质系动量矩定理(II)
第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
动量矩定理的三个公式
动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。
这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。
咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。
这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。
比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。
这个小球的速度很快，质量也不小。
那它的动量就比较大。
如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。
再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。
这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。
就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。
这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。
最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。
这三个公式在实际应用中可是大显身手。
记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。
实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。
同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。
他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。
当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。
我就用动量矩定理的公式给他解释。
我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。
合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。
这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。
第七讲动量矩定理
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
Friday, May 24, 2019
B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
Friday, May 24, 2019
y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
质点和质点系的动量矩和动量矩定理
质点和质点系的动量矩和动量矩定理今天我们进入第十一章的学习这篇文章先学习《11-1 质点和质点系的动量矩》《11-2 动量矩定理》一、质点和质点系的动量矩1、质点的动量矩M O(mv)=r×mv 质点的动量对点O的矩[M O(mv)]z=M z(mv) 质点对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
2、质点系的动量矩L O=∑M O(m i v i) 质点系的动量对点O的矩L z=∑M z(m i v i) 质点系的动量对z轴的矩[L O]z=L z 质点系对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩刚体平移时：可将质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。
定轴转动刚体：L z=∑M z(m i v i)=∑m i v i r i=∑m i(ωr i)r i=ω∑m i r i2令：J z=∑m i r i2——刚体对z轴的转动惯量，则：L z=J zω二、动量矩定理1、质点的动量矩定理设O为定点,有称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.投影式:2、质点系的动量矩定理——质点系动量矩定理，即：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
投影式:内力不能改变质点系的动量矩.例高炉运送矿石用的卷扬机如图，已知鼓轮半径为R，质量为m1，鼓轮对转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩为M。
小车和矿石总质量为m2，轨道倾角为θ。
设绳的质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
守恒定律质点动量矩守恒定律若M O(F)≡0 ，则M O(mv)=恒量；若M z(F)≡0，则M z(mv)=恒量例小球A、B 以细绳相联，质量均为m ，其余构件质量不计。
忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为ω0，当细绳拉断后，各杆与铅垂线成θ角，求这时的角速度ω。
解：1、取整体研究，受力分析知，系统受重力和约束力作用，外力对转轴的矩都等于0，因此系统对转轴的动量矩守恒2、列方程L z1=L z2L z1=2maω0a=2ma2ω0，L z2=2m(a+l sinθ)2ω今天的知识点你都掌握了吗？。
动量矩定理公式
动量矩定理公式动量矩定理公式是经典力学中最为重要的定理之一，也是描述质点、力和角动量之间关系的基本公式。
它在物理学和工程学中的应用非常广泛，例如在机械设计中，我们需要利用动量矩定理公式来计算旋转惯量、角加速度等参数，以便进行机器的性能设计和优化。
在本文中，我们将深入探讨动量矩定理公式的含义、意义和应用。
一、动量矩定理的定义动量矩定理公式是描述质点或物体角动量的变化率与施加于物体的力矩之间的关系。
在经典力学中，动量矩定理的形式可以表示为：L = Iω其中，L 表示物体的角动量，I 表示物体的旋转惯量，ω 表示物体的角速度。
动量矩定理的本质是质点或物体的动量守恒定律和角动量守恒定律的延伸和综合。
动量守恒定律和角动量守恒定律分别是描述质点和物体在运动过程中动量和角动量不变的规律。
而动量矩定理则是将它们集成在一起，明确了物体动量和角动量与施加于它的力和力矩之间的关系。
