数学物理方程题库
数学物理方程习题
值使得u(Q)在A点得邻域中调和. 16.设P 为常系数线性偏微分算子，且有基本解E (x), 满足singsuppE = {0}则P 为亚椭圆的。 (Thm6.3.2) 第七章热传导方程 1.求解热传导算子的基本解 2.求解热传导方程的Cauchy问题 { ∂u − a2 ∆u = f (x, t) t > 0 ∂t u(x, t)|t=0 = φ(x) 3.求解热传导方程的初边值问题. {
∑ 1 ξ α ∂ α uP α (x, η ) α ! α
是一个重要的公式，称为推广的莱布尼茨公式.又以后对任一函数F (x, ξ )恒
β α 记F(β ) (x, ξ ) = ∂x ∂ξ F (x, ξ )，即下标表示对x求导，上标表示对ξ 求导. (α)
8.设有C ∞ (R)函数列{fn (x)}满足 1
d2 dx2 d + dx
α, α ∈ R .
2 + ∂r , 其中r =
第六章Laplace方程
n −1 ∂r r 3
√ 2 x2 1 + ... + xn
2.设开集Ω ⊂ R 有界，边界∂ Ω光滑，u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Q ∈ Ω 证明 ∫ 1 ∂u ∫ ∫ ∆u u ∂ ( 1 )ds − 41 u(Q) = 41 ds − 41 dx π ∂ Ω r ∂n π ∂ Ω ∂n r π Ω r 3.证明球面平均值公式，球体平均值公式 4.证明调和函数的极值原理 5.利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性 ∆u = 0 u|∂ Ω = f 6.利用Green函数求解上半平面的Dirichlet问题 ∆u(x, y ) = 0 y > 0 u|y=0 = f (x) 7.利用Green函数求解圆Ω上的Dirichlet问题 ∆u = 0 u|∂ Ω = f (x) ¯ ∩ C 2 (Ω), 证明： 8.设Ω = BR (Q)(以Q为心、 R为半径的开圆域), u ∈ C (Ω) ∫∫ ∫∫∫ 1 (1).u(Q) = 4πR )∆udx. u(P )dSp + 41 (1 − 1 2 π r ∂BR (Q) BR (Q) R ∫ ∫ 1 (2).若∆u ≥ 0, 则u(Ω) ≤ 4πR2 u(P )dSp . ∂BR (Q) 9.证明第一格林公式 ∫ ∫ u
数学物理方程练习题
σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方程作业
习题2.12. 长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。
试写出方程的定解条件。
解：边界条件：u(x,t)|0=x =0自由端x=L ，u x |L x ==0初始条件：u(x,t)|0=t =x Lbu t |0=t =0 习题2.21. 一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量rdxdtu u k t x u dt t x u dx r c dt t x u t dx x u r k x x πρππ2)()],(),([)],(),([1122-+-+=-+即为：rdxdt u u k dt dxu r c dxdt u r k t xx πρππ2)(1122-+=)(211u u k ru c kru t xx -+=ρ所以温度u 满足的方程为r c u u k u c ku xx t ρρ)(211--=-习题2.34. 由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰=∙VdV dS E ρε1,求证：ερ=∙∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰∙S dS E =⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∙∇VVdV EdV ρε 1所以ερ=∙∇E 又因为ερϕϕϕ=-∇=-∇∙∇=∙∇⇒∙-∇=2)(E E 习题2.4 2.（2）032=-+yy xy xx u u u 解： 特征方程：032)(2=--dx dy dx dy ，则有1-3或=dxdy即为 13c x y += 2c x y +-= 令x y +=η x y 3-=ξ 则由：ηηξηξξu u u u xx +-=69 ηηξηξξu u u u xy +--=23 ηηξηξξu u u u yy ++=2 推得 0=ξηu则解得 )()3()()(x y g x y f g f u ++-=+=ηξ （5）031616=++yy xy xx u u u 解：由特征方程：0316)(162=+-dxdydxdy解得4143或=dx dy 则可令 x y -=4ξ x y 34-=η所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4431y x y x Q ηηξξ 因此=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T Q a a a a Q a a a a 2212121122121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡03232022121211a a a a 即032=-ξηu所以)34()4(x y g x y f u -+-= 习题2.6 1.