－ ６。 十…十一 ２ － ５＋一 － ７＋一 ２ ｎ ｎ＋３ ＋…收敛 。
证明： ｎ Ｎ， ｖ∈ ．
（ｌ “） “ － ４＋…＋（２ １ “ ： ｌ “ － ２＋（３ “） “ － ２） Ｃ＋ｃ＋…＋ｃ：ｙ： ｃ ，若 ∑ Ｃ 发 ． 一 ｋ ｎ
散， ｉ 不 在， 而 坚 一 存 故 级 发 若∑ ｃ 敛 ， 则ｌ 存 从 ｚ 在。 原 数 散。 不 ＾ 于Ｓ 则 收 由 ＝０得 ：ｉ ｒ ２ ｌ ￥ ａ ¨ 。２ Ｓ 故 交 级 收 ’ ｕ） ， 原 错 数 致。
∞ ＿ ＿ ∞
萎（） 对 敛。 ．¨ 绝 收 １
ｎ －Ｉ
＾＝ 。 Ｉ
。
＾０ ＿
例判 数 ）ｒ 的散 例判级 至１－ 敛性 ３断 ＾ Ｖ ∑ － 竺 （ ‘ － ：
． ．
‘
＾ －∞
１ （－ ｉ １ ｍｎ
一
ｎ ｔ ２＿ ｉ ｍ …
１
数‘
，
即 Ｕｎ砉 －）ａ｛ Ｕ １＋ （“ １ －１ 州 ｒ ￣Ｕ ： ｎ
＝０ ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛。
”
ｒａ
： ．
， ，
＂ ＋ ） 与 １ ＋ …＋ ， 这
、
发散矛盾 。从而可知
ｎ
＾ ４ｎ －）
当判断的交错级数中的 Ｕ 具有下面的形式之一 ： （ ） １ 含有连乘积的商 ； （ ） ２ 含有阶乘项与因式ｎ 次方 的乘积之商等等 ，用此判别法较为方便。特别 当ｒ 时 ，这正是拉贝判别法 ，从而∑ｌ１ ＝ 收 ＞１ （） ｌ ∑ － Ｕ 敛，
交错级数比较和比值判别法探讨
卜
例 １３ ．
～
２
（ ２）
和
２
，ｌ ＂
６ 一 ． ｇ
∑（ ） 一１ ｂ一∑ （ ） 一１
ｎ １ ＝ Ｈ＝ Ｉ
＝ ： １一 １ ＋ １ 一 了 十 … ＝ ： 一 １＋
＝
（ ３）
显然 有 ｌ Ｏ 一２ 应用 Ｌ ｉ ｎｚ ｉ ｍ ， ｅｂ ｉ 判别 法 易知交 错级数 （ ） （ ） 收敛． ２和 ３都
１ 交错 级数 比较 和 比值 判别 法讨 论
我们 知 道 ， 正项 级数 有 比较判 别法 那么 ， 错级 数有 没 有 和正 项 级 数类 似 的 比较判 别 法 呢 ？下 面 引， 交
进行 一些 讨 论．
问 ． 对 题１１ 交错级 数∑ （ ） 一１ 口和∑ （ ） 一１ ， （ 口≤ｂ １ ， ； ）ｍ ０ ～ｂ 如果： ） １ 一 ， …）（ ｌ ｂ一 ； （ ２ ２ｉ （） （ ） ３∑ 一１ 一ｂ收敛， 否有∑ （ ） 敛？回 是 一１ ｎ收 答是不一定 请看下面的 ． 例子， ．说明 例１ １ 结论成
∑
一
ｌ １
对 于“ 问题 １ １ ， ． ” 用正 项级数 的 比较判 别法 ， 以得到下 面 的结论 ： 可
一
６
ｌ 定 ．一 交 级 ∑（１ ∑（１ 果 足 （ｎ ６，１ ，… ；） 理１ 对 错 数 一 ） 和 一 ） ， 满 ：） ≤ ｉ 一 ，）（ ∑ １ 口 ６如 １ （ １ ｌ ２ ２
例 １４ ． 交错 级数
№ ． ６
陕西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｈ ＡＡＮＸＩＵ ＮＩ Ｓ ＶＥＲＳＩ ＴＹ ＣＩ ＯＦ Ｓ ＥＮＣＥ ＆ ＴＥ ＣＨＮＯＬＯＧＹ
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例1 证明级数
an n! 绝对收敛 .
