三类典型的数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
历史上最伟大的十个方程
历史上最伟大的十个方程方程作为数学中重要的工具和思维模型，在科学研究和技术应用中扮演着重要的角色。
在历史的长河中，有许多方程被认为是最伟大的，它们对于数学和科学的发展产生了深远的影响。
下面将介绍历史上最伟大的十个方程，它们代表了不同领域的重要成就。
一、欧拉恒等式（Leonhard Euler）欧拉恒等式是数学中的经典方程，由瑞士数学家欧拉于18世纪提出。
它表达了自然常数e、虚数单位i、圆周率π和自然对数的关系，即e^(iπ)+1=0。
这个简洁而优雅的等式将数学中的重要常数和虚数联系在了一起，体现了数学的美妙和深刻。
二、相对论方程（Albert Einstein）相对论方程是德国物理学家爱因斯坦于20世纪初提出的，它是描述质量和能量之间关系的方程，即E=mc^2。
这个方程揭示了质能转化的本质，引发了对于时间、空间和引力的全新理解，对现代物理学的发展产生了重大影响。
三、量子力学方程（Er win Schrödinger）量子力学方程是奥地利物理学家薛定谔于20世纪提出的，它是描述微观粒子行为的方程，即薛定谔方程。
这个方程通过波函数描述了粒子的运动和性质，揭示了微观世界的奇妙和不确定性，对现代物理学和化学的研究有着重要的指导作用。
四、热力学方程（Rudolf Clausius）热力学方程是德国物理学家克劳修斯于19世纪提出的，它是描述热力学系统的方程，即熵增定律。
这个方程揭示了热力学过程中能量转化和熵的增加规律，为热力学的发展奠定了基础，对工程和能源领域有着重要的应用价值。
五、麦克斯韦方程组（James Clerk Maxwell）麦克斯韦方程组是苏格兰物理学家麦克斯韦于19世纪提出的，它是描述电磁场的方程组。
这个方程组统一了电场和磁场的描述，揭示了电磁波的存在和传播，为电磁学的发展做出了重大贡献，对通信和电子技术的发展有着巨大的影响。
六、波动方程（Jean le Rond d'Alembert）波动方程是法国数学家达朗贝尔于18世纪提出的，它是描述波动现象的方程，即达朗贝尔方程。
三类典型的数学物理方程
第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
世界十大著名方程
世界十大著名方程
以下是世界十大著名方程：
1. 欧拉公式：e^ix = cos(x) + i*sin(x)
这是一个重要的数学公式，将指数函数、三角函数和虚数单位i联系在一起。
2. 相对论的质能方程：E = mc^2
由爱因斯坦提出的公式，描述了物质和能量之间的等效关系。
3. 热力学第二定律：ΔS ≥ 0
描述了热力学系统中熵的增加性质，表明自然界中的熵总是增加或保持不变。
4. 麦克斯韦方程组：
这是一组描述电磁场行为的方程，包括麦克斯韦方程的四个基本方程：
a) 电场的高斯定律
b) 磁场的高斯定律
c) 电场的法拉第电磁感应定律
d) 磁场的安培定律
5. 波动方程：∂^2u/∂t^2 = c^2∇^2u
描述了波动传播的方程，出现在许多物理学和工程学领域中。
6. 黎曼猜想：ζ(s) = Σ(n=1至∞) 1/n^s = 0
这是一项尚未解决的数学猜想，涉及到复数域中的黎曼ζ函数。
7. 汉密尔顿-雅可比方程：∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q) = 0
描述了在哈密顿力学中质点系统的运动的方程。
8. 流体力学的纳维-斯托克斯方程：∂v/∂t + (v·∇)v = -∇p/ρ + ν∇^2v
描述了不可压缩流体中速度场和压力的运动方程。
9. 黑洞的爱因斯坦场方程：
这是描述引力场和时空弯曲的爱因斯坦广义相对论方程。
10. 薛定谔方程：iħ∂ψ/∂t = Hψ
描述了量子力学中粒子波函数随时间演化的方程。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的数学公式，它们是物理学研究的基础。
物理学家通过对物质运动的观察和实验，总结出了许多数学物理方程，这些方程具有预测和解释自然现象的能力。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学物理方程，并讨论它们在现实生活中的应用。
牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它表明，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为： F = ma其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律可以解释许多物理现象，例如自由落体、弹性碰撞等。
在机械工程中，牛顿第二定律被广泛应用于设计和优化机械系统。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的数学公式。
它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一方程：电场的散度等于电荷密度。
2. 麦克斯韦第二方程：磁场的旋度等于电场随时间的变化率。
3. 麦克斯韦第三方程：电场的旋度等于磁场随时间的变化率和电流密度的叉积。
4. 麦克斯韦第四方程：磁场的散度等于零。
麦克斯韦方程组被广泛应用于电磁学、光学、通信等领域。
它可以解释电磁波的传播、电磁感应现象等。
热传导方程热传导方程是描述热传导现象的数学公式。
它表明，热量的传导速率与温度梯度成正比。
