稳定流的动量方程和动量矩方程的推导及应用
动量方程和动量矩方程要点
3．位能增量 dE位
dE位 dm2 gH2 dm1 gH1
dm( H 2 H1 ) g
（三）能量方程 根据能量守恒与转换定律，加给体系的能量应
等于体系能量的增量。故
dQ dW dm( p1v1 p2 v2 ) dW损
dW 2 (C 2 C12 ) dm (u 2 u1 ) dm ( H 2 H 1 ) g 2
(二)体系能量的增量 气体所含能量有三种形式：动能、内能和位能。故 体系能量的增量应为这三种能量增量之和。 1．动能增量dE动
2 dm2 C2 dm1C12 dE动 2 2 dm 2 (C 2 C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 dm2u2 dm1u1
dm(u 2 u1 )
C C q外 (i 2 i1 ) 2
2 2 2 1
上式即为1千克流动气体的能量方程。由于此方程包 含了焓，故又称为焓方程。由焓方程知：外界加给气 体的热量和机械功，用于增大气体的动能和焓。 所以1千克气体的能量方程式可综合成
2 2 C2 C1 q外 dw (i2 i1 ) 2
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
A dA , p dp )( A dA) ( p dp )dA 2
展开上式右边并略去二阶小量可得
Ps Adp
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
流体力学第三章(7)动量方程及其应用及动量矩方程
对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV
A
v(v
dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量
F
d( mv)
dt
lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t
t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }
t
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F
d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程利用前面介绍的连续性方程和能量方程，已经能够解决许多实际水力学问题，但对于某些较复杂的水流运动问题，尤其是涉及到计算水流与固体边界间的相互作用力问题，如水流作用于闸门的动水总压力，以及水流经过弯管时，对管壁产生的作用力等计算问题，用连续性方程和能量方程则无法求解，而必须建立动量方程来解决这些问题。
动量方程实际上就是物理学中的动量定理在水力学中的具体体现，它反映了水流运动时动量变化与作用力间的相互关系，其特点是可避开计算急变流范围内水头损失这一复杂的问题，使急变流中的水流与边界面之间的相互作用力问题较方便地得以解决。
一、动量方程式的推导及适用条件（一）动量方程式的推导由物理学可知，物体的质量m 与速度υ的乘积称为物体的动量。
动量是矢量，其方向与流速方向相同。
物体在外力作用下，速度会发生改变，同时动量也随之变化。
动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受外力的合力。
现将动量定理用于恒定流中，推导恒定流的动量方程。
图3-29在不可压缩的恒定流中，任取一渐变流微小流束段1—2（图3-29）。
设1—1断面和2—2断面的过水断面面积和流速分别为21、dA dA 和1u 、2u ，经过dt 时段后，微小流束由原来的1—2位置运动到了新的位置21'-'处，从而发生了变化。
设其动量的变化为dk ，它应等于流段21'-'与流段1—2内的动量之差。
因为水流为不可压缩的恒定流，所以对于公共部分21-'段来讲，虽存在着质点的流动的替换现象，但它的形状、位置以衣液体的质量、流速等均不随时间发生变化，故动量也不随时间发生改变。
这样，在dt 时段内，21'-'段的水流动量与1—2段的动量之差实际上即为22'-段的动量与11'-段的动量之差。
