华东师范数学分析- 正项级数
vn收敛 ====> un收敛
定理12.7比式判别法(达朗贝尔判别法)设正项级数 un 若正整数 N 0及常数q (0 q 1). un1 q 1 un 收敛. (i) 若 n N 0 , 有 un un1 1 un发散. (ii) 若 n N 0 , 有 un
lim un l (i) 当 l 1 时, 级数 un 收敛; n (ii) 当 l 1 时, 级数 un发散. n 证 lim un l , 当取 >0时, N0,
n
n
当n > N, 有 l un l . Th12.8(i) n (i) 当 l 1 时, 0 (取) < 1-l , un l + 1 ===> un 收敛 (ii) 当 l >1 时, 1-l (取)> 0,
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单
的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 *四、拉贝判别法
一、正项级数收敛性的一般判别原则
正项级数：∑un, un0 正项级数敛散性. 定理12.5 正项级数 vn 收敛 部分和数列{Sn}有界, 即M0, 对nN 有 Sn M .
1 收敛, ∵正项级数 n 2 n( n 1)
1 ∴由比较原则得, 级数 2 收敛. n n1
例Z2 若级数 u , v 收敛, 则级数 unvn 收敛.
2 n 2 n
证
∵级数
2 2 un , vn 收敛，∴
2 2 2unvn un vn , 又 unvn
(iii) 当 l 且 v 发散时, u 也发散. 1 1 ;(2) sin 收敛性？ 例3 级数 (1) 2 n n
n n n n
n
1 找:同阶或等价无穷小 n 2n 1 2 n lim 解:(1) lim lim 1 n n 2 n n n 1 n 1 n n 2 2 1 1 收敛. 由比较原则极限形式(i),得 n n 收敛， 2 n 2 1 比较原则的 sin 极限形式 得， 1 1 n 1, (2):lim ∵ n 发散, sin n发散 1 n
【小结】----正项级数收敛性
1.有界原则： un 收敛 M>0,有Sn M
n>N (), un vn vn 收敛 un 收敛 2.比较原则： un 发散 vn 发散. 3.比式判别法： 题型特点:un含有连乘积,m次方 un1 (i ) n N 0 , 有 q()<1 un 收敛. un un1 (ii) n N 0 , 有 1 un发散. un 当 q 1 时, un 收敛 un1 lim q n u 当 q 1 或 q 时, un 发散. n
n
*例4 判断正项级数
sin
1
2 n sin 1 n
的敛散性.
1 n
2 n sin 1 n
1 n n 1, 解 lim ∴可将 n 1 n
1 与 2 进行比较 n
x3 x 2 n 1 1 n 1 % sin x x ( 1) o( x 2 n ) lim(1 n sin )ln n 3! (2n 1)! n n 1 1 1 ln n 2 lim[1 n( o( 2 ))]ln n lim[ n o( 2 ) ] 0, n n n n n n
Sn = u1 +u2……+un < v1 +v2……+vn =Sn M . un vn ,n 正项级数 vn 正项级数 un
v1…+v N +v N 1…+vn…
un vn ,n>N
正项,收敛
改变有限项,收敛性不变
v1…+v N +uN 1…+un…
正项,收敛 正项,收敛
1 lim n
n 2 n sin 1 n
∴根据比较原则极限形式知, 正项级数
1 n2
lim
n
n n
2
1 2 n sin n
lim n
n
1 2(1 n sin ) n
lime
n
1 2(1 n sin )ln n n
1.
收敛.
n
1
2 n sin 1 n
P16E1(1)~(3)(5)~(7)(9); P25zE3；4(3)
根据比较原则及上述不等式可得 级数 un 收敛.
推论1(比式判别法的极限形式) 若 un 为正项级数.且 un1 lim q (i) 当 q 1 时, un 收敛; n u n (ii) 当 q 1 或 q 时, un 发散. un1 q, 0 ( |1 q| ), 证 ∵ lim n u n un1 q 1, N>0,当 n > N 时,有 1 q un
【作业】--P16E1(奇数);2(偶数);3;4;6
定理12.8根式判别法(柯西判别法) 设 un 为正项级数
证 (i) n N 0 , 有 un l 1， un l n ,
n
(i) 若 n N 0 ( 0), 有 n un l () 1 un 收敛; (ii) 若 n N 0 ( 0), 有 n un 1 u 发散.
2 2 (un +vn ) 收敛，
根据比较原则得, 级数 unvn 收敛.
P16E1(1)(2)(4)(8);3~7;
vn收敛 比较原则: n>N , un vn ====> un收敛 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数 un 若 lim v l , n n (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; (un,vn同阶无穷小) un 证 (i) lim l , 对正数 l , N > 0, n v n un l 当 n > N时,恒有 vn
n n n n
un 证 (ii) 当l = 0时, lim l =0, 对正数 l , N > 0, n v n un 0 un (0 )vn = vn 当 n > N时,恒有 vn
(iii) 当 l 且 v 发散时, u 也发散.
∴级数 vn 收敛, un 也收敛. (iii) 若l , 则ε=1, N0,当n > N 时, 都有 un 1 ， un vn . vn ∴由比较原则知, 若 vn 发散, 则 un 也发散.
推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数 un 若 lim l (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; n v n (ii) 当 l 0 且 v 收敛时, u 也收敛;
(i)当 q 1 时, 比式判别法的 (i),
u
n
是收敛的.
