动量矩定理
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量矩定理
第十一章动量矩定理§11-1 引言建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。
Pr ωε§11-2 动量矩一、质点动量矩Vm r V m M L o o r r r r r ×==)(的动量矩为则质点对固定点的速度为时作空间曲线运动，在瞬的作用下在力的质点设质量为O V t F M m ,r r 方向：右手螺旋法则大小：OAB o S d mV L ∆==2)(1、动量对点之矩V m r L o r r r ×=2、动量对轴之矩)(V m M L z z r =正负：右手规则是标量z L 质点对O 点的动量矩矢在通过O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
zz O L L =)(r OabS ∆±=2d v m ′′±=)(二、质点系动量矩各质点动量对某点O 的矩的矢量和（即质点系动量对O 点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。
n n n o V m r V m r V m r L r r L r r r r r ×++×+×=222111各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动量矩。
)()()(2211n n z z z z V m M V m M V m M L r L r r +++=∑=)(i i O V m M r r ∑×=i i i V m r r r ∑=)(i i z V m M rV m r L o r r r ×=由§11-3 质点的动量矩定理V m dt r d dt V m d r dt V m r d r r r r r r ×+×=×)()(得：V dt r d r r =∴dt V m r d )(r r ×∴O 点为固定点V m dt r d r r ×∴一、矢量形式0=V m V r r ×=F r r r ×=dt V m d r )(r r ×=oM F)()(F M dt L d F r dt V m r d o o r r r r r r r =×=×或质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。
11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
第11章 动量矩定理
M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2
第十二章 动量矩定理
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
第七讲动量矩定理
Friday, May 24, 2019
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
Friday, May 24, 2019
B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
Friday, May 24, 2019
y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
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B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
Friday, May 24, 2019
y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
第十二章：动量矩定理
周期 T = 2π J O
mga
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
Jz
=
∑
i −1
m
i
ri
2
单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
∫ J z =
l 0
ρl x2dx
=
ρll3
3
由 m = ρll ，得
Jz
=
1 ml 2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
与 zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.
证明： J zC = ∑ mi (x12 + y12 )
Jz =∑mi r2 =∑mi (x2 +y2)
= ∑ mi[x12 + ( y1 + d )2 ]
=
1 ml 2 3
则
J zC
=
Jz
−
m( l )2 2
=
ml 2 12
要求记住三个转动惯量
（1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量 mR2
2
（2） 均质细直杆对一端的
转动惯量 ml 2
3
（3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量 ml 2
12
§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
∑ ∑ r
=
r LC
r LO
=
rrC
× mvrC
+
r LC
=
r M
O
(
mvrC
)
+
理论力学第14章动量矩定理
J yz J zy mi yi zi
（e）
如果对某坐标系所有惯性积均为零，则三根坐标轴称为刚体过
O
点的惯量主轴，相应的转动惯量称为主转动惯量。 如果惯量主轴还通过刚体质心，则称为中心惯量主轴。
14.3 矩心为质心的动量矩定理 14.3.1质点系对质心的动量矩定理 １．质点系对质心动量矩的定义
d r mv r F dt
(c)
(14-3)
d m yz zy yFz zFy dt d m zx xz zFx xFz dt
d m xy yx yFz zFy dt
动量矩定理
（图14-6）。
图14-6 柯尼希坐标系
或 z 都是反映刚体质量分布情况的物理量。
J z x 2 y 2 dm
（14-1 )dm J x ( y 2 z 2 )dm
（14-19b）
图14-3转动惯量的定义
图14-4 转动惯量的平行轴定理
２. 平行轴定理 J ( x y )dm ( x a )
第14章 动量矩定理
14.1 矩心为定点的动量矩定理 14.1.1 质点的动量矩定理
动量对空间某点或某轴线，叫做动量矩，也叫角动量
LO r p
p对
(14-1) (14-2a) (14-2b) (14-2c)
x, y, z 轴的动量矩则为
LOx m yz zy
LOz m xy yx
ΓO r I
叫冲量矩。故质点动量矩的变化，等于外力在该时间内给予该质点的冲量矩。
(14-7b)
14.1.2 质点系对定点的动量矩定理 L r m r (14-8)
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Lz mz (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
其中，J z mi ri 2 , 称为刚体对z轴的转动惯量。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
21
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
分别代入质点系对固定点O动量矩表达式中，就有
rC mi υC rC mi υiC riC mi υiC riC mi υC rC mi υC rC mi υiC mi riC υC riC mi υiC
12
求 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 d r 2 P 由动量矩定理： [ ( PA PB )]( PA PB )r dt g 2
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
23