用数学公式表示为：T/t = αT其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，表示拉普拉斯算子。
热传导方程可以用于解决许多热传导相关的问题，例如热传导率的计算、材料的热稳定性等。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学现象的数学公式。
它表明，量子系统的波函数随时间演化的规律。
用数学公式表示为：iψ/t = Hψ其中，i表示虚数单位，表示约化普朗克常数，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的能量、波函数、概率等物理量。
总结数学物理方程是物理学研究的基础。
它们可以用于解释和预测自然现象，例如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、热传导方程、薛定谔方程等。
这些方程在现实生活中有广泛的应用，例如机械工程、电磁学、光学、热力学、量子力学等领域。
高数中物理应用常见公式
高数中物理应用常见公式
一、力学：
1、牛顿第二定律：F=ma
2、牛顿第三定律：F=–F
3、动量守恒定律：mv=mv'
4、能量守恒定律：W=W'
5、平衡条件：F=0
6、质点运动律：s=vt；a=dv/dt
7、垂直运动：v=v0+gt
8、拉格朗日第二定律：F-ma=0
9、弹性力学：F=-kx
二、流体力学：
1、伯努利定律：f=PA
2、流量定律：Q=V/t
3、流场定律：u=f/ρ
4、动量定律：P=ρV2
5、流体平衡定律：F=P
6、湍流定律：u’=k/l
三、热力学：
1、伯努利定律：PV=NRT
2、关联定律：C=dQ/dT
3、热容定律：C=Q/ΔT
4、尔登热学定律：Cp-Cv=R
四、电学：
1、电势差定律：V=IR
2、Ohm定律：V=RI
3、欧姆定律：V/I=R
4、电流定律：F=QV
5、电荷守恒定律：Q=CV
6、电流守恒定律：I=CV
7、电容定律：C=Q/V
五、光学：
1、色散定律：λ=f/v
2、波动定律：y=Acos(2πft)
3、反射定律：n1sinθ1=n2sinθ2
4、折射定律：n1sinθ1=n2sinθ2
5、衍射定律：dλ=dh/L。
数学物理方程公式总结
数学物理方程公式总结数学和物理是自然科学的两个重要分支，它们在研究自然界的规律时不可分割。
在数学和物理的学习过程中，我们经常会遇到大量的方程和公式。
这些方程和公式帮助我们理解和解决问题，归纳总结这些方程和公式有助于我们更好地掌握它们。
下面是一些数学物理方程公式的总结。
1.牛顿力学相关方程：- 运动方程: F = ma，其中 F 表示作用力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
-牛顿第一定律:F=0，一个物体若无外力作用，则物体保持静止或匀速直线运动。
- 牛顿第二定律: F = ma，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
-牛顿第三定律:F12=-F21，两个物体之间的作用力大小相等，方向相反。
2.热力学相关方程：-热力学第一定律:ΔU=Q-W，系统内部能量的变化等于吸热减去对外界做功。
-热力学第二定律:ΔS≥0，隔离系统内部的熵不会减少，或者说熵的增加不可逆。
-热力学第三定律:绝对零度时，熵为零。
3.电磁学相关方程：-库仑定律:F=k*(Q1*Q2)/r^2，两个点电荷之间的力与电荷大小成正比，与距离的平方成反比。
-高斯定律:Φ=E*A=Q/ε0，电场通过任意闭合曲面的通量与该曲面内的电荷成正比。
-法拉第电磁感应定律:ε=-ΔΦ/Δt，电磁感应产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
4.波动与光学相关方程：-波速公式:v=λ*f，波速等于波长乘以频率。
- 光的折射定律: n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2)，光线从一种介质进入另一种介质时，入射角和折射角与两种介质的折射率成正比。
5.直流电路相关方程：-欧姆定律:V=I*R，电压与电流和电阻的关系。
- 串联电阻的总电阻: R_total = R1 + R2 + ...，串联电阻的总电阻等于各个电阻之和。
- 并联电阻的总电阻: 1/R_total = 1/R1 + 1/R2 + ...，并联电阻的倒数总电阻等于各个电阻的倒数之和。
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数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
（2）边界条件
1.2 初始条件与边界条件
波动问题的边界条件：
第一类边界条件：给出所研究的物理量在边界 上满足的条件
如一根长为a的弦，两个端点的位移已知，分别为 1(t), 2(t) 则其边界条件为
u(0,t) 1(t), u(a,t) 2(t)
固定端点的情形：
第二类边界条件 给出所研究的物理量沿边界外法向导数在边界 上应满足的条件。
两端同时对x积分
x
u y
x2
y
0
u y
x3 y
3
g1( y)
u y
x3 y 3
g1( y) 0
两端同时对y积分
u(x, y) x3 y2 f (x) g( y) 6
u(x, y) x3 y2 f (x) g( y) 6
u(x, 0) x2
f (x) g(0) x2
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
其中Ci(i =1,2,…)为任意常数，则u一定是方程 L(u)=0的解。