(ii)若 q 1, 即 q 1 0, (取) q-1，
是发散的. un1 1, 若 q , 则 N , 当 n N 时,有 un 比式判别法的 (ii), un 是发散的.
n
比式判别法的 (ii),
u
n
是发散的.
定理12.8根式判别法(柯西判别法) 设 un 为正项级数
(i) 若 n N 0 ( 0), 有 n un l () 1 un 收敛;
推论1(根式判别法的极限形式) 设 un 为正项级数,且
n
(ii) 若 n N 0 ( 0), 有 n un 1 u 发散. n
u
推论1(比式判别法的极限形式) 若 un 为正项级数.且 un1 lim q (i) 当 q 1 时, un 收敛; n u n (ii) 当 q 1 或 q 时, un 发散. 2 25 258 2 5 8[2 3( n 1)] , 例6 级数 1 1 5 1 5 9 1 5 9[1 4( n 1)] 题例特点:un含有连乘积 u = 2 5 8[2 3( n 1)][2+3n] n1 1 5 9[1 4( n 1)][1+4n] un1 解 lim n u n 2 3n 3 1, lim n 1 4n 4 根据推论1，级数收敛.
∴ ( l )vn un ( l )vn .
由比较原则及上式得,
当 0 l 时,
u , v
n
n
同敛散
推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数
un 若 lim l (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; n v n (ii) 当 l 0 且 v 收敛时, u 也收敛;
n
∵等比级数
n =N 0 1
l n 收敛(0 l 1),
∴由比较原则,
n
n =N 0 1
un 收敛,进而 un 也收敛,
n =1
un 1n 1. (ii) n N 0 , 有 un 1，
显然,当 n 时, un 0
∴由级数收敛的必要条件可知,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、比式判别法和根式判别法
比较原则: n>N , un vn
q n1收敛 , （0 < q < 1） 比较对象：等比级数 n 1 u3 un u2 q, q, , q, u2 u3 un q n1， u1 u2 un1 u1 u2 un1 un u1q n1 .
《数学分析》考试大纲
《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。
应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。
能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。
区间与邻域，有界集与确界原理。
函数概念,函数的表示法。
函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。
具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限（一）考核内容数列。
数列极限的定义,无穷小数列。
收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。
子列及子列定理。
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
华东师范大学《数学分析》历年考研真题(1997年-2010年)
华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。
证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。
二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。
又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。
（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。
（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。
六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。
七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。
华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。
华东师大数学分析13章_函数项级数
都落在曲线 y f ( x ) 与
y f ( x) y fn ( x)
y f ( x)
y f ( x ) 所夹的带状区域内.
O
a
b
x
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ f n ( x )}
n
Sn ( x ) uk ( x ),
k 1
n
x E , n 1,2,
(10)
为函数项级数(9)的部分和函数列.
若 x0 E , 数项级数
u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
n k 1
(11)
收敛, 即部分和 S n ( x0 ) uk ( x0 ) 当 n 时极限 存在, 则称级数(9)在点 x0 收敛, x0 称为级数(9)的收 敛点. 若级数(11)发散, 则称级数(9)在点 x0 发散. 若 级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (9)在 D 上收敛. 若 D 为级数全体收敛点的集合, 就称 D为函数项级数的收敛域. 级数在 D上每一
解：x [0,1], 有 lim nx(1 x ) n 0 即极限函数 f ( x ) 0. n
设 ( x) | f n ( x) f ( x) | nx(1 x)n ,
x [0,1]
( x )在[0,1]连续， 必有最大值
( x) n(1 x)n1 (1 x nx)
1
1 n0
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 2 2 即函数列 {x n }在区间 [0,1)不一致收敛 .
华东师范大学数学分析考研真题
1 n )an
也是发散级数。
四（12 分）设
D : x2 y 2 z 2 t 2 , F (t) f (x2 y2 z2)dxdydz, 其中 f 为连续
D
函数，f(1)=1.证明 F '(1) 4.
五（12 分）设 D 为由两抛物线 y x2 1 与 y x2 1 所围成的闭
的下侧法向的方向余弦。
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第13章 函数列与函数项级数
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在数集 D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 ,
总存在正数N, 使当 n, m N , 对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D，即对
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
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3
f3
像如图13-3 所示.
2
f2
1
f1
图13 3
f (x)
O 11 1 1 64 3 2
1
x
于是(8)在[0, 1]上的极限函数为 f ( x) 0. 又由于
sup
x[0, 1]
fn(x)
f (x)
fn
1 2n
n
(n ),
所以函数列 (8) 在 [0, 1] 上不一致收敛.
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(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
| fn( x) f ( x) | sup | fn( x) f ( x) | .
