数字信号处理复习大纲
数字信号处理复习大纲
绪 论
一、信号、系统和信号处理
要求掌握信号、系统和信号处理的概念。 二、数字信号处理的基本组成
图0-1 数字信号处理系统的简单方框图 要求掌握框图中各部分的作用。
第一章 离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号——序列
一个离散时间信号是一个整数值变量n 的函数，表示为)(n x 或{)(n x }。线段的长短代表各序列值的大小，其中n 为整数时才有意义。
图1-1 离散时间信号)(n x 的图形表示
一、序列的运算
在数字信号处理中常常遇到序列的移位、翻褶、相加、相乘、累加、差分等运算。 1．序列的移位
)()(m n x n w -=
当m 为正时，则)(m n x -是指序列)(n x 逐项依次延时（右移）m 位而给出的一个新序列，当m 为负时，)(m n x -是指依次超前（左移）m 位。 2．序列的翻褶
)
如果序列为)(n x ,则)(n x -是以0=n 的纵轴为对称轴将序列)(n x 加以翻褶。 3．序列的和
两序列的和是指同序号n 的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列，表示为
)()()(n y n x n z +=
4．序列的乘积
两序列相乘是指同序号n 的序列值逐项对应相乘。表示为
)()()(n y n x n f =
5．序列的标乘
序列)(n x 的标乘是指)(n x 的每个序列值乘以常数c 。表示为
)()(n cx n f = 6．累加
设某序列为)(n x ，则)(n x 的累加序列)(n y 定义为
∑-∞
==
n
k k x n y )()(
它表示)(n y 在某一个0n 上的值等于这一个0n 上 )(0n x 的值以及0n 以前所有n 值上的
)(n x 之和。
7．差分运算
前向差分 )()1()(n x n x n x -+=? 后向差分 )1()()(--=?n x n x n x
由此得出
)1()(-?=?n x n x
二、几种常用序列 1．单位脉冲序列)(n δ )(n δ=???
=,
00,1n n (1-1)
图1-4 )(n δ序列 图1-5 )(n u 序列
2．单位阶跃序列)(n u
??
?<≥=0
,
00,1)(n n n u (1-2)
如图1-5所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数)(t u 。
)(n δ和)(n u 间的关系为
)1()()(--=n u n u n δ (1-3) 这就是)(n u 的后向差分。 而
∑∞
=+-+-+=-=
0...)2()1()()()(m n n n m n n u δδδδ (1-4)
∑-∞
==n
k k n u )()(δ (1-5)
3．矩形序列
??
?-≤≤=n
N n n R N 其他
,
010,1)( (1-6)
)(n R N 和)(n δ、)(n u 的关系为
)()()(N n u n u n R N --= （1-7）
)(n R N =∑-==-1
)(N m m n δ)(n δ+)1(-n δ+…+)]1([--N n δ (1-8)
4．实指数序列
=)(n x n
a )(n u (1-9) 其中a 为实数。当1a 时，序列是发散的。a 为负数时序列是摆动的。
5．正弦型序列
)sin()(0φω+=n A n x (1-10) 式中，A 为幅度，φ为起始相位，0ω为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 6．复指数序列
序列值为复数的序列称为复数列，复序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：
n
j e n x )(0
)(ωσ+= (1-11a)
或
n j e n x 0
)(ω= (1-11b)
三、序列的周期性
如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，满足
)()(N n x n x += (1-12) 则称序列)(n x 是周期性序列，周期为N 。 现在讨论上述正弦序列的周期性。 =)(n x )sin(0φω+n A 若 =)(n x )(N n x +
这时正弦序列就是周期性序列，其周期满足0
2ωπk
N =（N ，k 必须为整数）。可分几种情况
讨论如下。
（1）当0/2ωπ为正整数时，周期为0/2ωπ。
（2）当0/2ωπ不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则
2ωπ
=
k
N
其中，k ，N 为互素的整数，则
N k k
N k ==
2ωπ
为最小正整数，序列的周期为N 。
（3）当0/2ωπ是无理数时，则任何k 皆不能使N 取正整数，这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。
如果对连续周期信号)(t x α进行采样，其采样时间间隔为T ，采样后信号以)(n x 表示，则有
)sin()()(0φ+Ω===nT A t x n x nT t
如果令ω为数字域频率，满足 s
s
f f f T 00
0021π
ω=Ω=Ω=
其中s f 是采样频率。可以看出，0ω是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率0f 对采样频率s f 的相对频率乘以π2，或说是连续正弦信号的角频率0Ω 对采样频率s f 的相对频率。
用 0ω代替T 0Ω，可得
=)(n x )s i n (0φω+n A 这就是我们上面讨论的正弦型序列。
四、用单位采样序列来表示任意序列
)()()(m n m x n x m -=
∑∞
-∞
=δ (1-14)
五、序列的能量
序列)(n x 的能量E 定义为序列各采样样本的平方和，即
2
)(∑
∞
-∞
==
n n x E (1-15)
1.2 连续时间信号的采样
在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其样本来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的，要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。
一、理想采样
理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ0→的极限情况。此时采样脉冲序列)(t p 变成冲激函数序列)(t s ，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1，采样后输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号)(t x α在采样瞬间的幅度。理想采样过程如图1-9（f ）所示。冲激函数序列)(t s 为
∑∞
-∞
=-=
n nT t t s )()(δ (1-16)
以)(t x α表示模拟信号，)(?t x
α表示理想采样的输出， )()()(?t s t x t x α= （1-17）
∑∞
-∞=-=n nT t t x t x
)()()(?δαα （1-18）
∑∞
-∞
=-=n nT t nT x t x
)()()(?δαα （1-19）
二、频谱的周期延拓
我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过，（1-17）式表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。所以由（1-17）式可知，若各个信号的傅里叶变换分别表示为 ?
∞
∞
-Ω-=Ωdt e
t x j X t
j )()(αα （1-20）
?
∞
∞
-Ω-=
Ωdt e
t s j S t
j )()( （1-21）
?
