动量矩定理
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
动量矩定理
第十一章动量矩定理§11-1 引言建立质点或质点系的动量对于某固定点（或固定轴）的矩的变化与作用在该质点或质点系上的力系对同一点（或轴）的主矩之间的关系。
Pr ωε§11-2 动量矩一、质点动量矩Vm r V m M L o o r r r r r ×==)(的动量矩为则质点对固定点的速度为时作空间曲线运动，在瞬的作用下在力的质点设质量为O V t F M m ,r r 方向：右手螺旋法则大小：OAB o S d mV L ∆==2)(1、动量对点之矩V m r L o r r r ×=2、动量对轴之矩)(V m M L z z r =正负：右手规则是标量z L 质点对O 点的动量矩矢在通过O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。
zz O L L =)(r OabS ∆±=2d v m ′′±=)(二、质点系动量矩各质点动量对某点O 的矩的矢量和（即质点系动量对O 点的主矩）称为该质点系对点的动量矩。
n n n o V m r V m r V m r L r r L r r r r r ×++×+×=222111各质点动量对某轴的矩的代数和称为该质点系对该轴的动量矩。
)()()(2211n n z z z z V m M V m M V m M L r L r r +++=∑=)(i i O V m M r r ∑×=i i i V m r r r ∑=)(i i z V m M rV m r L o r r r ×=由§11-3 质点的动量矩定理V m dt r d dt V m d r dt V m r d r r r r r r ×+×=×)()(得：V dt r d r r =∴dt V m r d )(r r ×∴O 点为固定点V m dt r d r r ×∴一、矢量形式0=V m V r r ×=F r r r ×=dt V m d r )(r r ×=oM F)()(F M dt L d F r dt V m r d o o r r r r r r r =×=×或质点的动量对任一固定点的矩对时间的导数等于作用于该质点的力对同一点的矩。
动量矩定理
mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
11)动量矩定理
动量矩定理
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用力对同一点的矩
第十一章 动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
根据质点动量矩定理：
e i d M O mi vi M O Fi M O Fi dt e i d 对于质点系： M O mi vi M O Fi M O Fi dt i 内力总是成对出现： M O Fi 0
时圆盘和人静止，求圆盘的角速度和角加速度
z
v
B
R
O
r
第十一章 动量矩定理
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
F1
O1
定轴转动刚体的动量矩： L J z z
Fn
d 根据动量矩定理： J z M z Fi dt d d 2 Jz J z J z 2 M z F dt dt
第十一章 动量矩定理
将 mi vi mvC 和 vi vC vir 代入： rC mi vi ri mi vi rC mvC ri mi vC vir rC mvC mi ri vC ri mi vir
C
A
e
r
P
第十一章 动量矩定理
3、相对于质心的动量矩定理
dLO d e ri rC ri rC mvC LC ri Fi dt dt e e 右边 rC Fi ri Fi drC dLC d 左边 mvC rC mvC dt dt dt e dLC vC mvC rC maC maC Fi dt e dLC rC Fi dt
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
第十二章 动量矩定理
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m， 受力F， MO(mv) 动量mv，定坐标系Oxyz ， 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积， 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项，先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点！)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾： 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
方向：按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· 2/S） m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O 的主矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和，即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