xD
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故由 (7) 式得 fn( x) f ( x) , 于是 fn 在 D 上
一致收敛于 f .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,
只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致
华东师范大学 数学分析 第12章
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性1. 证明下列级数收敛,并求其和: (1)()()1111;1661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ (2) 2211111;232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) ()()11;12n n n n ∞=++∑(4)1;n ∞=-+∑ (5)121.2n n n ∞=-∑ 解 (1) 1111111111566115451551n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以 1lim 5n n S →∞=.由定义知,该级数收敛,且和为15.(2) 由例1知22111111111321,1122233321123n n ++++==++++==-- ,所以,原级数收敛,且其和为13122+=.(3) 因为()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦,从而()()()()()()11111111211222124nn k S n k k k k n n =⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑,故该级数收敛,且其和为14. (4) 因为n u ===从而)11nn k S n ====→∞∑, 故该级数收敛,且其和为1(5) 由于2342341222111135721135232122222222222111111112121221112222222212n n n nn n n n n n n n n S S n n S +--++---⎛⎫⎛⎫-=+++++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎡-⎤-⎛⎫⎝⎭=+++++-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-所以,()113112n S n →+=→∞-,故该级数收敛,且其和为3.解后总结:用定义证明级数收敛,关键是求出前n 项部分和n S .常用的求和方法有:裂项求和法(如(1)题,有理化分子法(如(4)题,错位相减法(如(5)题)等. 2. 证明:若级数1nn u∞=∑发散,0c ≠,则1nn cu∞=∑也发散.证 证法1 [反证法] 若1n n cu ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑()11n n cu c ∞==∑,由定理12.2知,1n n u ∞=∑也收敛,矛盾.证法2 因为1nn u∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得1mkk n ucε=+≥∑,从而01mkk n cuε=+≥∑.由Cauchy 收敛准则知,1n n cu ∞=∑发散.3. 设级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都发散,试问()1nn n uv ∞=+∑一定发散吗?又若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数,能得出什么结论? 解 当1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散时,()1n n n u v ∞=+∑不一定发散.如()11nn ∞=-∑与()111n n ∞-=-∑都发散,但()()1111n n n ∞-=⎡⎤-+-⎣⎦∑是收敛的. 若n u 与()1,2,n v n = 都是非负数时,则()1nn n uv ∞=+∑一定发散.事实上,因为1n n u ∞=∑发散,由Cauchy 收敛准则,00,ε∃>对N +∀∈ ,都存在(),n m N n m ><,使得01mkk n uε=+≥∑,从而()()0111mmmkk kk kk n k n k n uv uv uε=+=+=++=+≥≥∑∑∑,故()1n n n u v ∞=+∑发散.4. 证明: 若数列{}n a 收敛与a ,则级数()111nn n aa a a ∞-=-=-∑.证 因为lim n n a a →∞=,故()()11111nn kk n k S aa a a a a n ++==-=-→-→∞∑,所以()111n n n a a a a ∞-=-=-∑.5. 证明:若数列{}n b 满足lim n n b →∞=∞,则(1)级数()11n n n b b ∞+=-∑发散. (2) 当()01,2,nb n ≠= 时,级数111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 证 (1) 因为lim n n b →∞=∞,故()()1111nn k k n k S bb b b n ++==-=-→∞→∞∑,所以()11n n n b b ∞+=-∑发散.(2) 当()01,2,n b n ≠= 时,因为lim n n b →∞=∞,所以1lim0n nb →∞=,从而()1111111111nn k kk n S n b b b b b =++⎛⎫=-=-→→∞ ⎪⎝⎭∑, 所以111111n nn b b b ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑. 6. 应用第4题的结果求下列级数的和:(1)()()111n a n a n ∞=+-+∑; (2)()()112111n n n n n ∞+=+-+∑; (3)()()22121111n n n n ∞=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 解 (1) 因为()()1111111n n a n a n a n a n ∞∞==⎛⎫=- ⎪+-++-+⎝⎭∑∑,而1lim 01n a n →∞=+-,由第4题的结论知,()()1111111n a n a n a a ∞===+-++-∑. (2)因为()()()()121111121111n n n n n n n n n n ++∞∞+==⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥-=- ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑,而数列()11n n +⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭收敛于零,由4题知,()()()21112110111n n n n n ∞+=-+-=-=+∑.(3)因为()()()()2222112111111111n n n n n n n ∞∞==⎡⎤+⎢⎥=-⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦∑∑,而数列211n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭收敛于零,由4题知,()()222121110112111n n n n ∞=+=-=+⎡⎤+++⎣⎦∑. 7.应用Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性:(1)1sin 22nnn ∞=∑; (2) ()1221121n n n n -∞=-+∑; (3)()11nn n∞=-∑; (4)n ∞=.