在dt 时段内，通过11'-段的水体质量为11dtdA u ρ，通过22'-段的水体质量为22dtdA u ρ，对于不可压缩液体，根据连续性方程，可知dQdt dtdA u dtdA u ρρρ==2211，则微小流束段的动量变化为)(12u u dQdt k d -=ρ设总流两个过水断面的面积分别为21A A 与，将上述微小流束的动量变化k d 沿相应的总流过水断面进行积分，即可得到总流在dt 时段内动量的变化量为)()()(121112221212a dA u u dA u u dt u dQdt u dQdt u u dQdt k d A A QQ Q ⎰⎰⎰∑⎰⎰-=-=-=ρρρρ 由于实际液体过水断面上的流速分布均匀，且不易求得，故考虑用断面平均流速υ来代替断面上不均匀分布的流速u ，以便计算总流的动量。
恒定总流的动量方程详解课件
动量方程的推导
根据牛顿第二定律和质量守恒定律，可以推导出动量方程。 将牛顿第二定律的表达式F=dp/dt和质量守恒定律的表达 式ρvdρ/dt=0代入动量方程中，得到：ρv(dv/dt)=F，其 中v为流体的速度，t为时间。
流体在弯管处的流动
总结词
当流体流经弯管时，动量方程可以帮助我们理解流体的速度和压力变化，以及弯管对流 体流动的影响。
详细描述
弯管是流体输送和分配系统中常见的元件，它可以改变流体的流动方向。动量方程可以 帮助我们预测流体在弯管处的速度和压力分布，以及弯管对流体流动的影响。此外，通 过分析动量方程，我们可以优化弯管的几何形状和操作条件，以实现更好的流体控制效
描述物质运动变化过程的物理量，单 位为秒（s）。在动量方程中，时间表 示流体微团运动状态随时间的变化。
力
改变物体运动状态的作用量，单位为 牛顿（N）。在流体动力学中，力主 要指流体受到的外部作用力，如重力、 压力等。
动量方程在流体动力学中的应用
流体动力学基本方程 动量方程是流体动力学的基本方程之一，用于描述流体运 动规律。通过求解动量方程，可以了解流体在不同外力作 用下的运动状态和变化趋势。
在恒定总流中，由于流体的速度和密度不随时间变化，因此惯性力为零。因此， 流体微元的运动方程可以简化为：F=dp/dt，其中F为外力，p为流体微元的动量， t为时间。
质量守恒定律的应用
质量守恒定律是流体动力学的基本定律之一，它指出在封闭 系统中，质量不随时间变化。在恒定总流中，流体的质量不 随时间变化，因此可以忽略质量的变化。
恒定总流动量方程
恒定总流动量⽅程恒定总流动量⽅程1．流体为恒定流，且流体是不可压缩的。
2．流体运动符合连续原理；3．所取的两个断⾯为渐变流流动，但在两个断⾯之间可以不是渐变流。
4．两个断⾯之间的流体没有外界能量的加⼊或内部能量的取出。
5．能量⽅程在推导过程中流量是沿程不变的，前后两个断⾯是指同⼀股液流。
§2-4-2 应⽤伯努利⽅程应注意的问题1. 分析流动，选取好过⽔断⾯；2. 选择好计算点和基准⾯；3. 压强⼀般以相对压强表⽰，单位要⼀致；4. 全⾯分析和考虑所取两过流断⾯之间的能量损失。
§2-4-3 伯努利⽅程的应⽤1．毕托管测流速图3-28①驻压强：流动流体中加⼀障碍物后，驻点处增⾼的压强，即动能转化⽽来的压强②动压强：流动流体中不受流速影响的某点的压强③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
③总压强：运动流体动压强与驻压强之和，即驻点处的压强。
④单孔测速管制作原理：当⽔流受到迎⾯物体的阻碍，被迫向四周分流时，在物体表明上受⽔流顶冲的A点流速等于零，称为⽔流滞⽌点（驻点）。
驻点处的动能全部转化为压能，单孔测速管和毕托管就是根据这⼀原理制成的⼀种测速仪。
如图，1管测的是动压强，2管测的是总压强，则驻压强测得理论流速：实际流速：（ µ：修正系数，Ｈ：为两管⽔头差。
）2. ⽂丘⾥流量计（Venturi Meter）如图，主管路直径为,喉管直径；在定流条件下，测压管⽔头差为，推导管路中实际⽔流量的计算式。
对过⽔断⾯1-1、2-2列能量⽅程运⽤连续⽅程有：得主管流速理想情况下的流量实际流量式中——流量系数，主要与管材、尺⼨、加⼯精度、安装质量、流体的粘性及其运动速度等有关，——结构常数. ⼀般⽔⼒计算问题【例3-3】⼀虹吸管，已知a=1.8m,b=3.6m,，由⽔池引⽔⾄Ｃ端流⼊⼤⽓，若不计损失，设⼤⽓压为10m⽔柱，求：（１）管中流速，及Ｂ点之绝对压强。
（２）若Ｂ点绝对压强下降到0.24m⽔柱以下，将发⽣汽化，设Ｃ端保持不动，问欲不发⽣汽化，a不能超过多少？解：引⽔时，⽔池中⽔⾯可认为⼀过流截⾯，流体经吸⽔⼝进⼊虹吸管（１）以Ｃ端为基准⾯，对Ａ、Ｃ截⾯写伯诺⾥⽅程，Ａ截⾯流速很⼩，可忽略，则有：(a)V=8.4m/s对ＡＢ截⾯应⽤伯诺⾥⽅程，以Ａ为基准⾯：（b）（⽔柱）（２）为不发⽣汽化，必须（⽔柱），将此关系代⼊（b）得：（⽔柱）例4 如图所⽰⽔泵管路系统,已知：流量Q=101m3/h,管径d=150mm，管路的总⽔头损失hw1-2=25.4m,⽔泵效率η=75.5%，试求：（1）⽔泵的扬程Hp（2）⽔泵的功率Np解：(1) 计算⽔泵的扬程Hp以吸⽔池⽔⾯为基准写1-1,2-2断⾯的能量⽅程即∴(2)计算⽔泵的功率Np此题主要说明在⽔流中有能量输⼊或输出时能量⽅程的应⽤。