（3）.证明)0(||)()(≠=a a x ax δδ证明：当0>a 时a dx x a ax d ax a dx ax 1)(1)()(1)(===⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδ所以)0()()(≠=a ax ax δδ 当0<a 时adx x a ax d ax adx ax dx ax 1)(1)()(1)()(-=-=---=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδδ所以)0()()(≠-=a ax ax δδ 综上：)0(||)()(≠=a a x ax δδ习题3.13.（4）求解边值问题的固有值和固有函数⎩⎨⎧=+'==+''==0][,0|002L x x hX X X X X β解：当0=β时，B Ax x X +=)(代入边值条件得：B X x ===0|00100)(][=+=⇒=+=+'=hL A AL h A hX X L x 或 所以当010=+≠hL A 且时Ax x X =)(当010≠+=hL A 且时0)(=x X 当0>β时，)sin()cos()(x B x A x X ββ+= 代入边值条件得：A X x ===0|00)sin()cos(][=+=+'=L hB L B hX X L x βββ 解得：L hn βββtan -=为的正根所以)sin()(x x X n n β= 当0<β时，无解。
数学物理方程第三章练习题
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
∂2u ∂x2i
=
x2i r2
f
′′(r)
+
( 1 r
−
x2i r3
)
f
′(r),
(i = 1, 2, . . . , n)
将上式代入调和方程得
f
′′(r)
+
n
−
1 f
′(r)
=
0,
r
即
f ′′(r) f ′(r)
=
−n
− r
1.
对上式两边积分即得结论.
πx a
,
u(x, b)
=
0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 17 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.6
用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) 上的稳定温度分布:
.
uxx + uyy = 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0,
,
∂r ∂R
=
sin θ,
∂θ ∂R
=
cos θ . r
由 (1.2) 及 (1.3) 知
(1.3)
∂2u ∂z2
=
cos2
θ
∂2u ∂r2
+
sin2 r2
θ
∂2u ∂θ2
+
sin2 r
θ
∂u ∂r
+
sin 2θ r2
∂u ∂θ
−
sin 2θ r
∂2u ∂r∂θ
,
数学物理方程第三章练习题
∂u ∂r
−
sin θ r
∂u ∂θ
,
∂u ∂R
=
sin
θ
∂u ∂r
+
cos θ r
∂u ∂θ
.
R2 + z2 = r2,
tan θ
=
R z
,
(1.1) (1.2)
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 6 / 69
建立方程、定解条件
故有
∂r ∂z
=
cos θ,
∂θ ∂z
=
−
sin r
θ
H1
=
√( ∂x )2 ∂q1
( ∂y )2 + ∂q1
+
(
∂z ∂q1
)2 ,
H2
=
√( ∂x )2 ∂q2
( ∂y )2 + ∂q2
+
(
∂z ∂q2
)2 ,
H3
=
√( ∂x )2 ∂q3
( ∂y )2 + ∂q3
+
(
∂z ∂q3
)2 ,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3
8 / 69
数学物理方程
2012-10-3 2 / 69
1. 建立方程、定解条件 2. 格林公式及其应用 3. 格林函数 4. 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.1
√
设 u(x1, . . . , xn) = f(r) (其中 r = x21 + · · · + x2n ) 是 n 维调和函数, 试证明
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
数学物理方程题库
=
0,
ut
(
x,
0
)
=
0
解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题
⎧⎪htt = a2hxx (−∞ < x < ∞, t > τ )
⎨ ⎪⎩h
(
x,τ
)
=
0,
ut
(
x,τ
)
=
x
+
aτ
由达朗贝尔公式得到
∫ h ( x,t,τ ) =
1
x+a(t −τ )
(ξ + at ) dξ = −aτ 2 + (at − x)τ + +xt.
