高等数学基础例题讲解

第1章 函数的极限与连续例1．求limx x x→．解：当0>x 时，000lim lim lim 11x x x x xx x +++→→→===，当0<x 时，00lim lim lim (1)1x x x x xx x ---→→→==-=--，由极限定义可知，xx x 0lim→不存在（如图）．例2．求x mxx sin lim0→（m 是非零常数）．解：令u mx =，显然当0x →时0u →，于是mu um mx mx m x mx u x x ==⋅=→→→sin lim sin lim sin lim000．例3．求xx x )21(lim +∞→． 解：令2xt =，当x →∞时，有t →∞，原式22222])11(lim [])11[(lim )21(lim e t t x t t t t xx =+=+=+=∞→∞→⋅∞→例4．求x xx x +-+→11lim20．解：2220011lim lim (11)x x x x x x x x x x →→+-+-=+++2011lim 211x x x x→-==-+++ 例5．求x a x x 1lim0-→．解：令t a x=-1，则log (1)a x t =+，0x →时0t →，于是0001lim lim lim ln log (1)ln x x t t a a t t a t x t a →→→-===+第2章 一元函数微分及其应用例1．讨论函数32)(x x f =在0=x 处的可导性与连续性．解：32)(x x f =为初等函数，在其定义域),(+∞-∞上连续，所以在0=x 处连续．又0(0)(0)(0)limh f h f f h →+-'=0h →=0h →==+∞)0(f '不存在．所以函数32)(x x f =在0=x 处连续，但不可导．事实上，曲线32)(x x f =在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x 轴的切线0=x （如图）．例2．求x y sin =的各阶导数．解：)2sin(cos π+=='x x y ， )22sin(]2)2sin[()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ，)23sin(]2)22sin[()22cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ，…….)2sin()(π⋅+=n x y n ，所以：()(sin )sin()2n x x n π=+⋅． 例3．求y =的导数．解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[2,1)(1,)--⋃-+∞ 当1x >-时，0y >，函数式两边取对数得：1ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =++--+ 因此上式两边对x 求导，得 1153142121+--++='x x x yy 整理后得，]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y 当21x -<<-时可得同样结论．例4．11ln 1lim1--→x x x ．解：这是“∞-∞”型，通分即可化为“00”型．11111111ln lim lim lim 1ln 1(1)ln ln x x x x x x x x x x x x x →→→----==---+11111lim lim ln 1ln 112x x x x x x x →→-===+-++．例5．求内接于半径为R 的球内的圆柱体的最大体积．解：设圆柱的底半径为r ，高为h 则体积2v r h π=，而222()2hr R +=2223()(/4)(/4)v h h R h R h h ππ=-=-（02h R ≤≤），故转化为求函数()v h 的最大值．问题223()()04v h R h π'=-=得驻点23h R =（负值不合题意舍由去）．根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不能在端点0h =，2h R =处取得，故只在唯一驻点23h R =处取得．即当23h R=，63r R =时圆柱体的体积最大，最大体积3max 439v R π=．第3章 一元函数的积分学例1．⎰-dxax 221（0>a ）．解：当a x >时，设t a x sec =(02t π<<)，tdt t a dx tan sec =代入有：原式221sec tan (sec )a t tdta t a=⋅-⎰sec ln(sec tan )tdt t t C==++⎰．为将变量t 还原为x ，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有a x t =sec ，222tan sec 1x a t t a -=-=从而：22221ln()dx x x a Cx a =+-+-⎰．当a x -<时，令u x -=，则a u >，由上，我们有：222211dx dux au a=---⎰⎰222211ln()ln()u u a C x x a C =-+-+=--+-+22ln()x x a C =---+．综合以上结论得，22221ln dx x x a Cx a =+-+-⎰．例2．求⎰++dx x x xcos sin 1sin ． 解：2tansin 221sin cos (1)(1)xt xtdx dt x x t t =++++⎰⎰ct t t dt t t t +++++-=++++-=⎰arctan |1|ln 21|1|ln )1111(22 ln |sin cos |222x x x c =-++．例3．讨论积分11p dx x +∞⎰的收敛性． 