第3章2 流体动力学基础-稳定流动量方程及应用
4Q 1、V1 = = 1.132m / s 2 π d1 p1 V12 p2 V2 2 + = + γ 2g γ 2g
4Q V2 = = 4.527m / s 2 π d2
2、取两个断面列伯努利方程：
p2 = p1 +
ρ
2
(V12 − V2 2 ) = 1.964 × 105 Pa
3、选取控制体列动量方程： x方向：p1 A1 − Fx = ρ Q (0 − V1 ) y方向：Fy − p2 A2 = ρ Q (V2 − 0)
流体动力学基础
稳定流的动量方程及其应用
3.5 稳定流的动量方程及其应用
前面我们讨论了流体动力学的两个重要 方程——连续性方程和伯努利方程 连续性方程和伯努利方程。应用这 连续性方程和伯努利方程 两个方程可以解决许多实际问题。但是，在 工程中还要计算流体与固体相互作用的力。 动量方程提供了流体与固体相互作用的动力 动量方程 学规律。
x
O
y
【解】：设平板对流体的作用力为R’，取坐标系XOY，以A0、 A1、A2断面间水体为控制体。 (1)求流体对平板的作用力 列x方向动量方程：
R ' = ρ Q (0 − ( −V0 sin θ )) R ' = ρ A0V0 2 sin θ
因为平板光滑，作用力垂直平板，所以流体对平板面作用力 的大小为 ρ A0V0 2 sin θ ，方向与R’相反。
F = ρ AV = 2 ρ Agh = 2 Aγ h
2
3、自由射流对挡板的压力
y
根据动量方程，x轴向为： − Rx = ρ Q1u1 cos α1 + ρ Q2u2 cos α 2 − ρ Q0u0 y轴 向 为 ：
流体力学的动量矩原理
流体力学的动量矩原理流体力学的动量矩原理是流体力学中最基本的原理之一。
它描述了流体的动量变化与力的关系，是研究流体运动的重要工具。
动量矩原理的基本思想是通过将流体分割为无限小的体积元，研究每个体积元的动量变化，然后统一求和得到整个流体的动量变化。
下面我将从基本概念、动量守恒定律、动量矩守恒定律以及应用四个方面详细介绍动量矩原理。
首先，我们来介绍一些流体力学中的基本概念。
流体是指那些没有一定形状，可以流动的物质。
在流体中，存在一种力称为剪切力，它是由于分子之间的相互作用而产生的。
同时，流体受到的外部力可以分为体力和面力。
体力是作用在流体体积上的力，如重力等。
而面力则是作用在流体表面上的力，如压力、粘性力等。
其次，动量守恒定律是流体力学的基本定律之一。
根据动量守恒定律，一个系统的总动量在没有外力作用时保持不变。
这意味着在一个封闭系统中，流体的总动量保持恒定。
动量守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho u u)=-\nabla p +\nabla \cdot \tau + \rho g其中，\rho表示流体的密度，u表示流体的速度，t表示时间，p表示压力，\tau 表示粘性应力，g表示重力加速度。
这个方程描述了流体的动量变化与各种力的作用之间的关系。
然后，我们来介绍动量矩守恒定律。
动量矩守恒定律是动量守恒定律在旋转参考系中的扩展。
它描述了流体运动过程中动量矩的变化与外部力矩的关系。
动量矩守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u_i x_j)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u_i x_ju_k)}{\partial x_k}=-\left(\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_k}\right) x_j+\rho g_i x_j其中，x_i表示坐标轴，x_j表示动量矩，u_i表示流体的速度分量，t表示时间，p表示压力，\tau_{ij}表示粘性应力张量，g_i表示重力加速度分量。
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稳定流的动量方程和动量矩方程的推导及应用
1 稳定流动量方程
