鲁教版八年级数学下册(1)

菱形的性质与判定能力提升训练一、选择题1.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm2.如图，在 ?ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，添加下列条件不能判定?ABCD 是菱形的只有（）A. AC⊥BDB. AB=BCC. AC=BDD. ∠1=∠23.如图，四边形 ABCD 是菱形， AC=8， DB=6， DH ⊥AB 于 H ，则DH等于（）A.B.C.5D.44.下列命题中正确的是（）A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AB=2 ，∠ABC=60 °，则 BD 的长为（）A.2B.3C.D.26.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，AO=CO，BO =DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO7.菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF ．若EF= ， BD =2，则菱形ABCD 的面积为（）A. 2B.C. 6D. 88. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直9.如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M， N 分别是 AB， BC 边上的中点，则 MP +PN的最小值是（）A.B.1D. 210.如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AB 边上一点，且∠A=∠EDF =60 °，有下列结论：①AE=BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE =∠BEF，其中结论正确的个数是（）A.3B.4C.1D.2二、填空题11.如图，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 ______使平行四边形 ABCD 是菱形．12.如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴， AB∥CD，则下列结论：① AC⊥BD；② AD∥BC；③四边形 ABCD 是菱形；④ △ABD ≌△CDB ．其中正确的是 ______ （只填写序号）13.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 A 作AH⊥BC 于点 H ，连接 OH，若 OB=4 ，S 菱形ABCD =24 ，则 OH的长为 ______ ．14.已知菱形的两条对角线的长分别为 5 和 6，则它的面积是 ______．15.如图，若菱形ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为（3，0），（ -2， 0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 ______．三、解答题16.如图，△ABC≌△ABD ，点 E 在边 AB 上，CE ∥BD ，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形 BCED 是菱形．17.如图， AE∥BF， AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF ，且交 AE 于点 D ，连接 CD ．（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若∠ADB =30°， BD =6，求 AD 的长．18.如图，在四边形 ABCD 中， BD 为一条对角线， AD ∥BC， AD=2 BC，∠ABD=90 °， E为 AD 的中点，连接 BE．（1）求证：四边形 BCDE 为菱形；（2）连接 AC，若 AC 平分∠BAD， BC=1，求 AC 的长．19.如图，在平行四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作 CQ∥DB，且 CQ=DP ，连接 AP 、BQ、 PQ．（1）求证：△APD ≌△BQC；（2）若∠ABP +∠BQC=180°，求证：四边形 ABQP 为菱形．20.如图，在△ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，过点 E 作（ 1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；（ 2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA= AC=×6=3cm，OB= BD=×8=4cm，根据勾股定理得， AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选：D．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD ，OA= AC ，OB=BD ，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．2.【答案】C【解析】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．3.【答案】A【解析】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO=OC，BO=OD ，AC ⊥BD ，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形 ABCD=，∴，∴DH=，故选：A．根据菱形性质求出 AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出 AB ，再根据菱形的面积公式求出即可．本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 S 菱形ABCD =是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．5.【答案】D【解析】解：∵四边形 ABCD 菱形，∴AC ⊥BD ，BD=2BO ，∵∠ABC=60°，∴△ABC 是正三角形，∴∠BAO=60°，BO=sin60 ° ?AB=2×=∴，∴BD=2．故选：D．首先根据菱形的性质知 AC 垂直平分 BD ，再证出△ABC 是正三角形，由三角函数求出 BO，即可求出 BD 的长．本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．6.【答案】B【解析】解：∵AO=CO，BO=DO ，∴四边形 ABCD 是平行四边形，当AB=AD 或 AC ⊥BD 时，均可判定四边形 ABCD 是菱形；当∠ABO= ∠CBO 时，由AD ∥BC 知∠CBO=∠ADO ，∴∠ABO=∠ADO ，∴AB=AD ，∴四边形 ABCD 是菱形；当AC=BD 时，可判定四边形 ABCD 是矩形；故选：B．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．7.【答案】A【解析】解：∵E，F 分别是AD ，CD 边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，又∵BD=2 ，∴菱形 ABCD的面积 S=×AC×BD=×2×2=2，故选：A．根据中位线定理可得对角线 AC 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．8.【答案】D【解析】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选 D．由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．9.【答案】B【解析】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值为 M′N的长．∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，∴M′是 AD 的中点，又∵N 是 BC 边上的中点，∴AM′∥BN ，AM′ =BN，∴四边形 ABNM′是平行四边形，∴M′ N=AB=1，∴MP+NP=M′ N=1，即MP+NP 的最小值为 1，故选：B．先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值．