解：当1=p 时，111ln dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散；当1≠p 时，1111lim b p pb dx dx x x +∞→+∞=⎰⎰11111lim lim(1)11bpp b b xb p p--→+∞→+∞==---；当1>p 时，有0lim 1=-+∞→pb b，所以1111pdx x p +∞=-⎰，广义积分收敛； 当1<p 时，有∞=-+∞→pb b 1lim ，从而11p dx x +∞⎰是发散的．例4．求曲线02=+x y 和2x y +=-围成的图形的面积． 解：由202y x x y ⎧+=⎨+=-⎩得交点(1,1)--，(4,2)-选x 为积分变量，把面积分成两部分10419((2))22A x x dx xdx ---=---+-=⎰⎰．另解：选y 为积分变量，积分区间[1,2]-，222211((2))(2)A y y dy y y dy--=----=-++⎰⎰3221119(2)322y y y -=-++=．显然选y 为积分变量计算较简单．例5．计算曲线arctan x t =，21ln(1)2y t =+从0t =到1t =的弧长．图3-14解：00s==⎰⎰14400tansec ln|sec tan|t uudu u uππ===+⎰⎰ln(1=．第4章常微分方程例1．求齐次方程yxyxdxdy-+=的通解．解：原方程变形为xyxydxdy-+=11，设uxy=，则dxduxudxdy+=，代入方程yxyxdxdy-+=有：uudxduxu-+=+11⇒uudxdux-+=112，分离变量积分有：⎰⎰=+-dxxduuu1112⇒12||ln)1ln(21arctan cxuu+=+-，即：c ueux+=+arctan222)1(⇒222arctan u cx y e++=（这里12cc-=），所以，原方程的通解为cxyeyx+=+arctan222．例2．求解微分方程3)1(12+=+-xyxdxdy．解：对应齐次方程为：12=+-yxdxdy，分离变量后积分，可得其通解为：2)1(+=xcy；设2)1)((+=xxcy，代入方程3)1(12+=+-xyxdxdy有：322)1()1)((12)1)((2)1)((+=+⋅+-+++'xxxcxxxcxxc解得：1)(+='xxc⇒cxxc++=2)1(21)(，所以原方程的通解为：22)1]()1(21[+++=xcxy．例3．求微分方程yxxdxdyx-=sin的通解．解法一：原方程化为：xyxdxdysin1=+，对应齐次方程为：=+y x dx dy 10，分离变量积分得对应齐次方程的通解为：x c y =； 设x x c y )(=，代入方程xy x dx dy sin 1=+有：2()()11()sin c x x c x c x xx x x '-⋅+⋅=解得：)sin()(x x x c ='⇒c x x x x c ++-=sin cos )(， 所以原方程的通解为：x cx x x y ++-=sin cos ．解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：⎰⋅+⎰=⎰⋅+⎰=--⎰⎰dx xdx x dx x P dx x P e c dx xe e c dx e x Q y 11)()()sin ())((1(cos sin )x x x c x =-++例4．求xy xe '''=的通解． 解：连续积分三次得：1x x x x x x y xe dx xde xe e dx xe e c ''===-=-+⎰⎰⎰，11[(1)](1)x x y x e c dx x de c dx '=-+=-+⎰⎰⎰1(1)x x x e e dx c x=--+⎰12(2)xx e c x c =-++， 322121)3(c x c x c e x y x +++-=．一般将通解写成：3221)3(c x c x c e x y x +++-=． 例5．求微分方程xy y '''=的通解．解：这是一个不显含y 的二阶微分方程，令()y p x '=，则()y p x '''=，代入原方程得：xp p '=，这是一个可分离变量方程，分离变量：x dxp dp =，积分得：c x p +=||ln ||ln ⇒x e p c ±=⇒1y c x '=（这里ce c ±=1），所以原方程的通解为：221121c x c xdx c y +==⎰，一般写成：221c x c y +=． 故原方程的通解为：12c xy c e =．第5章 空间解析几何例1．设点(1,0,1)A -，10AB =，AB 的方向角060α=，045β=，求：（1）γ的值；（2）点B 的坐标．解：（1）由1cos cos cos 222=++γβα有4145cos 60cos 1cos 02022=--=γ，所以01cos 602γγ=±⇒=或0120γ=；（2）设),,(z y x B ，有00110cos 60010cos 456110cos x y x z γ⎧-=⎪-=⇒=⎨⎪+=⎩，52y =，4z =（或6-），则B点的坐标为(6,52,4)或(6,52,6)-．例2．证明三角形的三条高线交于一点.证明：如图，设ABC ∆在边AC ，BC 上的高交于点P ，且令PA a =，PB b =，PC c =，有AB b a =-，BC c b =-，CA a c =-，再由PA BC ⊥，PB CA ⊥有()0a c b ⋅-=，()0b a c ⋅-=， 两式相加有0()00a c b c a b c BA PC ⋅-⋅=⇒-⋅=⇒⋅=， 从而有AB PC ⊥，所以，ABC ∆的三条高线交于一点.例3．平面过三个定点(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c （a ，b ，c 均不为零），求该平面的方程．