)
=
f1
(
x
+t)
+
f2
(
x
−t)
=ϕ
⎛ ⎜ ⎝
x−t 2
⎞ ⎟ ⎠
+φ
⎛ ⎜ ⎝
x+t 2
⎞ ⎟ ⎠
−
⎡⎣
f2
(
0)
+
f1
(
0)⎤⎦
=ϕ
⎛ ⎜ ⎝
x −t 2
⎞ ⎟ ⎠
+φ
⎛ ⎜ ⎝
x
+t 2
⎞ ⎟ ⎠
−ϕ
(
0)
8
9, 求定解问题
⎧utt = a2uxx (0 < x < ∞, t > 0)
⎪
⎪ ⎨ ⎪
+
a22
∂ 2ξ ∂y 2
=0
B1
=
a1 1
∂ 2η ∂x2
+
a12
∂ 2η ∂x∂y
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=
0,
ut
(
x,
0
)
=
0
解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题
⎧⎪htt = a2hxx (−∞ < x < ∞, t > τ )
⎨ ⎪⎩h
(
x,τ
)
=
0,
ut
(
x,τ
)
=
x
+
aτ
由达朗贝尔公式得到
∫ h ( x,t,τ ) =
1
x+a(t −τ )
(ξ + at ) dξ = −aτ 2 + (at − x)τ + +xt.
∂u ∂x
]x=0
=
h(x)(0
≤
t
<
∞)
⎪⎩u ( x,0) = ux ( x,0) = 0
其中h( x)为已知连续可微函数。
解：通过变换µ
(t)
=
t
−a∫ h (τ
0
) dτ
+ϕ
(at ) +
1 a
at
∫φ
0
(ξ
)dξ
=
t
−a∫
0
h (τ
) dτ
将ux (0,t )的问题转化成u (0, t)的问题。
4
3求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为ϕ(x), 初始速度为
−aϕ' (x).
解：初值问题为
⎧⎪utt = a2uxx ( −∞ < x < ∞)
⎨ ⎪⎩u
(
x,
0)
=
ϕ
(
x)，ut
(
x,
0)
=
−aϕ
'
(
x)
根据题意，令u(x,t) = f1 ( x+ at) + f2 ( x−at)
由初始条件得
∂ξ ∂y
∂η ∂y
32 =−
3
A1
=
a11
∂ 2ξ ∂x 2
+
2 a12
∂ 2ξ ∂x∂y
+
a22
∂ 2ξ ∂y 2
+
b1
∂ξ ∂y
=0
B1
=
a11
∂ 2η ∂x 2
+
2 a12
∂ 2η ∂x∂y
+
a22
∂ 2η ∂y 2
+
b1
∂η ∂y
=0
∂ 2U
所以
=0
∂ξ∂η
3
2确定初值问题
⎧⎪utt = a2uxx (−∞ < x < ∞)
⎧
∫ ⎪
于是得到，⎪⎨ ⎪
∫ ⎪
⎩
f1 f2
( (
x) x)
= =
cos 2
cos 2
x x
+ −
1 2a
1 2a
x
x0 x
x0
e−1dξ e−1dξ
+ −
c 2a
c 2a
∫∫ ⇒
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
f1 f2
( (
x x
+ −
at ) at )
= =
cos ( cos (
x+ 2
x− 2
at at
) )
+ +
1 2a
1 2a
x+at
e−1dξ +
c
x0
2a
x0 e−1dξ − c
( x−at)
2a
⇒ u(x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at )
∫ =
1 2
⎡⎣cos (
x
+
at
)
+
cos (
x
−
at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at x −at
e−1dξ
= cos x cos at + t e
此 时 原 方 程 可 以 转 化 为 2A 22
∂2u ∂η 2
+
A
1
∂u ∂ξ
+
∂u B1 ∂η
=
0
其 中 ， A 22