∞
∞
-Ω-=Ωdt e t x
j X t j )(?)(?αα
（1-22） 则
∑∞
-∞
=Ω-
Ω=Ωk s jk j X T j X )(1)(?αα
(1-27)
或者 ∑
∞
-∞
=-Ω=Ωk T
jk
j X T
j X )2(1)(?παα
(1-28)
由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将延着频率轴以采样频率
s Ω=
T
π2为间隔而重复，这就是频谱产生周期性延拓，如图1-10所示。也就是说，理想采
样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为s Ω，而频谱的幅度则受T /1加权，由于T 是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果)(t x α是限带信号，其频谱如图1-10（a ）所示，且最高频谱分量h Ω不超过s Ω/2，即
Ωj X (α)???
???
?
Ω≥
ΩΩ<ΩΩ=2
,02
),(s s j X α
(1-29)
那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c ）所示，这时采用一个截止频率为s Ω/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。
如果信号的最高频谱h Ω超过s Ω/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d ）所示。由于Ωj X (α)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将)(Ωj X α作为标量来处理。
图1-10 时域采样后，频谱的周期延拓 （a ）原始限带信号频谱 （b ）采样函数频谱
（c ）已采样信号频谱（h s Ω>Ω2）（d ）已采样信号频谱（h s Ω<Ω2）
我们将采样频率之半（s Ω/2）称为折叠频率，即
T
s π
=
Ω2
(1-30)
它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。
由此得出结论：要想采样后能够不失真的还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s Ω>2h Ω），这就是奈奎斯特采样定理。即 s f >2h f
频率h Ω一般称为奈奎斯特频率，而频率2h Ω称为奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。
同样方法，可以证明（亦可代s j =Ω到（1-27）式），理想采样后，使信号的拉普拉斯
变换在s 平面上沿虚轴周期延拓，也就是说)(?s X α在s 平面虚轴上是周期函数。即有 )(?s X α
∑∞
-∞
=Ω-
=k s jk s X T
)(1α (1-34)
其中
?
∞
∞
--=
dt e
t x s X st
)()(αα
)(?s X α
=dt e t x
st -∞
∞
-?
)(?α
s
s
s
－Ω
s
Ω
s
2Ω
s
(a )
(b )
(c )(d )s
s
s
…
即)(s X α、)(?s X α
分别是)(t x α、)(?t x α的双边拉普拉斯变换。 三、采样的恢复
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率
Ωj X (α)???
???
?
Ω≥
ΩΩ<ΩΩ=2
,02
),(s s j X α
则采样后不会产生频谱混叠，由（1-27）式知
)(1)(?Ω=Ωj X T j X α
α ， 2
s Ω<Ω 故将)(?Ωj X α
通过一个理想低通滤波器， ??
??
?Ω≥
ΩΩ<Ω=Ω2,02,)(s
s T j H 采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原信号频谱来
)()()(?)(Ω=ΩΩ=Ωj X j H j X j Y α
αα 因此，在输出端可以得到原模拟信号：
)()(t x t y αα==∑
∞
-∞
=--=
n nT t T
nT t T
nT x t x )
()]
(sin[
)
()(ππαα (1-36)
式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值)(nT x α经此公式而得到连续信号)(t x α，也就是说，)(t x α等于各)(nT x α乘上对应的内插函数的总和。
1.3 离散时间系统时域分析
一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以][?T 来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-15来表示，即
)]([)(n x T n y = （1-37） 离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。
)
图1-15 离散时间系统
一、线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统，即，若某一输入是由N 个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。
)()()]([)]([)]()([221122112211n y a n y a n x T a n x T a n x a n x a T +=+=+ (1-39) 式(1-39)对任意常数1a 和2a 都成立。
二、时不变系统
系统的运算关系][?T 在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入)(n x 的输出为)(n y ，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即
)()]([n y n x T =
则 )()]([m n y m n x T -=- （ m 为任意整数） (1-41) 满足以上关系的系统就称为时不变系统。
三、单位脉冲响应与卷积
线性移不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用)(n h 表示单位脉冲响应，即
)]([)(n T n h δ=
有了)(n h 我们就可以得到此线性移不变系统对任意输入的输出。
∑∞
-∞
=*=-=
m n h n x m n h m x n y )()()()()( （1-42）
如图1-16所示。上式称为线性移不变系统的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”。以后都用“*”表示之。
)()()n h n x *=
图1-16 线性时不变系统
卷积的运算过程在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加，如图1-17所示。 （1）翻褶：先在哑变量坐标m 上做出)(m x 和)(m h ，将)(m h 以0=m 的垂直轴为对称轴翻褶成)(m h -。
（2）移位：将)(m h -移位n ，即得)(m n h -。当n 为正整数时，右移n 位。当n 为负整数时，左移n 位。
（3）相乘：再将)(m n h -和)(m x 的相同m 值的对应点值相乘。 （4）相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来，即得)(n y 值。 依上法，取=n …,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部)(n y 值。
y(n)=
)()()()(n x n h m n x m h m *=-∑∞
-∞
= （1-43）