然后证明四边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP+NP=M′N=AB=1．本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10.【答案】A【解析】解：连接 BD ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD=AB ，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，∵∠A=60 °，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，同理：∠DBF=60°，即∠A= ∠DBF ，∴△ABD 是等边三角形，∴AD=BD ，∵∠ADE+ ∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF= ∠EDF=60°，∴∠ADE= ∠BDF ，∵在△ADE 和△BDF 中，，∴△ADE ≌△BDF（ASA ），∴DE=DF，AE=BF ，故① 正确；∵∠EDF=60°，∴△EDF 是等边三角形，∴②正确；∴∠DEF=60°，∴∠AED+ ∠BEF=120 °，∵∠AED+ ∠ADE=180°-∠A=120 °，∴∠ADE= ∠BEF；故④ 正确．∵△ADE ≌△BDF，∴AE=BF ，同理：BE=CF，但BE 不一定等于BF．故③错误．综上所述，结论正确的是①②④．故选：A．首先连接 BD ，易证得△ADE ≌△BDF ，然后可证得 DE=DF ，AE=BF ，即可得△DEF 是等边三角形，然后可证得∠ADE= ∠BEF．此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．11.【答案】AB=BC或AC⊥BD【解析】解：当AB=BC 或 AC ⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形．故答案为 AB=BC 或 AC ⊥BD ．根据菱形的判定方法即可判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法．12.【答案】①②③④【解析】解：因为 l 是四边形 ABCD 的对称轴，AB ∥CD，则AD=AB ，∠1=∠2，∠1=∠4，则∠2=∠4，∴AD=DC ，同理可得：AB=AD=BC=DC ，所以四边形 ABCD 是菱形．根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以① AC ⊥BD ，正确；② AD ∥BC，正确；③四边形 ABCD 是菱形，正确；④在△ABD 和△CDB 中∵∴△ABD ≌△CDB（SSS），正确．故答案为：①②③④．根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．13.【答案】3【解析】解：∵ABCD 是菱形，∴BO=DO=4 ，AO=CO，S 菱形ABCD ==24，∴AC=6，∵AH ⊥BC，AO=CO=3 ，∴OH= AC=3．根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14.【答案】15【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别是 5 和 6，∴这个菱形的面积为 5×6÷2=15．故答案为 15．因为菱形的面积为两条对角线积的一半，所以这个菱形的面积为 15．此题考查了菱形面积的求解方法：① 底乘以高，② 对角线积的一半．15.【答案】（-5，4）【解析】解：∵菱形 ABCD 的顶点 A ，B 的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D 在 y 轴上，∴AB=5 ，∴AD=5 ，∴由勾股定理知：OD===4，∴点 C 的坐标是：（-5，4）．故答案为：（-5，4）．利用菱形的性质以及勾股定理得出DO 的长，进而求出 C 点坐标．此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO 的长是解题关键．16.【答案】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD ，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE ，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD ，∴BC=BD ，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形 CEDB 是平行四边形，∵BC=BD ，∴四边形 CEDB 是菱形．【解析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD ，∠CBE=∠ABD 即可．（2）先证明四边形 CEDB 是平行四边形，再根据 BC=BD 即可判定．本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．17.【答案】证明:（1）∵AE∥BF，∴∠ADB =∠CBD ，又∵BD 平分∠ABF ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ABD =∠ADB ，∴AB=AD ，同理： AB=BC，∴AD =BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形，又∵AB =AD ，∴四边形 ABCD 是菱形；解: （ 2）∵四边形 ABCD 是菱形， BD=6 ，∴AC⊥BD ，，∵∠ADB =30 °，∴，.∴【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD= ∠ADB ，证出 AB=AD ，同理：AB=BC ，得出AD=BC ，证出四边形 ABCD 是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出 AC ⊥BD ，，再由三角函数即可得出AD 的长．18.【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE =BC，∵AD ∥BC，∴四边形 BCDE 是平行四边形，∵∠ABD =90 °，AE=DE ，∴BE=DE ，∴四边形 BCDE 是菱形．（2）解：连接AC．∵AD ∥BC， AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC =∠BCA，∴AB=BC=1 ，∵AD =2BC=2，∴sin∠ADB = ，∴∠ADB =30 °，∴∠DAC=30 °，∠ADC=60 °，在Rt△ACD 中，∵AD =2，∴CD=1， AC= ．【解析】（1）由DE=BC，DE∥BC ，推出四边形 BCDE 是平行四边形，再证明 BE=DE 即可解决问题；（2）在Rt△ACD 中只要证明∠ADC=60°，AD=2 即可解决问题；本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD =BC，AD∥BC，∴∠ADB =∠DBC ，∵CQ∥DB ，∴∠BCQ=∠DBC ，∵DP =CQ，∴△ADP ≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB ，且 CQ=DP，∴四边形 CQPD 是平行四边形，∴CD=PQ， CD∥PQ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形 ABQP 是平行四边形，∵△ADP ≌△BCQ，∴∠APD =∠BQC，∵∠∠APD+∠APB=180 °，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形 ABQP 是菱形．【解析】（1）只要证明 AD=BC ，∠ADP=∠BCQ，DP=CQ 即可解决问题；（2）首先证明四边形 ABQP 是平行四边形，再证明 AB=AP 即可问题；本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC，又∵EF ∥AB，∴四边形 DBFE 是平行四边形；（2）解：当 AB=BC 时，四边形 DBFE 是菱形．理由如下：∵D 是 AB 的中点，∴BD = AB，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE = BC，∵AB=BC，∴BD =DE ，又∵四边形 DBFE 是平行四边形，∴四边形 DBFE 是菱形．【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．。