第七讲动量矩定理
Friday, May 24, 2019
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
Friday, May 24, 2019
B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
Friday, May 24, 2019
y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
Theoretical Mechanics
(二) 动量矩定理
Kinetics 13-3-2
一、动量矩定理
1、质点的动量矩定理：
d(r mv) r F dt
dlO M O(F ) dt
------质点动量矩定理
2、质点系相对于固定点O的动量矩定理：
z
A
u
r
ω
O
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B
theoretical mechanics
解：1、研究对象：人和圆盘 2、受力分析（如图） 仅受轴承反力，重力的作用
z
A
XA
r
Kinetics 13-3-12
u Yω A
3、运动分析： 圆盘： 定轴转动，w 、a 人： 圆盘为动系，则
ve vr
vir
vi
Mi
ห้องสมุดไป่ตู้ r
LC
ri ' mi vir
z′
ri
vC
O
C
ri yy′
x′ rC
x
d LC M C ----式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
r
d LC M C ----式中，所有的点用相对速度，相对动量对
dt
点C的矩，而C在空间不断变化。
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y
B
aw q
Kinetics 13-3-19
N
A
mg
1 2
m l(w2
cos q
a sinq)
开始时：
C
理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
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a
z a
a l
z a
θ B A
θ l
B
A l
l
ω0
ω
运 动 演 示
解: 此系统所受的重力和轴承的 约束反力对于转轴的矩都等于零， 因此系统对于转轴的动量矩守恒。
A
a
z a
a l B l A
z a
θ
θ l
B
当=0时，动量矩
l
Lz1 2 ma 0 a 2 ma 0
2
0
当 θ≠ 0 时，动量矩
第12章 动量矩定理
※ 几个有意义的实际问题 ※ 质点.质点系的动量矩定理 ※ 刚体对定轴的转动惯量 ※ 动量矩定理 ※ 刚体定轴转动的微分方程 ※ 结论与讨论
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
谁最先到 达顶点
？
几个有意义的实际问题
人在走钢 丝时为什 么要手持 平衡杆？ 平衡是怎 样起平衡 作用的？
Lz 3 m2u 2 r4 m r
2 2 4
r3
整个系统的动量矩为
1 1 2 Lz mz mu m3 r3 m4 r42 m1r32 m2 r42 2 2
B A m2g
由动量矩定理
dLz m z Fe dt
，得
m1g
d 1 1 2 2 2 2 m3 r3 m4 r4 m1r3 m2 r4 dt 2 2 m1 gr3 m2 gr4
dLOz (e) M z ( F ) M z ( F (e) ) 0 dt
LOz C
如果作用于质点系的全部外力对于某一轴z之 矩恒等于 0，则质点系对这一轴的动量矩为常数。
例 题8
小球A，B以细绳相 连。质量皆为m，其余构件质 量不计。忽略摩擦，系统绕z轴 自由转动，初始时系统的角速 度为0。当细绳拉断后，求各 杆与铅垂线成角时系统的角速 度 。
m 1 l dx x ml 2 l / 2 l 3 2
l 2
Az
J Az m
1 l 3
例题2 计算均质细圆环对中心轴(垂直于
圆环平面)的转动惯量Jz。质量为m。 解：取一环状微元体，则有
r
z
dm ds O
m m m dm ds rd d 2 πR 2 πr 2π
z
M O ( mu ) r mu
d d M O ( mu ) ( r mu ) dt dt dr d mu r ( mu ) dt dt u mu r F M O (F )
y
Mo(mu) Mo(F)
O
F
B
mu r
A(x,y,z)
x
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
d
J z r dm
2 0
2π
2π
0
m r d mr 2 2π
2
均质圆板
m m 2m dm dA 2 π d 2 d 2 2 πR πR R
O
d
R
J Cz m i ri
2
R
0
2m 1 2 2 d mR R2 2
2
mg
M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
F mgl sin j
d 2j g sin j 0 2 dt l
对于微小摆动的 单摆有sinj＝j
d 2j g j 0 2 l dt
2. 质点系的动量矩定理