证 (1) 对()01εε∀><,因为111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p n++++++++≤++≤ , 所以,21log N ε+⎡⎤∃=∈⎢⎥⎣⎦,则当n N >,对任意的自然数p ,都有 111sin 2sin 211122222n n p n n p n n p nε++++++++≤++≤< , 由Cauchy 收敛准则得,1sin 22nnn ∞=∑收敛. (2) 证法1 因为221lim lim 0212n n n n a n →∞→∞==≠+,所以lim 0n n a →∞≠,由级数收敛的必要条件知,级数()1221121n n n n -∞=-+∑发散.证法2 (用Cauchy 收敛准则) 取013ε=,对N +∀∈ ,存在001,2n N m N =+=+,且 ()()()()()001222102211111221322132N m n N N n n n n n n n n N N u u u u N N ε+++====-++-=-=≥==+++∑∑∑∑, 由Cauchy 收敛准则知,该级数发散. (3) 因为()()()()()()1211111111112121111111112123n n n p p p p n n n p n n n pn n n p n n n n p n+++-------+++=-++++++++⎡⎤--=-++=--++<⎢⎥+++++++⎢⎥⎣⎦故,对10,N εε⎡⎤∀>∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,对任意的正整数p ,都有()()()12111112n n n pn n n pnε+++---+++<<+++ , 由Cauchy 收敛准则知,该级数收敛. (4) 令p n =,则2221111n nnnnnk k k k k k k n k u u =====+=-=-==≥>=∑∑∑故对取定的0ε=对N +∀∈ ,都存在1n N N =+>,和p n =,有201111n p nnnk k k k k k u u ε+====-=-≥>==∑∑,由Cauchy 收敛准则,知该级数发散. 8. 证明级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .证 [必要性] 若1nn u∞=∑收敛,则有Cauchy 收敛准则知,给正数ε,存在某正整数1N ,对一切1n m N >>时,总有12m m n u u u ε+++++< .取11N N >+,则对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .[充分性] 若对任给正数ε,存在某正整数N ,对一切n N >,总有1N N n u u u ε++++< .则对一切n m N >>,都有()1211112,m m n N N n N N m N N n N N m u u u u u u u u u u u u u u u εεε+++++++++=+++-+++≤+++++++<+=由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.9. 举例说明:级数1nn u∞=∑对每个固定的p 满足条件()1lim 0n n p n u u ++→∞++= ,此级数仍可能不收敛.解 例如11n n ∞=∑是发散级数,对每个固定的p ,1111lim lim lim 011n n n n n p n n p →∞→∞→∞⎛⎫++=++= ⎪++++⎝⎭ . 10. 设级数1nn u∞=∑满足:加括号后级数()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,且在同一括号中的112k k k n n n u u u ++++++ 符号相同,证明级数1nn u∞=∑也收敛.证 因为()1121k k k n n n n uu u +∞++=+++∑ 收敛()10n =,所以,有Cauchy 收敛准则知,对0,l ε+∀>∃∈ ,当k l >时,对一切正整数p ,有123k k k p b b b ε++++++< ,其中()1121,2,k k k k n n n b u u u k +∆++=+++= .设,l m n p >为任一正整数,则j i l ∃>≥,使得11,i i j j n m n n m p n ++<≤<+≤,从而()()()()1121111111212121121121,333i i i i j j j j j i i j m m m p m m m n n n n n n n n m p i i jn n m m p m p n i i j i ju u u u u u u u u uu u u u u b b b u u u u u u b b b b b εεεε+++--+++++++++++++++-++++++++=++++++++++++++++≤+++++++++++≤+++++<++=故由Cauchy 收敛准则知,1nn u∞=∑收敛.§2 正项级数1.应用比较原则判别下列级数的敛散性:(1)2211n n a ∞=+∑; (2)12sin 3nn n π∞=∑; (3)1n ∞=; (4)()11ln n n n ∞=∑; (5)111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑;(6)n ∞=; (7))()111n a ∞=>∑; (8)()ln 21ln nn n ∞=∑; (9)()11120n nn a a a ∞-=⎛⎫+-> ⎪⎝⎭∑.解 (1)由于()2221101,2,n n a n ≤≤=+ ,又211n n ∞=∑收敛,故2211n n a∞=+∑收敛.(2) 因为()22sin ~33n nn n ππ⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭,而级数123nn π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,故12sin 3n n n π∞=∑收敛.(3)()1~n n→∞,而级数11n n ∞=∑发散,故原级数发散.(4)因为()()21102ln nn n e n <<>,而级数912n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (5)因为()2111cos ~2n n n -→∞,而级数2112n n ∞=∑收敛,故原级数收敛. (6)()1~n n →∞,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (7)因为001ln lim lim ln 1t t n t t a a a a t n→∞→→-===,而级数11n n∞=∑发散,故原级数发散. (8)因为当2e n e >时,()()()()()ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 11111ln nn nn n n n en n e⋅===<,而级数2811n n∞=∑收敛,故原级数收敛.(9)因为()2112211222202lim lim lim 2ln 1122n n t t n n n n t a a a a a a a t n n ---→∞→∞→⎛⎫- ⎪⎛⎫+--⎝⎭=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而级数2112n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛,故原级数收敛. 2.