)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y ==
四、线性时不变系统的性质
1． 交换律
由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故
)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y == (1-44) 这就是说，如果把单位脉冲响应)(n h 改作为输入，而把输入)(n x 改作为系统单位脉冲响应，则输出)(n y 不变。
2． 结合律
可以证明卷积运算服从结合律，即
)(*)](*)([)(*)](*)([)(*)(*)(122121n h n h n x n h n h n x n h n h n x ==
)](*)([*)(21n h n h n x =
(1-45)
这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性移不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关。 3． 分配律
卷积也服从加法分配律：
)(*)()(*)()]()([*)(2121n h n x n h n x n h n h n x +=+ (1-46)
也就是说，两个线性移不变系统的并联等于两系统各自单位脉冲响应之和。
五、因果系统
所谓因果系统，就是系统的输出)(n y 只取决于此时，以及此时以前的输入，即)(n x 、)1(-n x 、)2(-n x 、…。如果系统的输出)(n y 还取决于)1(+n x 、)2(+n x 、…，也即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统，也即不现实的系统。
从式（1-43）卷积公式我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是
0,0)(<=n n h (1-47) 依照此定义，我们将0 六、稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO ）的系统。如果对于输入序列)(n x ，存在一个不变的正有限值x B ，对于所有n 值满足 ∞<≤x B n x )( （1-48） 则称这输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值y B ，对 于所有n 值，输出序列)(n y 满足 ∞<≤y B n y )( （1-49） 一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即 ∞<= ∑ ∞ -∞ =n n h S )( (1-50) 显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统，即稳定的因果系统是最主要的系统。这种线性时不变系统的单位脉冲响应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即 ??? ? ??? ∞ ?<≥=∑ ∞ -∞ =n n h n n n h n h )(0,00, )()( (1-51) 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，因而这种系统正是一切数字系统设计的目标。 七、常系数线性差分方程 连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散时间线性时不变系统的输入输出关系常用以下形式的常系数线性差分方程表示，即 ∑∑==-= -N k M k k k k n x b k n y a )()( (1-52) 离散系统的差分方程表示法有两个主要的用途，一是从差分方程表达式比较容易直接得到系统的结构，二是便于求解系统的瞬态响应。 求解常系数差分方程可以用离散时域求解法，也可以用变换域求解法。 离散时域求解法有两种：（1）迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答；（2）卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。 变换域求解法与连续时间系统的拉普拉斯变换法相类似，它采用z 变换方法来求解差分方程 ，这在实际使用上是简单而有效的。卷积方法，前面已经讨论过了，只要知道系统脉冲响应就能得知任意输入时的输出响应。z 变换方法将在后面几节中讨论。这里仅简单讨论离散时域的迭代解法。 差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是)(n δ这一特定情况，输出响应就是单位脉冲响应)(n h 。例如，利用)(n δ只在0=n 取值为1的特点，可用迭代法求出其单位脉冲响应)0(h 、)1(h 、…、)(n h 值，下面举例说明。 例1-3 常系数线性差分方程 )1(2 1)()(-+=n y n x n y （1-53） 输入为 )()(n n x δ= 初始条件为 0, 0)(<=n n y 试给出系统的实现结构并求其单位脉冲响应。 解 系统的实现结构如图1-20所示。图中⊕代表加法器，?代表乘法器。 图1-20 系统的实现结构 由于初始条件已给定了0=n 以前的输出，所以系统的输出响应只要从0=n 开始求起。又因为输入)()(n n x δ=，所以系统的输出)(n y 即为系统的单位脉冲响应)(n h 。先由初始条件及输入求)0(h 值： 1101)1(21)0(=+=+-= h h 再由)0(h 值及输入推导)1(h ，并依次推导得 ,)3(,)2(h h 2 10210)0(21)1(= += += h h 2 2 210210)1(21 )2(?? ? ??=+??? ??=+=h h n n n h n h ?? ? ??=+? ? ? ??=+-=210210)1(21 )( 故系统的单位脉冲响应为 ?????<≥??? ??=0 ,00,21)(n n n h n 即 )(21)(n u n h n ?? ? ??= 这样的系统相当于因果系统，而且系统是稳定的。 一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统 。利用同一例子，分析如下。 设)()(n n x δ=，但初始条件假设0,0)(>=n n y ，可得0>n 时0)()(==n y n h ，将 （1-53）式改写为另一种递推关系 )]()([2)1(n x n y n y -=- 或 )]1()1([2)(+-+=n x n y n y 又利用已得出的结果 0,0)(>=n n h 则 0)]1()1([2)0(=-=x h h 图1-20 1 212)]0()0([2)1(-? ? ? ??-=-=-=-x h h 2 2212)]1()1([2)2(-? ? ? ??-=-=---=-x h h n n h n h ?? ? ??-=+=21)1(2)( 所以 ?? ? ? ? ? ??-≥=0 ,210,0)(n n n h n 也可表示为 )1(21)(--?? ? ??-=n u n h n 这样的系统是非因果系统，而且是非稳定的。 在以下的讨论中，都假设常系数线性差分方程就代表线性时不变系统，且多数代表可实现的因果系统。 从上面的例子可以看到，差分方程可以用来求离散系统的瞬态解。但是，为了更便于分析系统的另外一些特性，如系统的稳定性，频率响应等，就需要用到离散时间系统的z 变换方法。 1.4 z 变换 z 变换是分析离散时间信号与系统的一种有用工具， 它在离散时间信号与系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的作用。z 变换可用于求解常系数差分方程， 以及设计滤波器等。这里我们直接给出序列的z 变换表示，并研究一个序列的性质是如何与它的z 变换性质联系起来的。 