讨论运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如：流体在弯曲管道内流动，弯管的受力情况；水力采矿时，高压水枪射流对水枪、对矿床的作用力；火箭飞行过程中，从火箭尾部喷射出的高温高压气体对火箭的反推力等等。
这类问题，需应用运动流体的动量方程来分析。
从物理学知，运动物体的动量为：
图1流束动量变化
根据质点系动量定理：
用符号表示动量，即，则
——流体作定常流动时的动量方程。
图示一弯管，其中的流体作定常流动，在总流中任意取一微小流束1－2，并取过水断面1－1、2－2间的流束段进行研究。
即
对不可压缩流体，则微小流束的动量方程为：
将上式推广到总流中去，则得：
由定常流动总流的连续性方程，有：
因为u在A上分布难以确定，所以用v代换u，有：
式中、——动量修正系数，其实验值为1.02~1.05，工程计算上取＝＝1。
整理可得：
——理想流体定常流动总流的动量方程。
其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。
作用在流体上的外力：流束段1－2的重力，两过水断面1－1、2-2上的压力、
，
边界面上所受表面压力的总值。
上式也可写为：
其分量式为：
图2 流体作用于弯管上的力
确定流体与固体边界之间的作用力，上述方程是一个重要方程。
2 动量方程的应用
（1）流体作用于弯管上的力
图示一弯管，沿x轴、y轴的动量方程为：
所以
则
的方向为：
流体对弯管的作用力，与是一对作用力和反作用力，大小与相等,方向与相反。
（2）射流作用在固定平面上的冲击力
水射流清洗：船体、铸造清砂、矿车清扫
流体从管嘴喷射出而形成射流。
如射流在同一大气压强之下，并忽略自身重力，则作用在流体上的力，只有固定平面对射流的阻力，它与射流对固定平面的冲击力构成一对作用力和反作用力。
图示固定平板与水平面成θ角，流体从喷嘴射出，射流的动量为：
x轴方向的动量方程为：
即
射流对平板的冲击力：=-
当θ＝900时
如果平板不固定，沿射流方向以速度运动，则射流对移动平板的冲出力为：
（3）射流的反推力烟花升空
我们知道，火箭飞行的根本动力是火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量高温高压的气体，从尾部喷出形成射流，射流对火箭有一反推力，使火箭向前运动。
下面我们具体讨论反推力的计算。
图示装有液体的容器测壁开一小孔，流体便从小孔流出形成射流，则射流速度为：
图3 射流对固定平面的冲击力图4 射流反推力在x轴方向上
流体动量对时间的变化率为：
则射流给容器的反推力（其大小与相等，方向与相反）为：
如果容器与底面间无摩擦，可沿x轴自由运动，那么容器在反推力的作用下，将沿与射流相反的方向运动，这就是射流的反推力。
火箭、喷气式飞机、喷水船等都是借助这种反推力而工作的。
3动量矩方程
要确定运动流体对固体边界面或某点的力矩时用动量矩方程。
例如离心式水泵、风机、汽涡轮机及水轮机等流体机械，其叶轮流道中的流体，由于随叶轮转动，所以流体对转轴的力矩必须用动量矩方程解决。
为了说明问题的方便，先简单介绍控制体及流体系统等概念。
从物理知，作用在物体上的力对某一点或某一转轴的力矩为：
其中为转动中心到作用力F的距离。
当质量为m的物体以速度运动时具有动量为，该物体对某点或某一转动轴的动量矩（也称角动量）为：
其中为转动中心到物体的距离。
并且力矩等于该物体对同一转动中心或转轴的动量矩对
时间的变化率，即——动量矩定理。
动量矩定理在运动流体中的推广应用：
图5 叶轮进出口速度图
由上节的动量方程：
得
即
——定常流动微小流束的动量矩方程。
总流的动量矩方程：
这就是说，外界作用在流体系统上的力对某一点的力矩矢量和，等于单位时间内从控制面流出的动量矩与流入的动量矩之差。
4动量矩方程的应用
动量矩方程的一个最重要的应用：导出叶片式流体机械（泵、通风机、水轮机、及涡轮机等）的基本方程。
现以离心式水泵或风机为例进行推导。
图示流体从叶轮的内边缘流入，经叶片流道从外缘流出。
流体质点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和，
则
离心式水泵或风机的进出口处速度、、三者之间的关系如图a所示。
利用动量矩方程式得
设叶轮转动的角速度为，，单位时间内叶轮对流体做的功（输入功率）为：
则单位重量流体获得的能量为：
如用、表示进出口处流体质点的切向速度：，，则
这就是离心水泵与风机等涡轮机械的基本方程，它首先是欧拉在1754年得到的，因此也称欧拉方程。
如果流体从叶轮外缘流入内缘流出，则其基本方程为：
或。