第1章 质点运动学
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章 质点运动学
由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
第1章_质点运动学
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
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第1章 质点运动学1.1 选择题1、 (1)根据瞬时速度矢量v 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小v可表示为[BDFH ](A)dt dr (B)dt r d(C)dtds (D)ds dt (E)dt dzdt dy dt dx (F)dx dy dz i j k dt dt dt v v v (G)222dt dz dt dy dt dx (H)21222dt dz dt dy dt dx(2)根据瞬时加速度矢量a 的定义，及其用直角坐标和自然坐标的表示形式，它的大小a可表示为[ACGH](A)dt v d(B)dt dv(C)22dt r d (D)22dt r d (E)22dt s d (F)222222dt z d dt y d dt x d(G)21222 dt dv v (H)2122222dt s d v(3)以下说法中，正确的是[BCDF](A)质点具有恒定的速度，但仍可能具有变化的速率 (B)质点具有恒定的速率，但仍可能具有变化的速度(C)质点加速度方向恒定，但速度方向仍可能在不断变化着 (D)质点速度方向恒定，但加速度方向仍可能在不断变化着(E)某时刻质点加速度的值很大，则该时刻质点速度的值也必定很大(F)质点作曲线运动时，其法向加速度一般并不为零，但也有可能在某时刻法向加速度为零 (4)D(5)质点以速度24t v m/s 作直线运动，沿质点运动直线作Ox 轴，并已知3 t s 时质点位于 x 9m 处，则该质点的运动学方程为[C] (A) t x 2(B) 2214t t x(C) 123143t t x(D) 123143t t x1.2 填空题(1)该时刻质点的瞬时加速度；从t 1到t 3时间内质点的平均加速度；4t vdt；4t v dt(2)圆周运动；匀速率曲线运动 (3)(4) dvdt ； 21t t v t dt ； 21t t v t dt1.7 一质点的运动学方程为2x t ， 21y t ，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位，试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在t =2s 时，质点的速度v 和加速度a(1)由运动学方程消去时间t 可得质点的轨迹方程，将t代入有21y1(2)对运动学方程微分求速度和加速度，即x dx v dt2t ; y dy v dt21t ; x y v v v v v v221ti t j v v x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v v当t=2s 时，代入即可42v i j vvvm/s; 22a i j vvvm/s 21.8第一类运动学问题：已知运动学方程，求v ，a已知一质点运动方程j t i t r 222 ，其中r 、t 分别以m 和s 为单位，试求：(1)1 t s 到2 t s 质点的位移；(2)2 t s 时，质点的v ，a； (3)质点的轨迹方程;(4)在Oxy 平面内画出质点的运动轨迹，并在轨迹图上标出t =2s 时，质点的位矢r v、速度v 和加速度a 。
解：(1)j i r 21，j i r 242 ，j i r r r3212(2)dt r d v ，dtv d a ；j t i v 22 ，j a2 ；2 t s 时，j i v 42 m/s ，j a2 m/s 2(3)j y i x r ；t x 2 ，22t y ；轨迹方程为422x y(4)10520151054321第二类运动学问题：已知加速度和初始条件，求v ，r已知质点运动的j a16 ，0 t 时，i v 60 ，k r 80求质点的速度v ，运动方程r解：dt v d a ，j a 16 ；v d dt a ， v v t v d dt a00， v v t v d dt j 0016j t v v 160 ，可得j t i v166dtr d v，j t i v 166 ；r d dt v ， r r v v rd dt v00， r r v v r d dt j t i0166 j t i t r r 2086 ，可得k j t i t r88621.10 一质点沿一直线运动，其加速度为a = -2x ，式中x 的单位为m ，a 的单位为m/s 2，试求该质点的速度v 与位置坐标x 之间的关系。
设当x =0时，v 0=4m/s 。
dva dt2dv dx dv v x dt dx dx ；002v xv vdv xdxv1.12 一质点沿半径R =1m 的圆周运动。
t =0时，质点位于A 点，如图。
然后沿顺时针方向运动，运动学方程为2s t t ，其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，试求：(1)质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2)质点在第1s 末的速度和加速度的大小。
(1)质点绕行一周所经历的路程为圆周的周长，即2s R =6.28m 由位移和平均速度的定义，可知此时位移为零，平均速度也为零，即0r v，0r v tv v令 202t s s s t t R ，可得质点绕行一周所需时间1t s ，平均速率为2s Rv t t=6.28m/s 上述结果可知路程与位移，速度与速率是不相同的。
(2) t 时刻质点的速度和加速度大小为dsv dt2t n a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv v故而a ，t=1s 时代入即可 v =9.42 m/s.；a =89.0 m/s 2.1.14 一质点按规律322s t t 在圆轨道上运动，s 为沿圆弧的自然坐标，以m 为单位，t 以s 为单位，如果当t=2s时总加速度为m/s 2，求此圆弧的半径。
质点做圆周运动，由自然坐标系下的运动方程可得质点运动速率大小234dsv t t dt切向和法向加速度大小为n a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv v64dva t dt；22234n t t v a R R当t=2s 时，v=20 m/s.，16a m/s 2.；400n a Ra R =25m1.15 一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为342t ，求： (1)当2 t s 时，质点运动的加速度a的大小； (2)当? 时，质点的加速度与半径成45角？ 提示：22 a a a n解：(1)2 r a n ，dt d ，2dt d r a n r t 4144r a ，22dtd ，22dt d r atr 2422 a a a n =230.5(m/s 2)(2)a与n a 成45 角，即 a a n ，则t t 241444，55.0 t s可得342t =2.67(rad)1.19 一质点运动学方程为2x t ， 21y t ，x ，y 的单位均为m ，t 以s 为单位。
(1)试写出质点的轨迹方程，并在Oxy 平面内示意地画出轨迹曲线； (2)质点的速度何时取极小值?(3)试求当速度大小等于10m/s 时，质点的位置坐标； (4)试求t 时刻质点的切向加速度和法向加速度的大小。
(1) 由运动学方程消去时间t可得质点的轨迹方程，将t代入有21y1 (抛物线)211.00.80.60.40.21(2) t 时刻质点的速度为x dx v dt 2t ; y dy v dt21t ; x y v v v v v v221ti t j v v速度大小为v令0dvdt，可知x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v v(3) 令 2222221x y v v v t t，得到t =4s ，代入运动学方程2x t =16m ， 21y t =9m ，即坐标为(16，9)m (4) x x dv a dt2 ; y y dv a dt 2 ; x y a a a v v v22i j v vn a a a v v v 2v dv n R dt v v 222v d s n R dtv vdv a dt22221d t t dt222211t t t22n a a a 且22x y a a a222222221221n t a t t因此，法向加速度221n a t t。