用比式判别法或根式判别法判定下列级数的敛散性: (1)()11321!n n n ∞=⋅-∑; (2)()11!10nn n ∞=+∑; (3)121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑; (4)1!n n n n ∞=∑; (5)212n n n ∞=∑;(6)13!nn n n n∞=∑; (7)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(其中();,,0n n a a n a b a →→∞>,且a b ≠)解 (1)因为()()()()121!!!21221!!1!1n n n n u n n u n n n ++⋅+==→→∞-⋅++,由比式判别法知,该级数发散.(2) 因为()()()112!102101!10n n n n n u n n u n +++⋅+==→∞→∞+⋅,由比式判别法知,该级数发散.(3)()1212n n n =→→∞+,由根式判别法知,该级数收敛. (4) 因为()()()111!111!nn n n n n n u n n u n e n n +++⎛⎫==→→∞ ⎪+⎝⎭+⋅,由比式判别法知,该级数收敛. (5)()12n =→→∞,由根式判别法知,该级数收敛. (6) 因为()()()()11131!333113!111n n n n n n n n n n n u n n u e n n n n +++⋅⋅+===→>→∞+⋅⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由比式判别法知,该级数发散.(7)()n b bn a a=→→∞,从而当a b >时,由根式判别法知,该级数收敛;而当a b <时,该级数发散;当a b =时,敛散性不定.3.设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为正项级数,且存在正数0N 时,对一切0n N >,有11n n n nu v u v ++≤.证明:若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.证 由题目条件知,当0n N >,有11n nn nu u v v ++≤,从而,当0n N >,有 ()00001111101110N N n nn n n n N N u u u u u v n N v v v v ++++++++<≤≤≤⇒≤> , 由于0011N N u v ++是常数,鼓由比式判别法知, 级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛;若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑也发散.4.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明:21nn u∞=∑也收敛.试问反之是否成立?证 因为正项级数1nn u∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,lim 0n n u →∞=,于是,存在正整数N ,当n N >时,有210n n n u u u<⇒<≤,由比较判别法知,级数21nn u∞=∑收敛.反之结论不成立.例如211n n ∞=∑收敛,但11n n∞=∑发散.5.设()01,2,n a n ≥= ,且{}n na 有界.证明21nn a∞=∑收敛.证 设()01,2,n a M n ≤≤= ,则0n M a n ≤≤,从而222n M a n ≤,而级数221n M n∞=∑收敛,由比较判别法知,级数21nn a∞=∑收敛.6.设级数21n n a ∞=∑收敛,证明()10nn n a a n ∞=>∑也收敛. 证 因为22112n n a a n n⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,而级数21n n a ∞=∑和211n n∞=∑都收敛,故由收敛级数的线性性和比较判别法知,级数1nn a n ∞=∑收敛. 7.设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=.证()112n n u u +≤+,由条件知,级数()1112n n n u u ∞+=+∑收敛,由比较判别法知,级数1n ∞=.8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式: (1)()2lim0;!nn n n →∞= (2) ()()!2!lim01n n n a a→∞=>.证 (1)设()2!nn n u n =,则()11101nn n u n n u n n ++⎛⎫=→→∞ ⎪+⎝⎭.由比式判别法知,级数()21!nn n n ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知, ()2lim0!nn n n →∞=.(2) 设()!2!n n n u a =,则()()()1!21220n n n n n n u n u a +⋅++=→→∞.由比式判别法知,级数()!12!n n n a ∞=∑收敛,由级数收敛的必要条件知,()!2!lim0n n n a →∞=.9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1) 2111n n ∞=+∑; (2)211n nn ∞=+∑; (3)()31ln ln ln n n n n ∞=∑; (4)()()11ln ln ln p qn n n n ∞=⋅⋅∑.解 (1) 设()211f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211dx x +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑收敛. (2) 设()21x f x x =+,则()f x 在()1,+∞上非负递减,211xdx x +∞+⎰发散,由积分判别法知,级数2111n n ∞=+∑发散. (3) 设()()()1ln ln ln pqf x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减,211dxx +∞+⎰收敛,由积分判别法知,级数2111n n∞=+∑收敛. (4) 设()()1ln ln ln f x x x x =,则()f x 在()3,+∞上非负递减.(ⅰ)当1p =时,()3ln ln 3ln ln ln qqdx duu x x x +∞+∞=⎰⎰.当1q >时收敛,当1q ≤时发散.所以,原级数当1p =,1q >,时收敛;当1p =,1q ≤时发散.(ⅱ) 当1p ≠时,()()()13ln ln 3ln ln ln pqp uqdx du eux x x +∞+∞-=⋅⎰⎰.对q ∀,当10p ->时,取1t >,有()()1111lim lim0tp up uqq tu u u e ueu---→+∞→+∞==⋅,故积分()1l n l n 3p uqdu eu+∞-⋅⎰收敛,也就是说,当1p >时,对任意的q ,原级数都收敛.当10p -<时,()()211211lim limp up uqq u u ueueu---→+∞→+∞==∞⋅,故积分()1ln ln 3p uqdu eu+∞-⋅⎰发散,由积分判别法知,原级数发散.10.设{}n a 为递减正项数列,证明:级数1n n a∞=∑与212m mn a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 分别将两个级数记为(1)和(2),前n 项部分和分别记为,n n S T ,由{}n a 为递减正项数列知()()1123122221222n n n n n n n S S a a a a a a a a T +-<≤++++++≤+++= ,故(2)收敛时,(1)也收敛,又()()11123412422122112222m m m m m m S a a a a a a a a a a T --+=+++++++≥++++= , 从而(1)收敛时(2)也收敛.故(1)和(2)有相同的敛散性. 11.