解：如图，设所求平面方程为：0=+++D Cz By Ax ，由所求平面过三点)0,0,(a P ，)0,,0(b Q ，),0,0(c R 有：c D C bD B a DA D Cc D Bb D Aa -=-=-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+000，代入所设平面方程得：0=+---D z c D y b D x a D ⇒1=++c z b y a x ．例4．已知点)3,1,2(P 和直线L ：12131-=-=+zy x ，求过点)3,1,2(P 并且与直线L 垂直相交的直线方程．解法一：过点)3,1,2(P 且与直线L ：12131-=-=+zy x 垂直的平面方程为：0)3()1(2)2(3=---+-z y x ，即0523=--+z y x ，再设直线L 与此平面的交点为),,(z y x N ，则将直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2131代入上面的平面方程得：0)3()121(2)221(3=----++-+-t t t 解得73=t ，从而有交点)73,713,72(-N ，所以126246{,,}{2,1,4}7777NP =-=-．取所求直线的方向向量{2,1,4}s =-，则所求直线方程为431122-=--=-z y x ．解法二：设垂足为),,(0000z y x P ，其在直线L 上对应的参数为0t ，则：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=0000002131t z t y t x ，{}000033,2,3PP t t t =---，由 000PP s PP s ⊥⇒⋅=0003(33)2(2)(1)(3)0t t t ⇒-++---=，解得037t =，从而有垂足)73,713,72(0-P ，所以 0126246{,,}{2,1,4}7777P P =-=-．取垂线的方向向量{2,1,4}s =-，则所求垂直相交的直线方程为431122-=--=-z y x ． 从此例我们也顺便得到了点P 到直线L 的距离为：222021336||(2)(1)(3())217777P P =-+-+--= 例5．设圆柱面222R y x =+上有一质点，它一方面绕z 轴以等角速度ω旋转，另一方面同时以等速度0v 平行于z 轴的正方向移动，开始时（0t =），质点在)0,0,(R A 处，求质点运动的方程．解：如图，设时间t 时，质点在点),,(z y x M ，M '是),,(z y x M 在xoy 平面上的投影，则AOM t ϕω'∠==，cos cos x OM R t ϕω'==，sin sin y OM R t ϕω'==，t v M M z 0='=． 所以质点运动的方程为0cos sin x R t y R t z v tωω=⎧⎪=⎨⎪=⎩．此方程称为螺旋线的参数方程．第6章 多元函数微分学例1．求242)0,0(),(limy x yx y x +→．解：当),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(时有：224242(,)(0,0)0lim lim x y x y kxx y x y x y x y →→==++2420lim 0()x x kx x kx →⋅==+但仍不能说函数),(y x f 在)0,0(存在极限．实际上，当),(y x 沿曲线2x y =趋于)0,0(时有：222242422001lim lim ()2x x y xx y x x x y x x →→=⋅==++．所以242)0,0(),(limy x yx y x +→不存在．例2．求函数2222),(b y a x y x f +=在点),(y x 处沿其梯度方向的方向导数． 解：2222x ygradf i ja b =+，其方向余弦 42422cos b y a x ax +=α，42422cos b y a x by +=β所以，函数在点),(y x 沿其梯度方向的方向导数为4242222f x al a ∂==∂． 例3．设22ln y x z +=，求其二阶偏导数． 解：22z x x x y ∂=∂+，22z y y x y ∂=∂+，2222222()2()z x y x x x x y ∂+-⋅=∂+22222()y x x y -=+，2222z xyx y x y ∂=-∂∂+，2222z xy y x x y ∂=-∂∂+，2222222()z x y y x y ∂-=∂+．例4．设v e z usin =，xy u =，2y x v +=，求x z ∂∂，y z∂∂解：由公式（1）得：x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e y v e uu)cos sin (v v y e u +=)]cos()sin([22y x y x y e xy +++= y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y v e x v e u u 2cos sin ⋅+⋅=)cos 2sin (v y v x e u +=)]cos(2)sin([22y x y y x x e xy +++=例5．要修建一容积为350m 的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有50=xyz ．从而：22S xy yz xz=++11100()xy x y =++ （0,0>>y x ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0100010022y x S x y S y x ⇒3100==y x根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域D 内取得，现在函数S 在D内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于m 3100时，水池的表面积最小．