1.4.1 z 变换的定义及收敛域 一、z 变换的定义 一个离散序列)(n x 的z 变换定义为 ∑∞ -∞ =-= n n z n x z X )()( (1-54) 式中z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。 二、 z 变换的收敛域 显然，只有当（1-54）式的幂级数收敛时，z 变换才有意义。 对任意给定序列)(n x ，使其z 变换收敛的所有z 值的集合称为)(z X 的收敛域。 按照级数理论，（1-54）式的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求 ∞<∑ ∞ -∞ =-n n z n x )( (1-57) 要满足此不等式，z 值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即 +-< 常用的z 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： ) ()()(z Q z P z X = 分子多项式)(z P 的根是)(z X 的零点，分母多项式)(z Q 的根是)(z X 的极点。在极点处z 变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 z 平面上收敛域的位置，或者说-x R 及+x R 的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如 下。 （1）有限长序列 序列)(n x 只在有限区间21n n n ≤≤之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即 ???≤≤=n n n n n x n x 其它, 0,)()(2 1 其z 变换为 ∑=-= 2 1 )()(n n n n z n x z X 具体有限长序列的收敛域表示如下： 01 01 1≥n ，02>n 时，∞≤ 有时将开域),0(∞称为“有限z 平面”。 （2）右边序列 右边序列是指)(n x 只在1n n ≥时有值，在1n n <时0)(=n x ，其z 变换为X(z)，如果 -x R 是收敛域的最小半径，则右边序列z 变换的收敛域为 -x R ∞< 因果序列是最重要的一种右边序列，其z 变换收敛域包括∞=z 。 右边序列的z 变换如果有N 个有限极点},,,{21N z z z 存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即 ],,,m a x [21N x z z z R =- 对于因果序列，∞处也不能有极点。 （3）左边序列 左边序列是指在2n n ≤时)(n x 有值，而在2n n >时0)(=n x ，左边序列z 变换的收敛域为 < 如果02≤n ，收敛域应包括0=z ，即 对于左边序列，如果序列z 变换有N 个有限极点},,,{21N z z z 存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样才能在整个圆内)(z X 解析，也即 ],,,m i n [21N x z z z R =+ （4）双边序列 双边序列其z 变换)(z X 有收敛域 +-< 这是一个环状区域。如果+->x x R R ，则无公共收敛区域，)(z X 无收敛域，也即在z 平面的任何地方都没有有界)(z X 值，因此就不存在的解析式，这种z 变换就没有什么意义。 表1-1 几种序列的z 变换 序 列 z 变 换 收 敛 域 1． )(n δ 1 所有z 2． )(n u 1 11--z 1>z 3． )1(---n u 1 11--z 1 4． )(m n -δ m z - 全部z 除去0（若0>m ）或∞（若0 11--az a z > 6．)1(---n u a n 1 11--az a z < 7．)(n u na n 2 1 1) 1(---az az a z > 8．)1(---n u na n 2 1 1) 1(---az az a z < 9． )(0 n u e jn ω- 1 11---z e j ω 1>z 10．)(][sin 0n u n ω 2 01 1 c o s 21s i n ---+-z z z ωω 1>z 11．)(][cos 0n u n ω 2 01 1 cos 21cos 1---+--z z z ωω 1>z 12．)(]sin [0n u n e an ω- a a a e z e z e z 22 01 1 c o s 21s i n ------+-ωω a e z -> 13．)(]cos [0n u n e an ω- a a a e z e z e z 22 01 1 c o s 21c o s 1------+--ωω a e z -> 14．)(n R a N n 1 11----az z a N N 0>z 1.4.2 z 反变换 已知函数)(z X 及其收敛域，反过来求序列的变换称为z 反变换，表示为 =)(n x ?)]([1 z X - z 反变换的一般公式为 若 ∑∞ -∞ =-= n n z n x z X )()( ， +-< 则 ? +--∈= c x x n R R c dz z z X j n x ),(, )(21)(1 π (1-64) 式(1-64)反变换是一个对1)(-n z z X 进行的围线积分，积分路径c 是在)(z X 的环状解析域（即收敛域）内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线，如图1-28所示。 图1-28 围线积分路径 直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上求z 反变换时，往往可以不必直接计算围线积分，一般求z 反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。 一、 围线积分法（留数法） 这是求z 反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数1)()(-=n z z X z F 在围线c 以内有K 个极点k z ，而在c 以外有M 个极点m z （M 、K 为有限值），则有 ?∑--= = c k k n n z z z X s dz z z X j n x ],)([Re )(21 )(1 1 π (1-69a) ? ∑--- == c m m n n z z z X s dz z z X j n x ],)([Re )(21)(1 1 π (1-69b) 根据具体情况，既可以采用（1-69a ）式，也可以采用（1-69b ）式。例如，如果当n 大于某一值时，函数1 )(-n z z X 在围线的外部可能有多重极点，这时选c 的外部极点计算留数 就比较麻烦，而通常选c 的内部极点求留数则较简单。如果当n 小于某一值时，函数 1 )(-n z z X 在围线的内部可能有多重极点，这时选用c 外部的极点求留数就方便得多。 现在来讨论如何求1 )(-n z z X 在任一极点r z 处的留数。 设r z 是1 )(-n z z X 的单一（一阶）极点，则有 r z z n r r n z z X z z z z z X s =---=])()[(],)([Re 1 1 (1-70) 如果r z 是1)(-n z z X 的多重极点，如l 阶极点，则有 r z z n l r l l r n z z X z z dz d l z z z X s =------= ])()[()!1(1],)([Re 1 1 11 (1-71) 例1-9 已知 1 11)(--=az z X a z > 求z 反变换。 解 ? ? -= -= --c n c n dz a z z j dz z az j n x ππ211121)(1 1 围线c 以内包含极点a ，如图1-29粗线所示，当0 ????? ?? ? ???