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:(1)()()11321124221n n n n ∞=⋅-⋅⋅+∑; (2) ()()()()1!012n n x x x x n ∞=>+++∑ . 解 (1)因为()()()()()()()121!!65212!!311122!!2321!!22232n n n n n u n n n n n u n n n n n +⎡⎤++⎛⎫+-=-⋅⋅=→>→∞⎢⎥ ⎪++-++⎝⎭⎣⎦, 由拉贝判别法知,该级数收敛.(2)因为()111n n u nxn x n u x n +⎛⎫-=→→∞ ⎪++⎝⎭,由拉贝判别法知,当1x >时,原级数收敛;当1x <时,原级数发散,而当1x =时,级数为11n +∑也发散.12.用根式判别法证明级数()12nn ---∑,并说明比式判别法对此级舒数无效.证 设()12nn n u ---=,则12n n ==.由根式判别法知,原级数收敛.而 ()()()1111111122n n n n nu u ++-+----+==, 所以,当n 为偶数时,114n n u u +=,当n 为奇数时,12n nuu +=,故比式判别法对此级数无效. 13.求下列极限(其中1p >):(1)()()()111lim 122p p p n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦；(2) 122111lim n n n n p p p ++→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ . 解 因为当1p >时,级数1p n∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有()()()11112pppn n n k ε+++<+++ .取k n =,即得()()()111122pppn n n ε+++<++ ,从而()()()111lim 0122p p p n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. (2) 因为当1p >时,级数1n p∑收敛,由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,对任意的正整数k ,都有12111n n n kp p p ε++++++< .取k n =,即得 122111n n n p p p ε+++++< ,从而122111lim 0n n n n p p p ++→∞⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 14.设0n a >,证明数列()()(){}12111n a a a +++ 与级数na∑同时收敛或同时发散.证 因为数列与级数()ln 1na +∑有相同的敛散性.(事实上,因为()()()()()1ln 1limln 112lim 111lim nk n k n a a n n n a a a ee=→∞++→∞→∞∑∑+++== )因而,我们只需证明级数()ln 1na +∑与级数na∑有相同的敛散性.由级数收敛的必要条件知,若()ln 1na +∑与na∑两者只要有一个收敛,就有lim 0n n a →∞=,又由lim 0n n a →∞=可得ln(1)lim1n n na a →∞+=.所以由比较判别法知, 级数()ln 1n a +∑与n a ∑有相同的敛散性.从而知结论成立.§3 一般项级数 1.判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.(1)sin !nx n ∑; (2)()11n n n -+∑; (3)()11np nn +-∑; (4)()21sin nn -∑; (5)11n n ⎡⎤-+⎥⎥⎦∑; (6)()()1ln 11nn n -++∑; (7) ()2100131nnn n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑; (8)!nx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 解 (1)因为()2sin 14!nx n n n≤>,而级数21n ∑收敛,故原级数绝对收敛.(2)因为lim101n nn →∞=≠+,由级数收敛的必要条件知,原级数发散.(3)当0p ≤时,因为()11lim0nn p nn→∞+-≠,故原级数发散.当1p >时,因为1p n ∑收敛,而()()111~np p nn n n +-→∞,所以,此时原级数绝对收敛,且当01p <≤时,原级数不是绝对收敛的.当01p <≤时,将通项改写成()1npn -,由于级数()1npn -∑条件收敛,而数列单调递增趋于1,故由Abel 判别法知级数()11np nn+-∑收敛,又它不是绝对收敛的,故为条件收敛.(令11n p nu n+=,则()()()()()111111111111111111111111111p n n p nnn n n ppppnn n n p nn u n nnnnu n n n n n n n n+++++++++===<=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于分子分母的极限皆为1,并不易判别分子与分母的大小,故很难判别{}n u 的单调性,因而用莱部尼茨判别法不易得到结论) (4) 因为()()221sin~nn n n-→∞,又级数2n ∑发散,故原级数不是绝对收敛的.又2sin n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知,原级数条件收敛. (5)由于1n-∑,而级数1n ∑发散,故原级数发散.(6)因为()()ln 11211n n n n +>≥++,而级数11n +∑发散,由比较判别法知,原级数发散. (7) ()21002313n n n +=→→∞+,故原级数绝对收敛.(8)由于()111n nnu x x n u en +=→→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故当x e <时,原级数绝对收敛,而当x e≥时,110n n u u u +≥≥≥> ,即lim 0n n u →∞≠,从而原级数发散.2.应用Abel 判别法或Dirichlet 判别法判断下列级数的收敛性. (1)()()101nn n x x nx->+∑; (2)()()sin ,0,20nx x n απα∈>∑; (3)()2cos 1n nxn -∑. 解 (1)对于数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭而言,当0x >时,011n nnn x x x x <<=+,又 ()111111111,01,11, 1.111n n n nn n n nx x x x x x x x x x x ++++++≤<≤⎧+==⎨>>+⎩++ 因此数列1n n x x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是单调有界的,又()1nn -∑收敛,由Abel 判别法知,原级数收敛. (2) 对于()0,2x π∈,有11sin sin 2k kx x∞=≤∑,从而sin nx ∑的部分和数列有界,又当0α>时,数列1n α⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减且1lim 0n n α→∞=,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.