工程力学(运动学与动力学)-17B-动量定理和动量矩定理B
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第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
THANKS
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适用范围
适用于质点和刚体的定轴 转动，是经典力学中的基 本定律之一。
数学表达
如果系统合外力矩为零， 则系统的动量矩保持不变， 即L=L'。
定律推导
推导过程
根据牛顿第二定律和角动量定理，通过数学推导 得到动量矩守恒定律。
关键点
推导过程中需要确保系统合外力矩为零，即没有 外力矩作用在系统上。
适用条件
适用于质点和刚体的定轴转动，当物体绕定点转 动时，可以用动量矩守恒定律。
定理推导
总结词
定轴转动的动量矩定理可以通过牛顿第二定律和角动量定理推导得出。
详细描述
首先，根据牛顿第二定律，质点系受到的合外力等于其动量的变化率。然后，利 用角动量定理，将动量和时间的关系转化为角动量和转动半径的关系，最终推导 出定轴转动的动量矩定理。
定理应用
总结词
定轴转动的动量矩定理在分析旋转机械、行星运动等领域有广泛应用。
定理的重要性
理论意义
动量矩定理和动量矩守恒定律是经典力学理论体系中的重要 组成部分，它们为理解和分析物体的定轴转动提供了基础理 论支持。
实际应用
在实际工程和生活中，许多机械系统、旋转运动器械以及行 星运动等都涉及到定轴转动，动量矩定理和动量矩守恒定律 为这些系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
02
理论基石
动量矩定理和动量矩守恒定律是 经典力学中定轴转动的基础理论， 为分析定轴转动问题提供了重要 的理论支撑。
指导实践
在实际工程中，许多机械系统、 航空航天器和车辆等都涉及到定 轴转动，这些理论为设计和优化 这些系统提供了重要的指导。
学科发展
动量矩定理和动量矩守恒定律的 发展推动了相关学科如旋转动力 学、陀螺力学等的发展，为这些 学科提供了重要的理论基础。
动量定理和动量矩定理
2) 如果作用于质点系的所有外力在某轴 上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在 该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影 等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
理论力学动力学部分3动量矩定理
x2
rdx
=
-2
1 2 1 -2
x2
m l
dx
=
1 12
ml 2
ò ò J y¢ =
l (x¢)2 r dx¢ =
0
l 0
( x¢) 2
m l
dx¢
=
1 3
ml 2
三 动量矩定理
18
[例] 图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆
板对其直径轴的转动惯量。
解：设板的密度为ρ。将圆板分成无数
同心的单元圆环，则单元圆环的质量
三 动量矩定理
26
6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的转动。
刚体在相对运 动中对质心的 动量矩定理
r dHC dt
r M
e C
JC
d 2j dt 2
MC
应用质心运动定理和相 对质心动量矩定理得刚 体平面运动微分方程
Mx&&C Fix
M&y&C Fiy
dt
=
Mr
C
(
Fri e
)
=
Mr
e C
4
三 动量矩定理
25
讨讨 论论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质 心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动 量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有 关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心 的动量矩守恒。
局部守恒： M x (F ) = 0 则: M x (mv) = 常量
1
三 动量矩定理
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
上一页 下一页
例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
上一页 下一页
( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
上一页 下一页
三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
例13-10 如图所示均质鼓轮，半径为R，质量为m，在半径为r处沿水平方向 作用有力F1和F2，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，试求轮心0点 的加速度以及使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力。
解 鼓轮作平面运动，其受力如图所示，建立鼓轮平面运动微分方程为
1）
2）
3）
因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动，故有如下关系
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
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Lx Ly Lz
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m (y v
i
n
i iz
zi viy ) xi viz ) yi vix )
m (z v
i
i 1 n
i ix
m (x v
i i 1
i 1 n
i iy
质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右 手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正 向一致者为正，反之为负。
相对质心的动量矩定理
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质点系相对质心的动量矩 质点系相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0 n n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式
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e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学
课堂教学软件(17B)
2016年9月6日
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第三篇 运动学与动力学
i
d (ri mi v i ) ri Fi e ri Fi i dt i i
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注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的 特点，上式可简化为 d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
e Mx 0
Lx C1
其中C1 为常数。
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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？
谁最先到
达顶点
第17章B 动量定理和动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
返回
相对质心的动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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2． 平行移轴定理
J z J z C md 2
上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴 z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴 zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘 积。
第17章B 动量定理和动量矩定理
动量矩定理及其守恒形式
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动量矩定理积分形式
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式Fra bibliotekd ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
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d LO e MO dt
将上述二式积分，得到
质点与刚体的动量矩
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刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计 算时还要特别说明以下两点：
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1． 回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
第17章B 动量定理和动量矩定理
几个有意义的实际问题 质点与刚体的动量矩 动量矩定理及其守恒形式 相对质心的动量矩定理 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程 动量和动量矩定理在碰撞中的应用 结论与讨论
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参考性例题
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第17章B 动量定理和动量矩定理
e
LO C
这表明质点系对该点的动量矩守恒
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式 当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。 TSINGHUA UNIVERSITY
例如
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转 动惯量可按下式计算
2 J z m z
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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1． 回转半径（或称惯性半径）
Jz
2 m z
z
Jz m
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并 令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量， 则质点到z轴垂直距离即为回转半径。
工程力学
工程力学
第三篇 运动学与动力学
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第17章B 动量定理和动量矩定理
第17章B 动量定理和动量矩定理
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动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即 矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理 解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量 ——动量 系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的 两个基本特征量——力系的主矢和主矩。 本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分 方程。
质点与刚体的动量矩
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刚体的动量矩
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
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作为特殊质点系的刚体，其动量矩与 刚体的运动形式有关。
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
平移刚体对O点的动量矩
设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每 一质点的速度均相等，即vi=v，则有
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴 的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的守恒形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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d LO e MO dt
若外力矩
MO 0
则质点系对该点的动量矩为常矢量
n
n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介 绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
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d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
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LO
r m v ( r m ) v mr
i i i i i i 1 i 1
n
n
C
v rC mv
这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质 点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体 对O点的动量矩。