-=0 ,0,Re ,Re 0 ,,Re )(n a z z s a a z z s n a a z z s n x n n n a 是单阶极点，应用公式(1-70)，则 n a z n n a z a a z z s ==?? ?? ??-=,Re 在0=z 处有一个n -阶极点（0 1 1)!1(10,Re =-----? ? ????---=??????-z n n n n n a z z z dz d n a z z s n z n n a a z -=--==--0 1 ) () 1( 因此 ???<=-≥=0 , 00, )(n a a n a n x n n n 也即 )()(n u a n x n = 图1-29 收敛域a z > 二、部分分式展开法 在实际应用中，一般)(z X 是z 的有理分式，可表示成)(/)()(z Q z P z X =，)(z P 及 )(z Q 都是实系数多项式，且没有公因式。可将)(z X 展开成部分分式的形式，然后利用表 1-1的基本z 变换对的公式求各简单分式的z 反变换（注意收敛域），再将各个反变换相加起来，就得到所求的)(n x 。 为了看出如何求得部分分式展开，假设)(z X 可以表示成1-z 的多项式之比，即 ∑∑=-=-+ = N i i i M i i i z a z b z X 1 1)( (1-72) ∏∏=-=---= N k k M k k z d z c b z X 1 1 11 0) 1() 1()( (1-73) 式中，k c 是)(z X 的非零零点，k d 是)(z X 的非零极点。如果N M <，且所有极点都是一阶的，则)(z X 可展开成 ∑=--= N k k k z d A z X 1 1 1)( (1-74) 其中k A 是常数，N k ,,2,1 =。 若)(z X 的收敛域为]max[k d z >，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z 函数，可以直接利用例1-9的结果，得 ∑== N k n k k n u d A n x 1 )()( (1-75) 其中系数k A 可利用留数定理求得 ],)([ Re )() (|)()1(1 k k d z k k d z z X s z z X d z z X z d A k =-=-==- (1-76) 例1-11 设 ,) 5.01)(21(1 )(1 1 ----= z z z X 2>z 试利用部分分式法求z 反变换。 解 )(z X 有两个极点，21=d 和5.02=d ，收敛域为2>z ，则)(z X 的零极点如图1-31所示。由收敛域可知)(n x 是一个右边序列。因为极点全部是一阶的，因此)(z X 能表示为 图1-31 例1-11 z 变换的零极点图 1 2 1 15.0121)(---+ -= z A z A z X 用（1-76）式求得系数为 3 45.011 )]()21[(2 1 2 1 1= -=-==-=-z z z z X z A 3 1211)]()5.01[(5 .01 5.01 2-=-=-==-=-z z z z X z A 因此)(z X 为 1 1 5.011 31 21134)(---? - -? =z z z X 根据表1-1可得 ?????<≥-?=0 , 00, )5.0(3 1234 )(n n n x n n 或表示为 )(])5.0(3 1234[ )(n u n x n n - ?= 三、幂级数展开法（长除法） 因为)(n x 的z 变换定义为1-z 的幂级数，即 ++++-+== --∞ -∞ =-∑2 1 0)2()1()0()1()()(z x z x z x z x z n x z X n n 所以只要在给定的收敛域内，把)(z X 展成幂级数，则级数的系数就是序列)(n x 。 把)(z X 展成幂级数的方法很多。例如，直接将)(z X 展开成幂级数形式；当)(z X 是 图1-31 一、 单 项选择题 1. 序列x(n)=Re(e jn π/12 )+I m (e jn π/18 ),周期为( )。 A. 18π B. 72 C. 18π D. 36 2. 设C 为Z 变换X(z)收敛域内的一条包围原点的闭曲线，F(z)=X(z)z n-1 ,用留数法求X(z)的反变换时( )。 A. 只能用F(z)在C 内的全部极点 B. 只能用F(z)在C 外的全部极点 C. 必须用收敛域内的全部极点 D. 用F(z)在C 内的全部极点或C 外的全部极点 3. 有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是( )。 A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1) 4. 对于x(n)= n )21(u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 5、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理试题及答案 一、 填空题（30分，每空1分） 1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散时间 信号， 再进行幅度量化后就是 数字 信号。 2、已知线性时不变系统的单位脉冲响应为)(n h ，则系统具有因果性要求 )0(0)(<=n n h ，系统稳定要求∞<∑∞ -∞=n n h )(。 3、若有限长序列x(n)的长度为N ，h(n)的长度为M ，则其卷积和的长度L 为 N+M-1。 4、傅里叶变换的几种形式：连续时间、连续频率—傅里叶变换；连续时间离散频率—傅里叶级数；离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换；散时间、 离散频率—离散傅里叶变换 5、 序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆上 的N 点等间隔采样。 6、若序列的Fourier 变换存在且连续，且是其z 变换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和。 7、 用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__256___次复乘法，采用基2FFT 算 法，需要__32__ 次复乘法 。 8、线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应()h n 应满足条件 ()()1--±=n N h n h 。 9. IIR 数字滤波器的基本结构中， 直接 型运算累积误差较大； 级联型 运 算累积误差较小； 并联型 运算误差最小且运算速度最高。 10. 数字滤波器按功能分包括 低通 、 高通 、 带通 、 带阻 滤 波器。 11. 若滤波器通带内 群延迟响应 = 常数，则为线性相位滤波器。 12. ()?? ? ??=n A n x 73cos π错误!未找到引用源。的周期为 14 13. 求z 反变换通常有 围线积分法（留数法）、部分分式法、长除法等。 14. 用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法包括：冲激响应不变法、阶跃响 应不变法、双线性变换法。 数字地震信号处理试题库（客观题）选择题（单选30）： 1、地震波中某震相的周期为20秒，其频率为： A.0.05Hz B. 20Hz. C. 20秒 D. 0.05秒 ( A) 2、两个8Hz和10Hz的简谐振动合成后，其中的频率成分为： A. 8Hz, 10Hz, 18Hz, 2Hz B. 10Hz, 8Hz C. 2Hz, 18Hz D. 2Hz, 10H z (B) 3、某体波震相的频率为2Hz, 用25Hz的采样频率采样后，其周期为： A.2秒 B. 0.5秒 C. 23Hz D. 23秒 (B) 4、分析地震波中含有的频率成分的正确变换为： A. Fourier变换 B. Laplace变换 C. Z变换 D. Walsh变换（A） 5、描述模拟系统传递函数采用： A.