在动量矩定理中，旋转惯量起到了很重要的作用。
旋转惯量是物体绕不同轴旋转时所具有的转动惯性，是物体旋转惯性的度量。
不同形状和密度的物体，其旋转惯量也会有所不同。
例如，某个物体绕它的质心旋转时，它的旋转惯量是最小的。
因为在质心系下，物体的动量为零，只有转动部分的动量和角动量。
二、动量矩定理的应用动量矩定理的具体应用非常广泛。
下面将分别就质点的动量矩定理、刚体的动量矩定理以及动量与角动量的守恒作一些说明。
1. 质点的动量矩定理对于一个质量为 m 的质点，在施加力 F 时，它的动量矩定理为：Ft = Δ(mv)其中，Ft 为施加于物体上的力矩，v 表示质点的速度，Δ(mv) 表示质点动量的变化。
2. 刚体的动量矩定理对于一个刚体在施加力矩 M 时，它的动量矩定理可以表示为：M = Iα其中，M 为施加于刚体上的力矩，I 表示刚体的转动惯量，α 表示刚体的角加速度。
在实际应用中，我们经常需要利用动量矩定理来计算旋转惯量、角加速度等参数。
例如，当我们想设计一个能够快速旋转的机器时，就需要通过动量矩定理来确定机器的转动惯量和角加速度等参数，并根据这些参数来设计机器的各个部分。
工程力学 2动量矩定理
投影式:
r ( e) dLx = ∑ M x (Fi ) dt
dLy dt dt r ( e) = ∑ M y (Fi )
r ( e) dLz = ∑ M z (Fi ) dt
内力不能改变质点系的动量矩. 内力不能改变质点系的动量矩
若在运动过程中， 若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴 的矩恒为0 则该质点系对该轴的动量矩守恒。 的矩恒为0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 计算动量矩与力矩时，
d d d m x ( mv ) = m x ( F ), m y ( mv ) = m y ( F ), m z ( mv ) = m z ( F ) dt dt dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理 质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 质点对固定轴的动量矩定理 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 mO ( F ) = 0 ( m z ( F ) = 0) 则 mO ( mv ) = 常矢量 ( m z ( mv ) =常量) 称为质点的动量矩守恒 质点的动量矩守恒。 质点的动量矩守恒
= ∑ miω ri ri = ω ∑ mi ri引入转动惯量 Nhomakorabea2
J z = ∑ mi ri2
Lz = J zω
转动刚体对转轴的动量矩为其对 该轴的转动惯量与角速度的乘积
§11-2 11§1. 质点的动量矩定理
动量矩定理
dv 牛顿第二定律有： m = F dt d (m v ) = F 变形为： dt
2、质点系的动量矩定理
对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:
r r (i ) r r ( e) d r r MO (mi vi ) = MO ( Fi ) + MO ( Fi ) dt r r (i ) s r ( e) d r r ∑ MO (mi vi ) = ∑ MO (Fi ) + ∑ MO ( Fi ) dt r r (i ) 由于 ∑ MO (Fi ) = 0 r r dLO d r d r r ∑ MO (mi vi ) = ∑ MO (mi vi ) = dt dt dt x
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
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主矩，再加上质系动量与该点速度的叉积。
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC
×vA
n
∑ LA = ρi × mivi i =1
ρi = ri - rA
ρ&i = r&i - r&A = vi - vA
∑ ∑ dLA
dt
=
n i =1
ρ&i × mivi
+
n i =1
miai = ρi × miai
F (i) i
θ
∫ θ&dθ& = ∫ (3g 2l)sinθ dθ
θ&0
θ0
θ&2 = (3g l) (cosθ0 − cosθ )
Ny
Nx = mg (9 cosθ − 6 cosθ0 ) sinθ 4
N y = mg(6 cos2 θ − 6 cosθ0 sinθ − 3sin2 θ ) 4
讨论: 杆子什么时候离开墙面?
1
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
与应用实例
dLC dt
=
M
e C
后空翻转体180°跳水
屈体向前跳水
动量定理与动量矩定理: 外力系与动量系的因果关系
外力系 动量系
{ } F1e , F2e , L , Fne
{ } m1v 1 , m2v 2, L, mnv n
动量 定理
dp = F e dt
质心动量方程
Ny
m
d2 dt 2
(
l 2
sin θ
)
=
Nx
m
d2 dt 2
(
l 2
cosθ
)
=
Ny
−
mg
质心动量矩方程
( ) 1 12
ml
2
θ&&
=
−
N
x
(
l 2
cos
θ
)
+
N
y
(
l 2
sin
θ
)
整 θ&& = (3g 2l )sinθ
理 Nx = (ml 2)(−θ&2 sinθ +θ&&cosθ ) 得 N y = (ml 2)(−θ&2 cosθ −θ&&sinθ )
（ k 代表逆时针方向。）
取A点为随接触点（瞬心）移动的动点C*， 则
半圆盘的速度分布在每个顺时都以A的瞬时中心
，
因此关于它的动量矩： dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
vC
vC* C*
平面运动刚体对瞬心的动量矩定理:
d dt
[(IC
+
mrC2*C
)ω]
=
Me C*
(F
e
)
+
mvC
×
vC*
=
M (e) A
+ mvC × vA
取移动的瞬心C*作 A:
vC*
vC // vC*
LC* = JC*ω (顺时针方向)
ε
mg
dLC* dt
=
M (e) C*
( ) d
dt
JC ∗ ω
= M C ∗ (mg)
aC
(3mR2 2)ε = mgR
ε = 2g 3R aC = 2g 3
质心动量方程
maC = mg − FT
FT = mg / 3 结果同方法1。
m, r
r/2 aC = ?
