理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理

后铅垂下降，待降落100m时将伞张开，从这时起经 过时间t=3s后降落速度变为5m／s(图13-2)。求降落伞 绳子拉力的合力(平均值)。
§13－1 动量定理
解：以人为研究对象，视为质点，其运动包含两个不同的阶段。 第一阶段为人从飞机上跳下至伞张开。在这个阶段中，可以不计空气阻力， 认为人系自由降落。因而下降100m时的速度由运动学知
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
得
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
质心运动定理
质心的确定
设有由n个质点M13，M2，…，M i组成的质点系，它们的质量分别为m1 m2，…，mi，而系统的质量为m=∑mi。在固定坐标Oxyz中，任一质点M i 的 位置如果用由起点在坐标原点O的矢径rc表示，则确定质心C位置的矢径 rc由下式决定：
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零．则该质点系的动 量保持不变。 若作用于质点系的外力在轴x上投影的代数和等于零，即∑F(xe)=0，可得
若作用于质点系的外力在某轴上的投影代数和恒等于零，则 该质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
§13－1 动量定理
例13-1 质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出
II. 质点的动量 质点系内部各质点在某瞬时动量的矢量和称为质点系在该瞬时的动量,记为
§13－1 动量定理
动量和冲量
冲量
物体在力作用下产生的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用 时间的长短有关。为此,引入力的冲量、的概念,以表征力在一段时间内对物体 的累积效应。
若常力F作用的时间为t，则该常力的冲量为 若力F是变化的，应将力的作用时间分成无数微小时间间隔，在每一微小时 间间隔内将力可视为常力,这样便得到力F在时间dt内的冲量，称为元冲量， 即
(1)判定给定问题是否可用动量定理或质心运动定理求解。求约束反力、速 度和加速度时可用动量定理或质心运动定理；求质心速度、质心位置或质点 系内部质点速度的改变时多用动量守恒定律或质心运动守恒定律。
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 (1)以机车和车辆为研究对象。它们在撞击时的相互作用力是内力，作用在 系统上的外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其他外力， 故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水平轴x方向是守恒 的。
式中，u为挂钩后机车和车辆的共同速度。由此求得 (2)以机车为研究对象，如图b)所示。有
上式的直角坐来自百度文库形式为 对于在地面附近的质点系，即在重力加速度为g的均匀重力场中的质点系，
直角坐标形式为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
质心运动定理
质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于质点系的外力的矢量和。 将上式的两边在固定坐标轴上投影得
质心运动守恒定理
Ⅰ. 当∑Fi=0时，有aC=0
在t1到t2时间间隔内，变力F的冲量则为
冲量是矢量，它与力F的方向一致。在国际单位制中，冲量的单位是N·s, 它与动量的单位相同
§13－1 动量定理
动量定理
I. 质点的动量定理
(1) 动量定理的微分形式
质点动量的微分等于作用于该质点上的各力元冲量的矢量和。
（2）动量定理的积分形式
质点动量在任一时间间隔内的变化，等于作用于该质点上各力在同一时间 间隔内的冲量的矢量和。
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 (1)取整个系统为研究对象，取坐标系如图。系统所受的外力有：定子的
将以上两式分别对时间t求导两次,得质心加速度的两个分量：
由此求得 由上式不难求得支座约束力的最大值和最小值(按绝对值)
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
利用动量定理和质心运动定理解题的步骤和要点：
由此求得冲量I的大小为 从而求得平均撞击力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
例13-6 电动机的外壳固定在水平基础上，定子(包括外壳)重为P、转子重为p， 如图13-7所示。由于制造误差，转子的质心O2没有与定子的质心O1重合， 偏心距O1O=e。已知转子以匀角速度叫转动，求电动机支座处所受到的 水平约束力FR。和铅垂约束力FR，并求出它们的最大值及最小值。
vc=常矢量
即
如果作用于质点系上的所有外力的矢量和恒为零，则质心作惯性运动。
Ⅱ. 当∑Fix=0时有
即 vcx =常量
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
例13-3 曲柄AB长r，重W1，受力偶作用以不变的角速度ω转动，并带 动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图13-4所示。滑槽、连杆、活 塞共重W、重心在点C。活塞上作用一恒力Q，如导板的摩擦略去不 计。求作用在曲柄轴A上的最大水平分力FAx.
例13-3 机车的质量为m1，车辆的质量为m2，它们是通过相互撞击而挂钩。 若挂钩前，机车的速度为v1，车辆处于静止，v0=0,如图所示。求： ① 挂钩后的共同速度u；②在挂钩过程中相互作用的冲量和平均撞击力。 设挂钩时间为t秒,轨道是光滑和水平的。
a)
b)
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律