时间域 B. 空间域 C. Z域 D. Laplace域（D） 6、描述数字系统传递函数采用： A.时间域 B. 空间域 C. Z域 D. Laplace域 (C) 7、将时间域中的数字信号进行移位，频率域中改变的是 A. 振幅谱 B. 相位谱 C. 功率谱 D. 高密度谱 (B) 8、以20Hz的采样频率对最高频率为5Hz的信号进行采样，其Nyquist频率为： A. 20Hz B. 10Hz C. 5Hz D. 15Hz (B) 9、以10Hz的采样频率对频率为8Hz的信号采样后，数字信号频率为： A. 10Hz B. 8Hz C. 2Hz D. 18Hz (C) 10、以10Hz的采样频率对频率为12Hz的信号采样后，数字信号频率为： A. 10Hz B. 8Hz C. 2Hz D. 12Hz (C) 11、下列滤波器中，具有最优的线性相频的是： A. 椭圆滤波器 B. Bessel 滤波器 C. Chebyshev滤波器 D. Butter worth滤波器（B） 12、在相同的设计阶数下，下列滤波器过渡带要求最窄的为： A. 椭圆滤波器 B. Bessel 滤波器 C. Chebyshev滤波器 D. Butter worth滤波器 (A) 13、要求去除信号中的低频干扰成分，采用的滤波器为： A.高通滤波器 B.低通滤波器 C带通滤波器 D.带阻滤波器（A） 14、通带内具有最大平坦的频率特性的滤波器为： A. 椭圆滤波器 B. Chebyshev I 滤波器 C. ChebyshevII滤波器 D. Butterworth滤波器（D） 15、完全线性相位的滤波器为： A. Bessel 滤波器 B. FIR滤波器 C. IIR滤波器 D椭圆滤波 器 (B) 16、计算机不可能处理无限长数据，将截断数据进行分析相当于将无限长 数据加上 A:Bartlett窗 B. 三角窗 C. Kaiser窗 D. 矩形窗（D） 17、宽带地震仪的“宽带”是指： A. 通带范围大 B.阻带范围大 C.动态范围大 D. 过渡带宽（A） 18、要保留某数字信号的2Hz~5Hz之间的频率成分，而滤掉其他频率成分， 滤波器选择的通带范围为： 数字信号处理试题及答案 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的 DFT 表达式为∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值 4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。 5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的 映射变换关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω 与数字频率ω之间的映射变换关系为)2 tan(2ω T =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位 FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为 )1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ω?ω ωj j e H e H =，则其对应的相位函数 为ωω?2 1 )(-- =N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可 以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳) 《数字信号处理》试题库 一. 填空题（每题2分） 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为；输入为x（n-3）时，输出为。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频率f s 关系为：。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的点等间隔。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的失真现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是。7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较，阻带衰减比较。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈，因此是______型的 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 。 11、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的______有关，还与窗的______有关 12．已知因果序列x(n)的Z变换为X(z)=e1/z，则x(0)=__________。 13．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x2(n)中包含的频率为 __________。 14．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的__________，而周期序列可以看成有限长序列的__________。 15．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用xm(n)表示，其数学表达式为 xm(n)=__________,它是__________序列。 16．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，即__________便得到按频率抽取的基2-FFT流图。 一、DSP控制器基本概念题 1. DSP控制器与其他微处理器的主要区别是什么？ 答：外设硬件丰富、CPU字长32位，适用数字信号处理高速运算和PWM高精度控制。 2.DSP控制器的主要优势是什么？ 答：运算速度快、数字处理精度高。 3.DSP控制器的CPU字长采用32位的主要目的是什么？ 答：提高数字处理精度，即减少数字信号处理截断误差。 4.DSP控制器的主要应用领域有什么特点？ 答：对控制精度要求高的场合。 5.DSP控制器的存储器多总线结构用于内存储器还是外存储器？ 答：用于内存储器。 6. DSP控制器的片上外设资源包括哪些种类？ 答：模拟输入电路（如A/D转换器）、开关量输入电路、开关量输出电路、通信接口电路、存储器电路、事件管理器电路、看门狗电路。 7. DSP控制器编程语言通常采用什么语言？ 答：C语言 8. DSP控制器的软件系统采用分段技术来定位代码和数据的主要优点是什么？ 答：便于采用软件模块化设计。 9. DSP控制器的复位向量有什么特点？（一是复位向量不再定位在地址0上，二是复位向量也不再是ROM存储器，也可以定位在外部RAM空间。这是为什么？ 答：一是复位向量不再定位在地址0上，二是复位向量也不再是ROM存储器，也可以定位在外部RAM空间。 定位在外部RAM空间的目的是可以使仿真代码下载到RAM不仅快速、而且下载无限次。（ROM要烧写，不仅慢，而且烧写次数为有限次） 10. DSP控制器的复位向量定位在不同存储空间靠什么控制？ 答：用DSP的MC MP/输入引脚控制。 11. DSP上电复位后，不是直接跳转到main()函数入口，而是执行一段引导程序（Boot ROM代码）后，再跳转到main()函数入口，DSP的引导程序有什么作用？ 