=
a1 1
⎛ ⎜ ⎝
∂η ∂x
2
⎞ ⎟ ⎠
+ 2a12
∂η ∂x
∂η ∂y
⎛ ∂η
+
a22
⎜ ⎝
∂y
2
⎞ ⎟ ⎠
=
y2
A1
=
a1 1
∂ 2ξ ∂x 2
+
2 a12
∂ 2ξ ∂x∂y
所以16 ∂2U + (y+sinx ) ∂U + (y+sinx ) ∂U = 0
∂ξ∂η
∂ξ
∂η
由于y+sinx= ξ +η ，所以上式可以变为关于ξ，η得标准方程 2
∂2u ξ +η ⎛ ∂u ∂u ⎞
+ ∂ξ∂η
32
⎜ ⎝
∂ξ
+
∂η
⎟ ⎠
=
0
1
2） x 2u xx + 2 xyu xy + y 2u yy = 0
=
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+at)
+ϕ(
x
−at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at
∫
x−at
φ
(ξ)
dξ
∫ ∫ +
1
t x+a(t−τ)
dτ
f
(ξ,τ ) dξ,该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式:
2a 0 x−a(t−τ)
∫ ∫ ∫ u(
x,t
)
=
1 2
⎡⎣(
x
+at
)
+(
x
−at
)⎤⎦
+
1 2a
x+at x−at
2a
⇒u(x,t) = f1( x+ at) + f2 ( x−at)
∫ =
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+
at
)
+ϕ
(
x
−
at
)
⎤⎦
−
1 2
x+at x−at
ϕ
'
(ξ
)
dξ
=ϕ( x −at)
5
4求定解问题
⎧⎪utt = a2uxx + x + at (−∞ < x < ∞, t > 0)
⎨ ⎪⎩u
(
x,
0)
+
∂ξ ∂y
∂η ∂x
⎞ ⎟ + a22 ⎠
∂ξ ∂y
∂η ∂y
= −8
A1
=
a11
∂ 2ξ ∂x2
+ 2a12
∂ 2ξ ∂x∂y
+ a22
∂ 2ξ ∂y 2
+ b1
∂ξ ∂y
= − y − sin x
∂ 2η
∂ 2η
∂2η ∂η
B1 = a11 ∂x2 + 2a12 ∂x∂y + a22 ∂y2 + b1 ∂y = − y − sin x
+
该方程的一组特征微分方程为
⎪ ⎨
dx
⎪ dy
⎪ ⎩
dx
=
a12
−
a122 − a11a22 = 2 − cos x a11 a122 − a11a22 = −2 − cos x a11
积分得到特征曲线为
⎧ ⎨
⎩
y1 y2
= =
2x − sin x −2 x − sin
+ c1 x + c2
⇒
⎧c1 ⎨⎩c2
1，指出下列方程的类型并化为标准形式。
( ) 1） uxx − 2 cos xuxy − 3 + sin 2 x uyy − yuy = 0
解：方程的判别式∆ = a122 − a11a22 = ( − cos x)2 + 3 + sin 2 x = 4 > 0.
所以方程为双曲型。
⎧ dy ⎪
=
t
界条件得到，f (−at ) = −a∫ h (τ ) dτ，若令z=-at(z ≤ 0),得到:f ( z ) =
0
z −
a
−a ∫ h(τ ) dτ ,于是得到
0
t− x
u ( x,t ) =
f
( x − at)
=
−a
a
∫
0
h(τ ) dτ
⎛ ⎜
t
⎝
≥
x⎞
a
⎟ ⎠
−z a
当z > 0时定义 − a ∫ h(τ ) dτ = 0，于是所求问题的解为
u(x,0)
=
f1
(
x)
+
f2
(
x)
=ϕ
( x)，ut
(
x,0)
=
af
' 1
(
x)
−
af2'
(
x)
=
−aϕ'
(x)
x
对上式积分得，a⎡⎣ f1 ( x) − f2 ( x)⎤⎦ = −∫ aϕ' (x) dξ + c