理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
大学_理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案_1
理论力学第2版(唐国兴王永廉主编)课后答案理论力学第2版内容简介第2版前言第1版前言第一章静力学基础知识要点解题方法难题解析习题解答第二章平面汇交力系知识要点解题方法难题解析习题解答第三章力矩、力偶与平面力偶系知识要点解题方法习题解答第四章平面任意力系知识要点解题方法难题解析习题解答第五章空间力系知识要点解题方法习题解答第六章静力学专题知识要点解题方法习题解答第七章点的运动学知识要点解题方法难题解析习题解答第八章刚体的基本运动知识要点解题方法习题解答第九章点的合成运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十章刚体的平面运动知识要点解题方法难题解析习题解答第十一章质点动力学基本方程知识要点解题方法难题解析第十二章动量定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十三章动量矩定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十四章动能定理知识要点解题方法难题解析习题解答第十五章动静法知识要点解题方法习题解答参考文献理论力学第2版目录机械工业出版社本书是与唐国兴、王永廉主编的《理论力学》(第2版)配套的教学与学习指导书。
本书按主教材的章节顺序编写，每章分为知识要点、解题方法、难题解析与习题解答四个部分。
其中，“知识要点”部分提纲挈领地对该章的基本概念、基本理论和基本公式进行归纳总结，以方便读者复习、记忆和查询;“解题方法”部分深入细致地介绍解题思路、解题方法和解题技巧，以提高读者分析问题和解决问题的能力;“难题解析”部分精选若干在主教材的例题与习题中没有涉及的典型难题进行深入分析，以拓展读者视野，满足读者深入学习的需要;“习题解答”部分对主教材中该章的全部习题均给出求解思路和答案，但不提供详细解题过程，以期在帮助读者自主学习和练习的同时为他们留出适量的思考空间。
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本书虽与主教材配套，但其结构体系完整，亦可单独使用。
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理论力学：4-13动量矩定理
第十三章动量矩定理即：外力矢量和质心运动定理C（外力系的主矢）v p c m =0=p随质心平动相对于质心转动动量定理动量矩定点（或定轴）或质心动量矩定理质点系的动量矩定理和刚体平面运动第13章动量矩定理主要内容：谁最先到达顶点直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象航天器是怎样实现姿态控制的为什么二者转动方向相反一．质点的动量矩)(m O v M二．质点系的动量矩r'r r ic i +=v v v ir cia +=∑∑iaim v ()Lr L CCCOmv +×=()()L v v v +×∑c ir i i c i m m v ia三．刚体动量矩计算：1．平动刚体2．定轴转动刚体转动惯量3．平面运动刚体点的动量矩等于O到质心C的矢量叉乘平面运动刚体的动量加上刚体对于质心C 121+一．定义：∑=2ii z rm J ∫=dmr J mz 2１．积分法二．转动惯量的计算−l2mJ z2zz m J ρ=均质刚体2. 回转半径3. 平行轴定理2'mdJ J zC z +=通过质心该轴平行的轴的转动惯量刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积证明例如)ml ml =+=4．计算转动惯量的组合法5. 求转动惯量的实验方法2123l m +2321l m +§13-3动量矩定理一．质点的动量矩定理v r m −×)()()]([, )(F M v M F r v r O O m dtd m dt d =×=×质点对固定点的动量矩定理。
)()( ),()( ),()(F v F v F v z z y y x x M m M dt d M m M dt d M m M dtd ===质点对固定轴的动量矩定理动量矩定理的投影形式同一轴质点的动量矩守恒由动量矩定理 , sin )(+−=ϕϕϕl mgl ml dt d t l g 22lgππω=二．质点系的动量矩定理=i i O )(m v M (e)O O dtd M L =质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩dL dt dL dt z y x (e)O O dtd M L =或某定轴或力矩的代数和或该轴矢量方程质点系的动量和动量矩动量系基本特征量动量系的主矢和主矩。
理论力学10动量矩定理
J11 (J 22 m2v2 R2 ) m3v3R2
v3
v2
R2 2
1 2
R11
LO
(
J1 R2 2
J2 R2 2
m2
m3 )R2v3
轮B滚而不滑，有瞬心
17
对于一个定轴转动刚体 Lz J z
代入质点系动量矩定理，有
d dt
(J
z)
M
(e) z
Jz
M
( e) z
或
Jz
d 2
dt 2
M
(e) z
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题： 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
18
特殊情况：
n
若M z(e) M z (Fi(e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或 i1 保持静止。
mT
mT ymdm 0
mT
刚体对z轴的转动惯量
JZ
r2dm
mT
(x2 y2 )dm
mT
mT [( xC xm )2 ( yC ym )2 ]dm
mT (xm2 ym2 )dm
mT (xC2 yC2 )dm 2xC
mT
xmdm
2 yC
mT
ymdm
J Z JC mT d 2
0
0 24
复杂形状刚体的转动惯量 按定义，有：
JZ
动量矩定理与动量矩守恒律ppt课件
dJ M 0 dt
J 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
大学
（3）对质心的动物理量矩定理
作固定坐标系和动坐标系时，
a a0 a
F ma ma0 ma
将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐
标系原点），有
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
(mirc )
相对
相对
牵连（惯性力）
大学 物理
用 ri 左叉乘上述方程组且对 i 求和，因内力矩合之为零且牵连矩
（惯性力矩）合之为零，固有
d [ n
dt i1
(ri miri)]
n
(ri
F (e) i
)
i 1
即有质点组对质心的动量矩定理：
dJ M dt
大学 物理
若
vxc
恒矢
烟花的质心轨迹
大学 物理
动量矩定理 与
动量矩守恒定律
大学 物理
（1）对某一固定点O 的动量矩定理
dJ M dt
n
n
其中 J (ri pi ) ， M (ri Fi(e) ) 。
i 1
i 1
a
(r
r2
)i
(r
2r)
j
大学 物理
ari a j
ar
r r2
：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
i 1
d dt
p
n
其中 p mivi
i 1
大学 物理
可得
dp dt
n i 1
F (e)