(3) 由于数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减趋于零,而对任一正整数n ,有()()()()()()211111111111cos 1cos 21cos 222221sin 21111112cos (2)1,22222222sin 4sin22kknnn nnkkkk k k k k n k kx kx kxn x k x x x ππππ======---=+-≤+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤++=+-≤+++∑∑∑∑∑∑故()21cos nnx -∑的部分和数列有界,由Dirichlet 判别法知,原级数收敛.3.设()10,1,2,n n n a a a n +>>= 且lim 0n n a →∞=.证明级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.证 因为lim 0n n a →∞=,所以,由第二章第3节18题的结论知, 12lim0nn a a a n→∞+++= ,又112n n na a a a +≤+++ ,所以121121n n n a a a a a a a n n ++++++++≤+ ,所以12n a a a n +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调减趋于零.由莱布尼茨定理知,交错级数()1121n na a a n-+++-∑ 收敛.4.设,n n p q 如教材8页(8)式所定义.证明:若nu∑条件收敛,则级数np∑与nq∑都是发散的.证 ,22n nn nn n u u u u p q +-==,由已知得,级数nu∑发散,故np∑发散.同理可证nq∑发散.5. 写出下列级数的乘积:(1) ()111111n n n n n nx nx ∞∞---==⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑; (2)()0011!!nn n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.解 (1)级数11n n nx∞-=∑与()1111n n n nx ∞--=-∑当1x <时均绝对收敛,按对角线相乘,第n 条对角线和为()()()()()11111111nnn kn kk n kn n k k k xn k xx k n k ω-----==⎡⎤=--+=--+⎣⎦∑∑,从而()()()()()()()()()()]2221212112112122213221121(21)12231100,mm km m k mm m m xk m k x m m m m m m m m m m x ω--=---=--+⎡=-+---++-++⋅⎣--⋅+-⋅++-+⋅=⋅=∑()()()()[()()()2121221221112112221212111012345221224224621.m m m k m k mm k k m k mm m k mxk m k k xk x m m m m m x ωω++-+-+==+-=⎡⎤=---++-⎢⎥⎣⎦=-+-=+-+-+--++++++-+++=+⎤⎦∑∑∑故()()()1112111111n n n mn n m nx nx m x x ∞∞∞---===⎛⎫⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (2)这两个级数均绝对收敛,按对角线顺序,其乘积的一般项为01ω=,()()()()()()0011!1111101,2,!!!!!!n k n k nnn n k k n n k n k n k n k n ω--==---=====--∑∑ , 所以, ()00111!!n n n n n ∞∞==⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.6.证明级数0!n n a n ∞=∑与0!n n b n ∞=∑绝对收敛,且它们的乘积等于0()!nn a b n ∞=+∑.证 因为11!limlim01!n nn n a a n n a n +→∞→∞+==+,故级数0!nn an ∞=∑收敛,因而,级数0!nn a n ∞=∑绝对收敛,同理,级数0!nn b n ∞=∑也绝对收敛.按对角线顺序,其乘积的各项为:()0010!a b ω+==,()()()()111!1,2,!!!!!!nk n k nn k n k n k k a b a b n a b n k n k n k n k n ω--==+====--∑∑ ,所以00!!n n n n a b n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0()!nn a b n ∞=+∑. 7.重排级数()111n n+-∑,使它成为发散级数. 解 因1121k k ∞=-∑为发散级数,从而1n +∃∈ ,使得111111212n k c k ==->-∑,又11121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()221n n n +∃∈> ,使得2121111214n k n c k =+=->-∑,又21121k n k ∞=+-∑也为发散级数,从而()332n n n +∃∈> ,使得3231111216n k n c k =+=->-∑,一般地,()11i i i n n n +++∃∈> ,使得()()11011110,1,2,,02121i i n i k n c i i k i ++=+=->==-+∑ , 这样得到原级数的一个重排()()31212111111111111111212214216111,2121i i n n n n k k n k n n k n i n k k k k i ++==+=+∞=+=-=-+-+-+---+-+>=+∞-+∑∑∑∑∑∑因而,加扩号得到的级数1ii c ∞=∑发散.8.证明:级数()11n n∞=-∑收敛.证 将()11n n∞=-∑的这些相邻且具有相同符号的项合并成一项,则可得到新级数1kk u∞=∑为一交错级数,且()()222211111111211kk k k u k k k k ∞∞==⎡⎤=-++++⎢⎥+++-⎢⎥⎣⎦∑∑ (1) 因为()222221211111211111k k k k k k k k k k k +<++++++<+++-++- 项项(上述不等式成立的理由是:前k 项的和小于211k k k⋅=,而后面1k +项的和小于()2111k k k k +⋅=+,又222111111k k k k k k k k >⇒>++-++-,同样有()211111k k k +>++-,所以,上述不等式成立)由迫敛原理,得lim 0k k u →∞=,又()222211111211k u k k k k =+++++++- , ()()()()1222211111111221k u k k k k +=++++++++++- ,用数学归纳法,可证{}ku 单调递减,因而由莱布尼茨判别法知1kk u∞=∑收敛.设()11n n∞=-∑的部分和为()11NN n S n=-=∑,而级数(1)的部分和为1MM nn U u==∑,则任一N S 均包含在某相邻两个部分和1,M M U U +之间,从而有1N M M M S U U U +-≤-.而级数(1)收敛,故()110M M M U U u M ++-=→→∞.因此()0N M S U N -→→∞.可见lim lim N M N M S U →∞→∞=,因而数列{}N S 收敛,由级数收敛的定义知,级数()11n n∞=-∑收敛.总练习题1.证明:若正项级数1nn u∞=∑收敛,且数列{}n u 单调,则lim 0n n nu →∞=.证 由已知{}n u 必单调递减,又1nn u∞=∑收敛.由Cauchy 收敛准则知,对0,N ε+∀>∃∈ ,当n N >时,有1202N N n u u u ε++<+++<,又当n N >时,,1,2,,N i i u u i n N +≥=- ,从而当n N >时,()1202n N N n n N u u u u ε++<-≤+++<,取2n N >,则()022n n n u n N u ε<≤-<,因而,()02n nu n N ε<<>,故lim 0n n nu →∞=.