第7章 多元函数积分学例1．计算⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线1=y ，2=x 及x y =所围成的闭区域． 解法一：如图，积分区域D 可看成x -型区域，则⎰⎰D xyd σ22211111[]2x x dx xydy xy dx ==⎰⎰⎰2422311119()()22428x x x x dx =-=-=⎰解法二：积分区域D 亦可看成y -型区域，则221y D xyd dy xydx σ⎰⎰⎰⎰＝22211[]2y x y dy =⎰2311(4)2y y dy =-⎰242119(2)248x y -＝＝例2．计算⎰⎰--Dy x d eσ22，其中{}222(,),0D x y x y a a =+≤>解：在极坐标系下，积分区域D 可表示为{}a r r D ≤≤≤≤=0,20),(πθθ所以222xy r DDe d e rdrd σθ---=⎰⎰⎰⎰22200012()2aar r d e rdr e πθπ--==⋅-⎰⎰2(1)a eπ-=-例3．求抛物面22y x z +=在平面1=z 下面那部分的面积．解：如图，∑在xoy 面上的投影区域为122≤+y x ，因为2x z x '=，2y z y '=，所以 ⎰⎰++=xyD y x dxdyf f S 221 22144xyD x y dxdy=++⎰⎰2001)6d ππθ==⎰⎰ 例4．设曲线L 为椭圆12222=+b y a x 在第一象限的那段弧，求Lxyds ⎰． 解：L的方程为y =0x a ≤≤），ds =，L xyds⎰0a=⎰20a b a =⎰22()3()ab a ab b a b ++=+ 例5．计算⎰⎰∑dS xyz ，其中∑为曲面22y x z +=被1=z 割下的有限部分． 解：∑在xoy 面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤，dS ==，所以22(xy D xyz dS xy xy ∑=+⎰⎰⎰⎰12004sin cos d r πθθθ=⎰⎰12002sin 2d r πθθ=⎰⎰第8章 级数例1．判断级数∑∞=++12)(1n p c bn an （0≠a ，0p >）的收敛性 解：由于1)/(1)/(1lim 22=++∞→p pn an c bn an ，所以原级数与∑∞=12)(1n p an 具有相同的敛散性，而2211111()p p p n n an a n ∞∞===∑∑，可知 当12p >时，∑∞=++12)(1n p c bn an 收敛； 当102p <≤时，∑∞=++12)(1n p c bn an 发散．例2．讨论级数1()n s n n α∞=-∑（,0s α>）的敛散性．解：n n n u u 1lim +∞→1lim (1)n s s n n n n αα+→∞=⋅+α=，利用比值判别法 则 当10<<α时，∑∞=-1)(n s n n α绝对收敛． 当1>α时，∑∞=-1)(n s n n α发散． 当1=α时，11()(1)n n s s n n n n α∞∞==--=∑∑，11(1)1n s s n n n n ∞∞==-=∑∑是一个p 级数当1>s 时，绝对收敛． 当10≤<s 时，1(1)n s n n ∞=-∑是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断∑∞=-1)1(n s n n 收敛． 所以∑∞=-1)(n s n n α为绝对收敛级数 α<<01发散级数 α>1绝对收敛级数 α=1，>1s条件收敛级数 α=1，<≤01s 所以∑∞=-1)1(n s n n 条件收敛． 例3．求级数∑∞=+-11)1(n n n n x 的收敛半径和收敛域． 解：111(1)lim lim 11(1)1n nn n n n a n R a n +→∞→∞+-===-+； 当1=x 时，11111(1)(1)n n n n n x n n ∞∞++==-=-∑∑收敛；当1-=x 时，1111(1)n n n n x n n ∞∞+==-=-∑∑发散； 所以，级数∑∞=+-11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ，收敛域为]1,1(-． 例4．求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数，并求级数12n n n ∞=∑的和．解：可求得级数的收敛区间为(1,1)-；先求11n n nx ∞-=∑的和函数．设111()n n S x nx ∞-==∑，则()11100011()x x x n n n n S x dx nxdx nx dx ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰21n x x x x x =++++=-，(1,1)x ∈-上式两边求导得 121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭所以12()()(1)x S x xS x x ==-，(1,1)x ∈-当12x =时，2112(1)212(1)2n n n S ∞====-∑例5．将2312++x x 展开成1-x 的幂级数．解：21113212x x x x =-++++111111231123x x =---++001111(1)()(1)()2233n n n n n n x x ∞∞==--=---∑∑11011(1)()(1)23n n n n n x ∞++==---∑要使上式成立，应有112x -<，113x -<即13x -<<．。