证 由于对任何实数 有
lim un1 lim 0
n un
n n 1
所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛
，
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排
定义:把正整数列{1,2, ,n } 到它自身的一一映射
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对
收敛，则对（3）中所有乘积 uiv j 按任意顺序排列
所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于AB. n 1
例2
等比级数
1
r n1
1 r n1
r ＜1 是绝对收敛的，将
按 r n 2
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v3
§3 一般项级数
一、交错级数及其判别法
定义: 正、负项相间的级数
u1 u2 u3 u4 1n1un (un 0, n 1,2, ),
(1)
u n1 n
为交错级数
收敛
定理12.11（莱布尼茨判别法）设
(1)
u n1 n
满足以下两个条件
1）数列 un 单调递减
2）lim n
u
0
则
(1)
的顺序排列，则得到
1 1 (r r) (r 2 r 2 r 2 ) r n r n r n
(1 r)2
=1+2r 3r 2 (n 1)r n
三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设 i ,vi (i 1,2, , n) 为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
u n1 n
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n
s
u1 .
且
lim
n
an
0,
又级数
bn
部分和数列有界,则级数
anbn 收敛.
例3 若数列{an} 具有性质:
a1 a2 an ,
lim
n
an
0,
则级数 an sin nx 和an cosnx 对任何 x (0,2 )
都收敛.
解:因为
2
sin
x 2
(
1 2
n k 1
cos
kx)
sin
x 2
(sin
和数.
注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛
也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛
级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何
事先指定的数.如：
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 A
n1
n 23456
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 3 A
n1
n 32574
（2）对任一正整数 k(1 k n) 有 | k | A, 则记
n
max{| k
k
|} 时，有：|
k vk
k 1
|
3A
证：由（1）知 1 2,2 3, ,n1 n 都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得
n
| kvk || (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n | k 1 | (1 2 ) (n1 n ) | A | n |
2
2. 级数的乘积
设 un u1 u2 un A (1)
vn v1 v2 vn B (2)
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表：
u1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2
u1v3 u2v3 u3v3
u1vn u2vn u3vn
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
所以数列 Sn 收敛
推论 若级数
(1)
u n1 n
满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数
(1)
u n1 n
的余项估计式为
Rn un1
对于级数
() n1 , n
(1) n1 n
10 n 根 据
莱布尼茨判别法易知都是收敛
的。
A | 1 n | A | n |
A(| 1 | 2 | n |) 3A
以下讨论级数
anbn a1b1 a2b2 anbn 的收敛性。
n1
定理12.15 (阿贝尔判别法) 若{an} 为单调有界
数列,且级数 bn 收敛,则级数 anbn 收敛.
定理12.16 (狄利克雷判别法)若 {an} 单调递减,
二、绝对收敛与条件收敛
若级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛
若级数 un 收敛，但是级数 un 不收敛，则称级数
un 为条件收敛。
定理12.12 若级数 un 收敛，则级数 un 收敛
证 对任何正数
总存在正数N，使得n>N和任意正数r,有
um1 um2 umr
由于
um1 um2 umr um1 um2 umr
3x 2
sin
x 2
)
[sin(n 1)x sin(n 1)x] sin(n 1)x
2
2
2
当 x (0,2 ) 时,sin x 0, 故得到
f : n k(n) 称为正整数列的重排,相应地对于数列
{un} 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列 {uk(n)}称为原
级数的重排,相应也称级数 uk(n)是级数 un 的
n 1
n 1
重排.
定理12.13 设级数 un 绝对收敛,且其和等于 S n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的
unv1 unv2 unv3 unvn
这些乘积 uiv j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相 加，于是分别有：
u1v1 u1v2 u2v2 u2v1 u1v3 u2v3 u3v3 和 u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1
则有如下分部求和公式成立：
n
ivi (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n
i1
证：以 v1 1,vk k k1 (k 2,3, , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
推论 （阿贝耳引理）若
（1） 1,2 , ,n 是单调数组；