2
例： 自重作用下沿光滑墙面下滑的刚性杆的平面运动
微分方程。
∑ m&x&C = Fx
∑ m&y&C = Fy
Nx
( ) ∑ JCε = MC F e
解：应用质心动量定理及质
mg
心动量矩定理
取广义坐标 θ
xC
=
l sinθ 2
yC
=
l cosθ 2
或Mce≠ 0，但 Mcex= 0 ,则有 Lcx= 常数。
思考题
图示机构。 t = 0，ϕ =ϕ 0,
ϕ&0 = 0 从静止 释放。
ϕ
盘作何种运动？
平放在光滑平面上圆盘的运动
F
C
aC ε =0
maC = F
dLC dt
=
M
e C
F
ε C
LC = JCω
JCε = FR
aC
JC = mR2 / 2
ε = 2F /(mR)
在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。
( ) θ&&(0) = −mghC sinθ0 IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ0
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒与应 用实例
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
自由下落猫的转体
4
自由下落猫的转体
+
F (e) i
n
n
∑ ∑ = (vi − vA ) × mivi + ρi × Fie
i =1
i =1
=
mvC
×
vA
+
M
e A
(F
e
)
内力系对任意一点的主矩为零。
ρi
rC
∑ p = mivi = mvC
相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量 矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩。
动点 A 取质心C,有 vC // vA
1.圆柱体的运动微分方程；
2.圆槽作用的约束力；
运动学分析与受力分析
单自由度系统，N=1, q=ϕ 。
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
5
解：1.圆柱体的运动微分方程
单自由度系统，N=1, q=ϕ ，
圆柱体的角速度 ω 、角加速度 ε
ε
运动学关系 vC = ( R − r )ϕ& = ωr
aCτ = ( R − r )ϕ&& aCn = ( R − r )ϕ& 2 ε = ϕ&& ( R − r ) r
（2）求出的运动量 =〉未知约束力； 利用质心的概念可以方便地计算动量、动量矩等动力学函数。 选用质心动量矩定理不容易出错！
作业题（1）7-10，（2）7-11(滑轮D无质量)
（3）7-13 (4)7-25.
例 题 刚体平面运动动力学分析
用于指压捻置于粗糙桌面上
的乒乓球，给其质心 C以初始
速度 m，r
>
3 v0 2r
,ω1 > 0,
Flx< 0，球自动返回(!)
vB
=
rω1
=
ω0r
−
3 2
v0
又滚又滑返回（！）。
一定阶段纯滚返回。
2. ω0
=
3 2
v0 r
,
vcx
=
0,
ω
1=
0
,
ω
aC
εε
球在 t1 自动停止运动。
3.
ω0
<
3 2
v0 r
, 请思考。
例 题质量m、半径 r 的匀质圆柱在半径R的 圆槽内作纯滚动。t = 0，ϕ =ϕ 0，ϕ&0 = 0 。试 求：
OC = hc
O C
mg
质心动量方程 m&x&C = F m&y&C = N − mg
A
NF
y x
质心动量矩方程
θ
ICθ&& = −F (R − hC cosθ ) − NhC sinθ
整理得系统的运动微分方程
( ) IC + mR2 + mhC2 − 2mRhC cosθ θ&&+ mRhCθ&2 sinθ = −mghC sinθ
maC = F e
∑ 主矢 F e = Fie ∑ p = mivi = mvC
动量矩 定理
dLO dt
=
M
e O
(对定点 )
dLC dt
=
M
e C
(对质心 )
∑ ( ) 主矩
M
e O
=
MO Fie
∑ LO = MO (m ivi )
∑ LC = MC (m ivi )
LO = LC + rOC × mvC
对动点的动 量矩定理
dLA dt
=
M (e) A
+ mvC × vA
dLC dt
=
M
e C
例:仍出的旋转斧子
maC = mg
dLC dt
=
M
e C
(mg
)
=
0
斧子对质心的动量矩守恒：
LC = JCωk = 常数 ω = 常数
LC = LrC
质点系相对质心（平动坐标）动量矩守恒
dLC dt
=
M
e C
若 Mce=0 ，则有 LC = 常矢量；
当刚体的动瞬心轨迹为圆时，rC*C为常数， 且 vC // vC*
这种情况下对瞬心的动量矩定理为：
(IC
+ mrC2*C )ε
=
M
e C*
(F
e
)
简单刚体的平面运动微分方程
问题1: 建立半圆盘在水平面上纯滚动的动力学方程。
问题2：计算 在角度 θ0 处静止释放瞬间， 圆盘的角加速度。 问题3：计算 在角度 θ0 处静止释放, 运动到任意角度的时候