答：DSP的引导程序的主要作用是检测DSP的指定4个引脚，决定是执行跳转模式（当4个引脚悬空时，就是默认跳转模式，跳转到Flash存储器入口），还是执行加载模式（有串口、并口等通信接口加载模式，通信接收其他计算机传送代码到DSP的RAM后执行）。 12. DSP的中断系统采用多级中断管理系统。与单片机中断系统的单级中断管理系统相比，多级中断管理系统有什么好处？ 答：分级管理，逻辑关系清晰，软件编程阅读性好。 13. 事件管理器包括哪些外设，核心外设是什么？ 答：包括通用定时器、比较单元、PWM单元、捕获单元、正交编码单元。核心外设是通用定时器。 二、DSP硬件开发基础题 1. TMS320F2812片上存储器电路和片外存储器电路有什么存取上的区别？ 答：片上存储器采用多总线存取，片外存储器采用单总线存取。 2.存储器地址总线与存储器容量的计算式，存储器容量的单位是什么？ 答：存储器容量=2地址总线位数 2020/3/27 2009-2010 学年第二学期 通信工程专业《数字信号处理》（课程）参考答案及评分标准 一、 选择题 （每空 1 分，共 20 分） 1．序列 x( n) cos n sin n 的周期为（ A ）。 4 6 A ． 24 B ． 2 C ． 8 D ．不是周期的 2．有一连续信号 x a (t) cos(40 t) ，用采样间隔 T 0.02s 对 x a (t) 进行采样，则采样所得的时域离散信 号 x(n) 的周期为（ C ） A ． 20 B ． 2 C ． 5 D ．不是周期的 3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为h(n) 3n u( n) ，该系统是（ B ）系统。 A ．因果稳定 B ．因果不稳定 C ．非因果稳定 D ．非因果不稳定 4．已知采样信号的采样频率为 f s ，采样周期为 T s ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数，周 期为（ A ），折叠频率为（ C ）。 A ． f s B ． T s C ． f s / 2 D ． f s / 4 5．以下关于序列的傅里叶变换 X ( e j ) 说法中，正确的是（ B ）。 A ． X ( e B ． X ( e C ． X (e D ． X (e j j j j ) 关于 是周期的，周期为 ) 关于 是周期的，周期为 2 ) 关于 是非周期的 ) 关于 可能是周期的也可能是非周期的 6．已知序列 x(n) 2 (n 1) (n)(n 1) ，则 j X (e ) 的值为（ ）。 C 2020/3/27 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 N 1 7．某序列的 DFT 表达式为 X (k ) x(n)W M nk ，由此可看出，该序列的时域长度是（ A ），变换后数字域 n 0 上相邻两个频率样点之间的间隔（ C ）。 A ． N B ． M C ．2 /M D ． 2 / N 8．设实连续信号 x(t) 中含有频率 40 Hz 的余弦信号，现用 f s 120 Hz 的采样频率对其进行采样，并利 用 N 1024 点 DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（ B ）条谱线附近。 A ． 40 B ． 341 C ． 682 D ．1024 9．已知 x( n) 1，2,3,4 ，则 x ( ) R 6 ( ) （ ）， x ( n 1) R 6 (n) （ ） n 6 n 6 A C A ． 1,0,0,4,3,2 B ． 2,1,0,0,4,3 C ． 2,3,4,0,0,1 D ． 0,1,2,3,4，0 10．下列表示错误的是（ B ）。 A ． W N nk W N ( N k) n B ． (W N nk ) * W N nk C ． W N nk W N (N n) k D ． W N N /2 1 11．对于 N 2L 点的按频率抽取基 2FFT 算法，共需要（ A ）级蝶形运算，每级需要（ C ）个蝶形运算。 A ． L B ． L N 2 C ． N D ． N L 2 12．在 IIR 滤波器中，（ C ）型结构可以灵活控制零极点特性。 A ．直接Ⅰ B ．直接Ⅱ C ．级联 D ．并联 13．考虑到频率混叠现象，用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器不适合于（ B ）。 A ．低通滤波器 B ．高通、带阻滤波器 C ．带通滤波器 D ．任何滤波器 A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处 理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 数字信号处理复习大纲 绪 论 一、信号、系统和信号处理 要求掌握信号、系统和信号处理的概念。 二、数字信号处理的基本组成 图0-1 数字信号处理系统的简单方框图 要求掌握框图中各部分的作用。 第一章 离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号——序列 一个离散时间信号是一个整数值变量n 的函数，表示为)(n x 或{)(n x }。线段的长短代表各序列值的大小，其中n 为整数时才有意义。 图1-1 离散时间信号)(n x 的图形表示 一、序列的运算 在数字信号处理中常常遇到序列的移位、翻褶、相加、相乘、累加、差分等运算。 1．序列的移位 )()(m n x n w -= 当m 为正时，则)(m n x -是指序列)(n x 逐项依次延时（右移）m 位而给出的一个新序列，当m 为负时，)(m n x -是指依次超前（左移）m 位。 2．序列的翻褶 ) 如果序列为)(n x ,则)(n x -是以0=n 的纵轴为对称轴将序列)(n x 加以翻褶。 3．序列的和 两序列的和是指同序号n 的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列，表示为 )()()(n y n x n z += 4．序列的乘积 两序列相乘是指同序号n 的序列值逐项对应相乘。表示为 )()()(n y n x n f = 5．序列的标乘 序列)(n x 的标乘是指)(n x 的每个序列值乘以常数c 。表示为 )()(n cx n f = 6．累加 设某序列为)(n x ，则)(n x 的累加序列)(n y 定义为 ∑-∞ == n k k x n y )()( 它表示)(n y 在某一个0n 上的值等于这一个0n 上 )(0n x 的值以及0n 以前所有n 值上的 )(n x 之和。 7．差分运算 前向差分 )()1()(n x n x n x -+=? 后向差分 )1()()(--=?n x n x n x 由此得出 )1()(-?=?n x n x 二、几种常用序列 1．单位脉冲序列)(n δ )(n δ=??? =, 00,1n n (1-1) 图1-4 )(n δ序列 图1-5 )(n u 序列 2．单位阶跃序列)(n u 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 一、题型： 1、基本概念题（选择和填空）：10小题，每题2分，共20分； 2、简答题：3小题，共20分； 3、计算题：2小题，共16分； 4、画图题：2小题，共14分； 5、分析设计题：2小题，共30分。 二、知识点 第一章 时域离散的信号与系统 1、序列的概念 ①典型序列：δ(n)、u(n)、R N (n)、实指数序列、0sin()A n ω。 ②周期序列：对正弦序列，要求会判断，会计算周期。 ③序列的运算：移位、翻转、和、积、线性卷积。 2、系统 ①线性、移不变、因果性、稳定性的判断：因果和稳定性判断有时域方法和Z 域方法。 ②系统的表示法：差分方程、h(n)、H(e j ω)、H(z)，相互转化。 3、模拟信号的数字处理方法 ①模拟信号数字处理框图 ②各功能模块的作用 4、线性时不变系统输入/输出之间的关系 y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n) 第二章 频域分析 1、FT 、ZT 的定义及性质 2、掌握Z 变换及其收敛域 ①序列特性对收敛域的影响： 左序列、右序列、双边序列和有限序列。 ②逆Z 变换的方法： 只要求掌握：留数法和部分分式法。 3、系统函数H(z)、h(n)和差分方程之间的转换 ①系统函数H(z) <=>零极点分布（相互转换）。 ②零极点对H(e jω)的幅度和相位的影响。 4、FT 、ZT 与DFT 之间的关系 第三章 DFT 1、DFT 的定义 ①掌握基本性质、会计算DFT ②会计算循环卷积和线性卷积，理解它们不同点 2、频域采样定理 ①()M ()()(j x n X e N X k x n ω→→→→ （点）点采样 ②采样不够，易造成时域的混叠失真（要求N>=M ） 3、DFT 对信号进行谱分析 ①谱分辨率：s 0F =N f ，谱分辨率增加一倍，是指F 0缩小为 1/2； 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 一、单项选择题 1. 序列x(n)=Re(e jn π/12 )+I m (e jn π/18 ),周期为( )。 A. 18π B. 72 C. 18π D. 36 2. 设C 为Z 变换X(z)收敛域的一条包围原点的闭曲线，F(z)=X(z)z n-1 ,用留数法求X(z)的反变换时( )。 A. 只能用F(z)在C 的全部极点 B. 只能用F(z)在C 外的全部极点 C. 必须用收敛域的全部极点 D. 用F(z)在C 的全部极点或C 外的全部极点 3. 有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是( )。 A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1) 4. 对于x(n)= n )21(u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 5、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理复习大纲 第一章 离散信号和系统的时域分析 一、考核知识点： 1、时域离散信号分析：时域离散信号与模拟信号的关系，与数字信号的关系；常用的典型序列δ(n)，u(n)，R N (n)，以及它们之间的关系；正弦序列，复指数序列，周期序列信号的特点，特别是周期序列中正弦序列周期性的判断；用单位采样序列来表示任意序列；序列的加法、乘法、翻转、移位等运算 2、时域离散系统分析：会判断一个系统的线性、移不变性质；线性时不变系统得输入输出之间的关系：线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积，以及线性卷积的计算方法；系统因果性、稳定性的判断条件（包括收敛域情况）。 3、时域离散系统的输入输出描述法：线性常系数差分方程；差分方程的表达形式 总结系统的时域和频域表达方法 第一章 离散信号和系统的频域分析 一、考核知识点： 1. 序列傅立叶变换的定义及性质：序列傅立叶变换的定义，逆变换的定义（及其计算）；序列傅立叶变换存在的条件；序列傅里叶变换的性质：周期性(Periodic)、 线性 （Linearity ）、 时移与频移（Time shifting and Frequency shifting ）、时间反转（Time Reversal ）、 频域微分（Differentiation in frequency ）、帕斯维尔(Parseval)定理（Parseval’s Theorem ）、 卷积定理（The Convolution Theorem ）、 对称性 2、周期序列的傅立叶级数及傅立叶变换表示：领会理解傅立叶级数与傅立叶变换 3、序列的Z 变换：Z 变换的定义、存在条件、收敛域（不同序列的收敛域不同例如左边，右边）；性质；三种方法求逆Z 变换（留数法、部分分式法、长 除法）（,因果稳定系统的判断条件,2523/1)(211---+--=z z z z H 零极点的判断， h(n)的求法**************）（p73 24题） A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 2０09-２０1０学年第二学期 通信工程专业《数字信号处理》(课程）参考答案及评分标准 一、选择题(每空１分，共20分） 1.序列?? ? ??+??? ??=n n n x 6sin 4cos )(ππ的周期为(A)。 A ．24 Ｂ. 2π Ｃ．8 D.不是周期的 2.有一连续信号)40cos()(t t x a π=,用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，则采样所得的时域离散信号 )(n x 的周期为(C) Ａ．２0 Ｂ． ２π C ．5 D ．不是周期的 3．某线性移不变离散系统的单位抽样响应为)(3)(n u n h n =,该系统是(B ）系统。 A ．因果稳定 Ｂ.因果不稳定 Ｃ.非因果稳定 Ｄ.非因果不稳定 4．已知采样信号的采样频率为s f ，采样周期为s T ，采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期函数,周期为（A),折叠频率为(C)。 A ． s f B.s T C ．2/s f D.4/s f ５.以下关于序列的傅里叶变换)(ωj e X 说法中,正确的是（Ｂ）。 A.)(ωj e X 关于ω是周期的,周期为π B ．)(ωj e X 关于ω是周期的,周期为π2 C ．)(ωj e X 关于ω是非周期的 Ｄ.)(ωj e X 关于ω可能是周期的也可能是非周期的 6.已知序列)1()()1(2)(+-+-=n n n n x δδδ,则0)(=ωωj e X 的值为(Ｃ）。 Ａ.０ B ．1 C ．２ D.３ 7．某序列的DF Ｔ表达式为∑-== 1 )()(N n nk M W n x k X ,由此可看出,该序列的时域长度是(Ａ），变换后数字域上 相邻两个频率样点之间的间隔(C ）。 Ａ．N B.M C ．M /2π D. N /2π ８.设实连续信号)(t x 中含有频率40Hz 的余弦信号，现用Hz f s 120=的采样频率对其进行采样，并利 用1024=N 点DFT 分析信号的频谱，得到频谱的谱峰出现在第（B)条谱线附近。 A.4０ B ．341 Ｃ．682 D ．1０２4 9.已知{},3,421)(，=n x ，则()=-)()(66n R n x (A ）,()=+)()1(66n R n x （C ） A ．{},0,0,4,3,21 B ．{},0,0,4,31,2 C ．{}1,,3,4,0,02 D ．{}0,3,42,,10， 10．下列表示错误的是（Ｂ)。 A ．n k N N nk N W W )(--= B ．nk N nk N W W =*)( C.k n N N nk N W W )(--= D. 12/-=N N W 11．对于L N 2=点的按频率抽取基2FFT 算法，共需要（Ａ）级蝶形运算,每级需要（Ｃ）个蝶形运算。 Ａ．L B.2 N L C. 2 N Ｄ.L N + 12.在I ＩＲ滤波器中,（C ）型结构可以灵活控制零极点特性。 A.直接Ⅰ B.直接Ⅱ Ｃ.级联 D ．并联 13.考虑到频率混叠现象,用冲激响应不变法设计IIR 数字滤波器不适合于（B)。 A.低通滤波器 B ．高通、带阻滤波器 C.带通滤波器 Ｄ．任何滤波器数字信号处理试题
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