设u1是齐次方程L(u)=0的解， u2是非齐次方程 L(u)=f的解,则u1+u2也是非齐次方程的L(u)=f解
第一章内容小结：
1.偏微分方程建立 2.初始条件
边界条件（三类边界条件） 3.定解问题及相关概念（方程的解、初值问题、
2u 2u 2u f x2 y2 z2
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
1.2 初始条件与边界条件
初始条件：用以说明物理现象初始状态的条件。 边界条件：用以说明边界上的约束情况的条件。
（1）初始条件
波动问题
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
1.3 定解问题的提法
解（古典解） 定解条件：边界条件与初始条件的总称 定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题） 边值问题 混合问题 解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为 在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则称为非 齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对 于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例： 一维波动方程： 二维热传导方程：
两端除以a，并与(4)式联立，可求解出：
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x
0
(
)d
C 2a
f2
(x)
1 2
(x)
1 2a
x
0
(
)d
C 2a
代回(2)中，得到方程（1）在定解条件（3）下的解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
无限长弦自由振动的达朗倍尔公式
ES(u(x x,t) x
u( x, t ) ) x
ES
2u x2
dx
根据牛顿第二定律： F ma
ES
2u x2
dx
Sdx
2u t 2
2u E 2u
t2 x2
a2
三类典型的数学物理方程
内容回顾
波动方程（双曲型方程） 物理现象：振动过程，关于连续介质(弦、杆、膜、 气体等），以及关于电流传输、电磁振荡等。 方程：
• 格林函数法
主要用于求解拉普拉斯方程
第三章 行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 §3.2 三维波动方程的泊松公式 §3.3 积分变换法举例
求定解问题的解
u(
x,
0)
uxy x2
x2 , u(1,
y y
)
cos
y
uxy x2 y
u
x
y
x2 y
用什么方法去掉一次微分？
边值问题、混合问题） 4.方程解的叠加原理
定解问题的解法
解析方法
分离变量法、行波法、格林函数法等 变分法、微扰法、迭代法等
数值方法
有限差分法、有限元法、矩量法
偏微分方程的解法（需要同学们掌握）
• 特征线法（行波法）
无界域波动方程的定解问题
• 分离变量法
有界域的定解问题（三类方程均适用）
三类典型的数学物理方程
内容回顾
输运方程（抛物型方程） 物理现象：描述输运过程，如热传导、扩散、粘性 液体流动等。 方程：
三类典型的数学物理方程
内容回顾
稳定场方程（椭圆型方程） 物理现象：描述稳恒（不随时间改变）过程，如固 定电场和磁场（静电学、静磁学、直流电场），不 可压缩液体的位流、稳定热场等等。 方程：
t 1, 2
u2
f2(x
a) 2
t 1, u2 f2(x a)
以速度a沿X轴正方向传播的行波，右行波
达朗倍尔公式的物理意义
u f ( )d f1( ) f2() f1(x at) f2(x at)
k1为两个介质之间的热交换系数。 在物体内部任取一个无限贴近边界S的封闭曲面Γ，由于在 S内侧热量不能积累，所以在Γ上的热流应该等于边界S上 的热流。而在Γ上的热流为
1.2 初始条件与边界条件
σ=k1/k为常数
稳定场问题的边界条件
直接给出所研究的物理量在边界面上的变化规律
u(x, y, z) (x0 , y0 , z0 )
u(1, y) cos y y2 f (1) g( y) cos y
6
f (x) g(0) x2 ①
y2 f (1) g( y) cos y ② 6
+ ① ②
f (x) g(0) y2 f (1) g( y) x2 cos y 6
f (x) g( y) x2 cos y y2 g(0) f (1)
一维波动方程
utt
a2uxx
其特征方程为
(dx)2 a2(dt)2 0
特征线
(dx)2 a2(dt)2 0 的积分曲线即
一维波动方程的特征线：
x at 常数
x－t平面上斜率为 1 的两族直线
a
特征变换
u a u 对 tt
2
（1）
xx
依据特征线，做如下的代换
特征变换 特征线法
x at x at
utt a2uxx x ,
u t0 (x) ut t0 (x)
t0
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
达朗倍尔公式的物理意义
u f ()d f1() f2() f1(x at) f2(x at)
t 0, u2 f2(x)
边界条件 这里σ=k/T，k为弹性系数。
胡克的弹性定律指出：在 弹性限度内，弹簧的弹力 f和弹簧的长度x成正比， 即f= -kx。k是物质的弹 性系数，它由材料的性质 所决定，负号表示弹簧所 产生的弹力与其伸长（或 压缩）的方向相反。