(请考虑下述证明方法是否正确?用反证法:若lim 0n n nu →∞≠,则lim01n n u n→∞≠,又级数1n∑发散,由比较判别法知,1nn u∞=∑发散.此为矛盾.证毕.)2.若级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且成立不等式()1,2,n n n a b c n ≤≤= ,证明级数1nn b∞=∑也收敛.若级数1n n a ∞=∑,1nn c∞=∑都发散,试问1nn b∞=∑一定发散吗?证 由1nn a∞=∑与1nn c∞=∑收敛知,()1nn n ca ∞=-∑收敛.又因为()01,2,n n n n b a c a n ≤-≤-= ,由比较原则知()1nn n ba ∞=-∑也收敛.于是由()1n n n n n b b a a ∞==-+⎡⎤⎣⎦∑∑知,1n n b ∞=∑也收敛.但级数1n n a ∞=∑,1n n c ∞=∑都发散时,1n n b ∞=∑不一定发散.例如1n a n -=∑∑与111n n n c n∞∞===∑∑都发散,但()11n nb n--=∑∑收敛,且满足()1,2,n n n a b c n ≤≤= .3.若lim0nn na kb →∞=≠,且级数n b ∑绝对收敛,证明级数n a ∑也收敛.若上述条件中只知道nb∑收敛,能推得na∑收敛吗?证 由lim0nn n a k b →∞=≠,知lim 0n n na kb →∞=>,由比较原则,n b ∑收敛,故n a ∑收敛,从而知na∑收敛.若只知n b ∑收敛,则得不到n a ∑收敛.例如()1nn b n-=∑∑收敛,取()111,2,nn a n n-== , 则11lim lim 110n nn n n a b -→∞→∞⎡⎤-=+=≠⎢⎢⎣,级数n a ∑发散. 4. (1)设n u ∑为正项级数,且11n nu u +<,能否断定n u ∑收敛? (2)对于级数n u ∑有11n nu u +≥,能否断定级数n u ∑不绝对收敛,但可能条件收敛? (3)设n u ∑为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得1lim01nn u c n ε→∞+=>? 解 (1)否.例如1n u n=∑∑,当然有111n n u nu n +=<+,但级数n u ∑发散. (2)否.由11n nu u +≥得110n n u u u +≥≥>,于是lim 0n n u →∞≠,从而lim 0n n u →∞≠,根据级数收敛的必要条件知,nu∑发散.(3)不一定.例如1n n∑收敛,但对任意的0ε>,1111lim lim 01n n n n n n n εε--→∞→∞+==. 5.证明:若级数na∑收敛,()1n n bb +-∑绝对收敛,则级数n n a b ∑也收敛.证 由na∑收敛知,对10,N ε+∀>∃∈ ,当1n N >时,对p +∀∈ ,都有n pkk naε+=<∑.又()1n n bb +-∑绝对收敛,对上述的ε,2N +∃∈ ,当2n N >时,对p +∀∈ ,都有1n pk k k nb b ε++=-<∑,而由()1n n bb +-∑收敛知,其部分和数列()1111nk k n k b b b b ++=-=-∑有界,即()1,2,n b M n <= .由阿贝耳变换知,当{}12max ,n N N >时,对任何自然数p ,有()()()()11111211112111.n pn p n n k kn n n n n k n p n p kn p kk nk nk nk nn p n p n pn n n n n kn p n pkn pkk nk nk nn p k k k na bb b a b b a b b ab a b b a b b ab b ab ab b M M εεεε++-++++++-++====++-+++++-++===+-+==-+-++-+≤-+-++-+⎛⎫≤-+≤+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑由Cauchy 收敛准则,级数n na b∑收敛.6.设0n a >,证明级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.证 ()()()12111nn a a a a +++∑ 是正项级数()()()()()()()()1111111111111111111nn k k n k k k k k n a a S a a a a a a a a ==-⎡⎤==-=-<⎢⎥++++++++⎣⎦∑∑ 可见{}n S 有界,故级数()()()12111nna a a a +++∑ 收敛.7.证明:若级数2n a ∑与2n b ∑收敛,则级数n n a b ∑和()2n n a b +∑也收敛,且()222n nnna b a b≤⋅∑∑∑.()()()()111222222nn nnab a b +≤+∑∑∑.证 因为()2212n n n n a b a b ≤+,且2n a ∑与2n b ∑都收敛,故n n a b ∑收敛,从而n n a b ∑也收敛,同时,()()2222n n n n n n a b a a b b +=++∑∑也收敛.在Cauchy-Schwarz 不等式222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑和Mink 不等式()111222222111n n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 中令n →∞,便得所要证明的不等式.。
华东师范大学数学分析历年真题9706
华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一（12 分）设 f(x) 是区间 I 上的连续函数。
证明：若f(x) 为一一映照，则 f(x) 在区间 I 上严格单一。
二（ 12 分）设证明：若 f(x), D(x)f(x)在点x=0处都可导，且f(0)=0,则f '(0)0三（ 16 分）观察函数 f(x)=xlnx的凸性，并由此证明不等式：四（ 16 分）设级数a n n 收敛，试就d n为正项级数和一般项级数两种n 1n 1状况分别证明a n n n 也收敛。
n 1五（ 20 分）设方程F ( x , y )0 知足隐函数定理条件，并由此确立了隐函数y=f(x) 。
又设F ( x , y )拥有连续的二阶偏导数。
（1）求f ''( x)（2）若F ( x0, y0)0, y0 f ( x0 ) 为f(x)的一个极值，试证明：当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 同号时， f ( x0 ) 为极大值；当 F y ( x0 , y0 ) 与 F xx ( x0 , y0 ) 异号时， f ( x0 ) 为极小值。
（3）对方程x2xy y 227 ，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x) 的极值，并用（ 2）的结论鉴别极大或极小。
六（ 12 分）改变累次积分的积分序次，并求其值。
七（12 分）计算曲面积分I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) dss其中 s 为锥面 z x2 y2上介于 0 z h 的一块，c o s , c o s 为,s c的下o侧s法向的方向余弦。
华东师范大学2019 年攻读硕士学位研究生入学试题一．简答题（ 20 分）（ 1）用定义考证： lim 3 n 2 2 32 ；n 2 n n 1 2（ 2）计算x 3dx .1x2二 （ 12 分 ） 设 f(x) 有连续的 二 阶 导 函 数 ， 且f ()2, [ f ( x )f '' ( x )]sinxdx5, 求 f(0).三（ 20 分）（ 1）已知 a n 为发散的一般项级数，试证明(11) a n 也是发散级数。
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．