例: 已知滑轮A的质量为m1，半径为R1，对转轴O的转动惯量为J1 ；滑轮B的
质量为m2，半径为R2，R1= 2R2， 对其质心的转动惯量为J2 ；物体C的质量为m3 ， 速度为υ3。 求系统对O 轴的动量矩。
(e )
v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
0 m A v A r mB ( v v A ) r
vA v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 v 。 2
14
§13-3
刚体定轴转动微分方程
d (e) ( J z ) M z dt
对于一个定轴转动刚体 Lz J z
代入质点系动量矩定理，有
d 2 (e) 或 Jz 2 Mz dt
J z M z
(e)
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
15
特殊情况：
若 M z (e) mz ( F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
3
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱 kg· 2/s。 ｍ 二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩： LO mO ( mi vi ) ri mi vi 质系对轴z 动量矩：
Lz mz (mi vi ) LO z
4
刚体动量矩：
1．平动刚体
Lz mz (mvC )
LO mO ( mvC ) rC mvC
对该点（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体
( ri mi vi mi ri vC rC mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的
大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· 2 。 m
17
二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 J z ； 对z' 轴的转动惯量 J z ' 。 解： Jz
在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 J z 和 z ，以供参考P207页（表13-1）。
20
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z ' J zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2
2
mi m , mi yi my C 0 I z ' I zC md
2d mi yi
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 例如，对于例1中均质细杆z' 轴的转动惯量为
I z ' I z m( l )2 1 ml 2 1 ml 2 1 ml 2 2 12 4 3
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
10
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:
( e) (e) (e) dLx ( e ) dLy ( e ) dLz (e) mx ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
保持静止。
若M z (e ) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z 转动惯性的度量。
(e )
与 ma F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚体
16
§13-4 刚体的转动惯量
一．定义：J z mi ri 2 若刚体的质量是连续分布，则 J z
r 2 dm m
上式称质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO ( F ) 0 (mz ( F ) 0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
8
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（规定逆时针转 向为正）
22
4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一
部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。 解： J J 1m l 2 1 m R 2 m (l R) 2 J O O杆 O盘 1 2 2
求系统对O轴的动量矩。 解： O LOA LOB LOC L
J11 ( J 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2
v3 v2 R2 2 1 R11 2 J1 J2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2v3 R2 R2
6
§13-2 1．质点的动量矩定理
M O PA r PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g 1P 2 r 2
(e)
d g PA PB dt r PA PB P / 2
13
[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 动的速度多大？（轮重不计） 解：mO ( F ) 0 , 系统的动量矩守恒。
( e) (e) (e) dLx ( e ) dLy ( e ) dLz (e) mx ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
质点系的动量矩守恒
当 M O 0 时， LO 常矢量。
(e)
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
m 式中： A R2
R4 J O (2 r Adr r 2 ) 2 A 0 4 1 J O mR 2 或 2
R
19
2. 回转半径 由
Jz 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径均质刚体， z 仅与几何形状有关，与密度无关。
质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外
力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
2
§13-1
动量矩
一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：mO (mv ) r mv 矢量 质点对轴 z 的动量矩： z ( mv ) mO ( mv xy ) 代数量 m
mO ( mv ) 2OAB
动量矩定理
d d M O (mv ) ( r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt dt
其中:
d (mv ) F dt
设质点对定点O的动量矩为,有 M o (mv ) ，对其求导：
v mv 0
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固
定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同
一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。（举例）
11
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
9
二．质点系的动量矩定理
d (i ) ( e) mO (mi vi ) mO ( Fi ) mO ( Fi ) 对质点mi ： dt (i 1,2,3,,n)