第四章 流体动力学基本方程
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流体动力学基本方程
4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
流体动力学基本方程
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
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N-S方程
理想流体的运动微分方程(欧拉运动微分方程) 适用于可压缩和不可压缩理想流体的运动
写成矢量形式为：
r r 1 r r f p ( ) t
当流体处于静止状态时
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
对于不可压缩流体，
0
pm p（p 为热力学压强）
对于温度不太高的双原子气体（如空气）和压强不太高的单原子气体， 上述结果是正确的。
法向应力与线变形速度之间的关系
x 2 x y z pxx pm 2 ( ) x 3 x y z y 2 x y z p yy pm 2 ( ) y 3 x y z z 2 x y z pzz pm 2 ( ) z 3 x y z
三、法向应力与线变形速度之间的关系
pxx p 2 p yy p 2 x x y
y pzz p 2 z z
三个互相垂直的法向应力的算术平均值为:
1 2 x y z pm ( pxx pzz p yy ) p ( ) 3 3 x y z
左右面上 的法向力 前后面上 的切向力 上下面上 的切向力
+
+
+
质量力
整理后，方程两边同除以流体质量
1 pxx 1 yx zx d x fx x y z dt 1 p yy 1 zy xy d y fy y z x dt 1 pzz 1 xz yx d z fz z x y dt
i j k x y z
斯托克斯
斯托克斯(George GabrielStokes),英国数学家、 物理学家。1819年8月13日生于爱尔兰的一个小镇， 1903年2月1日6卒于英国剑桥。
斯托克斯的主要贡献是对粘性流体运动规律的研究。纳维从分子假设 出发，将欧拉关于流体运动方程推广，1821年获得带有一个反映粘性的 常数的运动方程。 1845年斯托克斯从改用连续系统的力学模型和牛顿关 于粘性流体的物理规律出发，在《论运动中流体的内摩擦理论和弹性体 平衡和运动的理论》中给出粘性流体运动的基本方程组，其中含有两个 常数，这组方程后称纳维-斯托克斯方程，它是流体力学中最基本的方程 组。1851年，斯托克斯在《流体内摩擦对摆运动的影响》的研究报告中 提出球体在粘性流体中作较慢运动时受到的阻力的计算公式，指明阻力 与流速和粘滞系数成比例，这是关于阻力的斯托斯公式。斯托克斯发现 流体表面波的非线性特征，其波速依赖于波幅，并首次用摄动方法处理 了非线性波问题（1847）。斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和 面积分之间的一个转换公式（斯托克斯公式）而闻名。
dy
过A点的三个平面上的 应力方向与坐标方向相 反，其它三个平面应力 方向与坐标方向相同
yx
应力本身 方向
应力所在平 面法线方向
dz
yz
yz y
dy
yx yx dy y
xz
pxx dy
zy
zy z
zx
dz fz
pzz
xy
xy x
dx
为四阶小量可忽略
同理
xy yx yz zy zx xz
只存在三个独立的切向应力
牛顿内摩擦定律
牛顿内摩擦定律推广到三维流动
假定流体为各向同性(应力与变形率 的关系和坐标系选取无关)
d x d dy dt
式（3-22）
广义牛顿内摩擦定律:
xy yz zx
输运方程
r dN dV Ò dA dt t cv cs r
连续性方程
x y z 0 t x y z x y z 0 不可压缩流体 x y z d 0 dt 0 t 0
yx dy y
y
xy
o
z A
dy
M
xy xy dx x
dx
yx
注意:
x
1.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0. 2.在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心 轴线相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴 线平行，因此其力矩为0. 3.质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为0. 4.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶小量 ，可忽略.
r (i j， = 0 )
§4－3 理想流体的运动微分方程
1 p d x fx 2 2 2 x x x d x 1 p x d t fx v 2 2 2 x x y z dt 1 p d y f = 2 y 2 y 2 y d y 1 p 对于理想流体 y y dt fy v 2 2 2 dt （无粘性） y x y z 1 p d z fz 2 z 2 z 2 z d z 1 p z dt fz v 2 2 2 z x y z dt
应用牛顿第二定律
r r F ma d 或 dt
以应力形式 表示的实际流 体的运动微分 方程
Vs
r dV F r
x 方向分量方程
1 pxx 1 yx zx fx x y z pxx p 2 x x y x xy yx x y zx xz x z x z p 2 x 1 x fx x y x x z ( ) 1 x y x z y z d x dt d x dt
xz
pxx dy y
zy
zy z
zx
dz
xy x
dx
pxx
xz
xz dx x
xy
pzz
A
pzz dz z
zx zx dz z yx yz
fz
dx pyy
fx
zy
pxx dx x
o z
x
x轴方向
yx dx pxx zx x dx dydz z dz dxdy y dy dxdz f x dxdydz dt dxdydz
M
fx fy
zy
xz
xz dx x
pxx
y
0
xy
A A
pzz
yx
x dx
pzz z
zx zx dz dz z
pxx dx x
yz
pyy
z
拓展： 应用动量定理
n
在流场中取如图所示的流体系 统,其体积为Vs，边界面为As， 作用在该系统内单位质量流体 上的质量力为 f ，作用在单位 界面面积上的表面力为 n
1
纳维尔—斯托克斯方程（简称N-S方程） 写成矢量形式为
[ ( ) ] f p 2 t
d f p v t dt 1
2
2 2 2, x y z
2 2 2 2
对通过质心M且与轴平行的轴的力矩之和为零(dz=1)
xy dx dx dy ( xy dy) [( xy dx)dy] ( yx dx) 2 x 2 2 yx dy [( yx dy)dx] 0 y 2
转动惯量=
1 dxdy(dx 2 dy 2 ) 12
y x yx 2 xy 2 yx y x z y zy 2 yz 2 zy z y x z xz 2 zx 2 xz x z
问题
• • • • 广义牛顿内摩擦定律能否归纳出一个简洁的表达式？ 在何条件下 pxx pyy pzz p N-S方程的适用条件？ 讨论题： 两平行平板间不可压缩定常层流运动的解 速度分布？ 切应力分布？
i j ij ( ) x j xi
i (i j) pij p 2 x j
欧拉平衡微分方程
第二章 式（2-7）
对于不可压缩均质流体，是常数， 欧拉运动微分方程 连续性方程 初始和边界条件
x，y，z， p
对于可压缩流体，是变量，
欧拉运动微分方程 连续性方程
状态方程
初始和边界条件
x，y，z， p，
圆柱坐标系(r,,z)下的欧拉运动微分方程
r r r 1 p r fr r z r t r r r z r 1 p f r z r t r r r z z z z 1 p z fz r z z t r r z
x x ( y), y z 0
如沿x方向的均匀流动， 压强计测压
pxx p yy pzz pm p
§4-2 实际流体中的运动微分方程
pyy pyy y dy
dz
yz
yz y
dy
yx
fy
yx y pzz
dy
xy
dA
n
VS
AS
流体系统
d dVs f dVs n dAs Vs As dt Vs
二、切向应力与变形速度之间的关系