d (e) (i ) M O ( miui ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
u
u Ar u Br
2
解 : M z ( Fi( e) ) 0
Lz 恒 量 0
u Aa
u Ar u Br u Ba 2
§12.3 刚体定轴转动微分方程
z F2
Fi
LOz (miui )ri (mi ri )ri J z
J z mi ri 2 —— 刚体对于z轴的转动惯量
i j k M O mu r mu x y z mvx mv y mvz M x mu i M y mu j M z mu k
2. 质点系的动量矩
z
ui
m2 ri
m1 mi
LO M O (miui ) ri mui
Lz M z ( miui )
M
J z r 2 dm
z
Jz M
例题1
计算均质细长杆对通过质心 轴的转动惯量Jz z
A
l
z
m dm dx l J Cz m i ri2
m 1 2 dx x ml 2 l / 2 l 12
l 2
C
x
B
x
dx
Cz
2
J Cz m
1 l 12
J Az
i
ri
ui
mi Fn
d ( J z ) M z ( Fi ) dt
y
F1 x
d dj J z J z J z 2 M z (F ) dt dt
2
★ 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
例题 9 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已 FOy FOx O 知复摆的质量是 m，重心 C 到转轴 O 的距离 OC O
航天器 是怎样实 现姿态控 制的
几个有意义的实际问题
直升飞机如 果没有尾翼将 发生什么现象
？
几个有意义的实际问题
几个有意义的实际问题
§12.1 质点.质点系动量矩
设质点在某瞬时的动量为mu,因质点的动量为 矢量，与力F对点O之矩的矢量表示类似，可以 给出质点的动量对固定点O的动量矩。
z
M O (mu ) = r mu
mi y1 yC 0 mi
★ 两轴必须是相互平行
J z J zC md
2
★ JZC 必须是通过质心的
例题3
z
利用平行移轴公式求解结构对转轴O的转动惯量
zC C B
J z J Cz
O
l 2 1 2 m ( ) ml 2 3
O
l
J O J O杆 J O盘
J O盘
★ 质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于 所有作用力对同一点的力矩。
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
上式的投影表达式
d M x (mu ) M x (F ) dt d M y (mu ) M y (F ) dt d M z (mu ) M z (F ) dt
J O杆
1 2 ml 3
l
m m
C
3 2 2 2 J C m (l R ) m ( R l 2lR ) 2
1 2 3 2 2 J O ml m ( R l 2lR ) 3 2 3 2 4 2 J O m ( R l 2lR ) 2 3
2R
例题4
r4 O
y
x
r3
B A m2g
m1g
运动演示
解：取整个系统为研究对象，并取逆时针 的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为
1 1 2 Lz1 J z m3 r3 m4 r42 2 2 两重物的动 Lz 2 m1u1r3 m1r12
r4 O
y
x
量矩分别为
例题5
单摆如图所示，已知摆球的 质量为m，摆线长为l，若给单摆初始以 微小扰动。
(z)
O
j
求：此单摆作微小摆动时的运动微分方程
解：单摆绕悬点O在铅垂平面内运动。在某 一瞬时的速度为u，偏角为j 。则摆球对通 过O点的水平轴z的动量矩为
l
T mu
dj M z mu mu l ml dt dd 2 dj M u) Mz (F mgl sin j) z (m ml dt dt dt
所以圆盘的角加速度为
2m1 m3 r
2 m1r3 m2 r4
2 3
2m2 m4 r
2 4
g
3. 质点系动量矩守恒定律
dLO M O ( Fi e ) dt
e M ( F O i )=0，
LO C
如果作用于质点系的全部外力对于某一点的主矩 恒等于 0，则质点系对这一点的动量矩为常矢量。
Lz 2 2 m ( a l sin ) 2
因为 Lz1=Lz2 ，得
a2 0 2 ( a l sin )
m Au Aa r mBu Ba r 0
u Aa u Ba
u Aa u Ar u u Ba u Br u
强与弱不分胜负
对本章开始时的爬绳比赛 的分析
均质圆盘，质量 m，求圆盘绕 O轴的动量矩。
1 2 J C mr 2
J O J C me
2
C
r
1 2 2 mr me 2 1 2 2 m ( r 2e ) 2 1 2 2 LO J O m ( r 2e ) 2
O
e
§12.2 动量矩定理
1. 质点动量矩定理
d M O ( mu ) M O ( F ) dt
d M O ( miui ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi ( i ) ) dt d ( e) (i ) Lx M x ( Fi ) 其中： M O ( Fi ) 0 dt d ( e) L y M y ( Fi ) d e dt LO M O ( Fi ) d dt ( e) Lz M z ( Fi ) dt