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几个有意义的实际问题
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几个有意义的实际问题
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？
谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
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？
的直升飞
机是怎么 飞起来的
没有尾桨
第17章B 动量定理和动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
返回
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩 刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩
质点与刚体的动量矩
质点系的动量矩
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
2． 平行移轴定理
若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计 算出对其他平行轴的转动惯量：
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J z J z C md 2
式中 Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量； m为刚体的质量； d为z与zC轴之间的距离。
这一结果表明，质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩 。这就是质点 系 相 对 定 点 的 动 量 矩 定 理 (theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。以后如不特别说明 ，则动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
J z mi ri
i
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i
i
2
Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。
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m (y v
i
n
i iz
zi viy ) xi viz ) yi vix )
m (z v
i
i 1 n
i ix
m (x v
i i 1
i 1 n
i iy
质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右 手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正 向一致者为正，反之为负。
相对质心的动量矩定理
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质点系相对质心的动量矩 质点系相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0 n n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式
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e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0
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范钦珊教育教学工作室
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学
课堂教学软件(17B)
2016年9月6日
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第三篇 运动学与动力学
i
d (ri mi v i ) ri Fi e ri Fi i dt i i
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注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的 特点，上式可简化为 d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
e Mx 0
Lx C1
其中C1 为常数。
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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？
谁最先到
达顶点
第17章B 动量定理和动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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2． 平行移轴定理
J z J z C md 2
上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴 z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴 zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘 积。
第17章B 动量定理和动量矩定理
动量矩定理及其守恒形式
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动量矩定理积分形式
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式Fra bibliotekd ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
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d LO e MO dt
将上述二式积分，得到
质点与刚体的动量矩
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刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计 算时还要特别说明以下两点：
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1． 回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
第17章B 动量定理和动量矩定理
几个有意义的实际问题 质点与刚体的动量矩 动量矩定理及其守恒形式 相对质心的动量矩定理 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程 动量和动量矩定理在碰撞中的应用 结论与讨论
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参考性例题
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第17章B 动量定理和动量矩定理
e
LO C
这表明质点系对该点的动量矩守恒
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式 当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。 TSINGHUA UNIVERSITY
例如
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转 动惯量可按下式计算
2 J z m z
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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1． 回转半径（或称惯性半径）
Jz
2 m z
z
Jz m
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并 令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量， 则质点到z轴垂直距离即为回转半径。
工程力学
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第三篇 运动学与动力学
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第17章B 动量定理和动量矩定理
第17章B 动量定理和动量矩定理
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动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即 矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理 解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量 ——动量 系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的 两个基本特征量——力系的主矢和主矩。 本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分 方程。
质点与刚体的动量矩
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刚体的动量矩
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
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作为特殊质点系的刚体，其动量矩与 刚体的运动形式有关。
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
平移刚体对O点的动量矩
设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每 一质点的速度均相等，即vi=v，则有
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴 的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的守恒形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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d LO e MO dt
若外力矩
MO 0
则质点系对该点的动量矩为常矢量
n
n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介 绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
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d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
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LO
r m v ( r m ) v mr
i i i i i i 1 i 1
n
n
C
v rC mv
这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质 点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体 对O点的动量矩。
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几个有意义的实际问题
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几个有意义的实际问题
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？
谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
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？
的直升飞
机是怎么 飞起来的
没有尾桨
第17章B 动量定理和动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
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质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩 刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩
质点与刚体的动量矩
质点系的动量矩
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
2． 平行移轴定理
若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计 算出对其他平行轴的转动惯量：
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J z J z C md 2
式中 Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量； m为刚体的质量； d为z与zC轴之间的距离。
这一结果表明，质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩 。这就是质点 系 相 对 定 点 的 动 量 矩 定 理 (theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。以后如不特别说明 ，则动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
J z mi ri
i
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i
i
2
Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。