i
，其中
n p mivi
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒
2
6m(2gh)1 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
第11页/共15页
例4 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平
位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并
即：刚体所受的外力矩等于动量矩对时间的变化率。
Mdt dL
t2
t1
Mdt
J2
J1
∴作用于刚体上冲量矩等于刚体动量矩的增量。
第3页/共15页
三、刚体定轴转动的动量矩守恒
若 M 0，则
dL 0 dt
L L0 J 常量
讨论
➢ 守 恒条件
M 0
➢ 内力矩不改变系统的动量矩.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
第5页/共15页
动量矩守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
第6页/共15页
被中香炉
例1：质量为m1，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒 的一端的水平轴O无摩擦的转动，它原来静止在水
平位置处，现在一质量为m2的弹性小球飞来，正好 在棒的下端与棒垂直相撞，撞后，棒从平衡位置处
摆动达到最大角度 30o , 求：
M dL d(J) dJ
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
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§13－1 动量定理
解：以人为研究对象，视为质点，其运动包含两个不同的阶段。 第一阶段为人从飞机上跳下至伞张开。在这个阶段中，可以不计空气阻力， 认为人系自由降落。因而下降100m时的速度由运动学知
由此求得冲量I的大小为 从而求得平均撞击力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
例13-6 电动机的外壳固定在水平基础上，定子(包括外壳)重为P、转子重为p， 如图13-7所示。由于制造误差，转子的质心O2没有与定子的质心O1重合， 偏心距O1O=e。已知转子以匀角速度叫转动，求电动机支座处所受到的 水平约束力FR。和铅垂约束力FR，并求出它们的最大值及最小值。
在t1到t2时间间隔内，变力F的冲量则为
冲量是矢量，它与力F的方向一致。在国际单位制中，冲量的单位是N·s, 它与动量的单位相同
§13－1 动量定理
动量定理
I. 质点的动量定理
(1) 动量定理的微分形式
质点动量的微分等于作用于该质点上的各力元冲量的矢量和。
（2）动量定理的积分形式
质点动量在任一时间间隔内的变化，等于作用于该质点上各力在同一时间 间隔内的冲量的矢量和。
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零．则该质点系的动 量保持不变。 若作用于质点系的外力在轴x上投影的代数和等于零，即∑F(xe)=0，可得
若作用于质点系的外力在某轴上的投影代数和恒等于零，则 该质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
§13－1 动量定理
例13-1 质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 (1)取整个系统为研究对象，取坐标系如图。系统所受的外力有：定子的
将以上两式分别对时间t求导两次,得质心加速度的两个分量：
由此求得 由上式不难求得支座约束力的最大值和最小值(按绝对值)
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
利用动量定理和质心运动定理解题的步骤和要点：
上式的直角坐标形式为 对于在地面附近的质点系，即在重力加速度为g的均匀重力场中的质点系，
直角坐标形式为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
质心运动定理
质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于质点系的外力的矢量和。 将上式的两边在固定坐标轴上投影得
质心运动守恒定理
Ⅰ. 当∑Fi=0时，有aC=0
例13-3 机车的质量为m1，车辆的质量为m2，它们是通过相互撞击而挂钩。 若挂钩前，机车的速度为v1，车辆处于静止，v0=0,如图所示。求： ① 挂钩后的共同速度u；②在挂钩过程中相互作用的冲量和平均撞击力。 设挂钩时间为t秒,轨道是光滑和水平的。
a)
b)
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
II. 质点的动量 质点系内部各质点在某瞬时动量的矢量和称为质点系在该瞬时的动量,记为
§13－1 动量定理
动量和冲量
冲量
物体在力作用下产生的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用 时间的长短有关。为此,引入力的冲量、的概念,以表征力在一段时间内对物体 的累积效应。
若常力F作用的时间为t，则该常力的冲量为 若力F是变化的，应将力的作用时间分成无数微小时间间隔，在每一微小时 间间隔内将力可视为常力,这样便得到力F在时间dt内的冲量，称为元冲量， 即
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
得
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
质心运动定理
质心的确定
设有由n个质点M13，M2，…，M i组成的质点系，它们的质量分别为m1 m2，…，mi，而系统的质量为m=∑mi。在固定坐标Oxyz中，任一质点M i 的 位置如果用由起点在坐标原点O的矢径rc表示，则确定质心C位置的矢径 rc由下式决定：
(1)判定给定问题是否可用动量定理或质心运动定理求解。求约束反力、速 度和加速度时可用动量定理或质心运动定理；求质心速度、质心位置或质点 系内部质点速度的改变时多用动量守恒定律或质心运动守恒定律。
解 (1)以机车和车辆为研究对象。它们在撞击时的相互作用力是内力，作用在 系统上的外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其他外力， 故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水平轴x方向是守恒 的。
式中，u为挂钩后机车和车辆的共同速度。由此求得 (2)以机车为研究对象，如图b)所示。有
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
vc=常矢量
即
如果作用于质点系上的所有外力的矢量和恒为零，则质心作惯性运动。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ⅱ. 当∑Fix=0时有
即 vcx =常量
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
例13-3 曲柄AB长r，重W1，受力偶作用以不变的角速度ω转动，并带 动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图13-4所示。滑槽、连杆、活 塞共重W、重心在点C。活塞上作用一恒力Q，如导板的摩擦略去不 计。求作用在曲柄轴A上的最大水平分力FAx.