动量与动量矩

三）动量矩定理

下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．

1．力对于轴线的力矩

图3－1

力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为

M，

AB

AB M F =⊥ d

（3．15）

通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向

2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结．

如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为

（3．16）

mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，

即

AB AB M J =

（3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量．

将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示

2

AB J mR ω= （3. 18）

2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则

AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即

（3．19）

式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．

（3）质点并不与轴连结．

图3－2

所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为

sin z J mvr θ= （3．20）

若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与

xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以

只要考虑在 xy 平面内的动量分量．

动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值．

由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理

（3．21）

这是它的微分形式．

注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数．

我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得

2

1

21t z

z

z

t M dz J

J =-⎰ （3．22）

式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．

3．动量矩守恒原理

如果质点所受的力对于Z 轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出

0z J =

或 1z J = 2z J （3．23）

上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z 轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．

如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为

2J mvR mR ω===常数 （3．24）

式中R 为质点与轴线间的垂直距离， ω为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．

如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为

2

J m ρϕ

== 常数 （3．25） 例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。

（四）质点组的动量矩定理 1．对于轴线的动量矩定理

质点组包含N 个质点．考察各质点对于Z 轴的动量矩，由各质点的动量矩定理得

1112131,11,2221222,12,123,1

N N

N N N N N N N N N J M M M M M J M M M M M J M M M M M ---⎧=+++⋅⋅⋅++⎪

=+++⋅⋅⋅++⎪⎨

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪=++++⋅⋅⋅+⎩

（3. 26）

这里 i J 为第 i 个质点对Z 轴的动量矩， i M 为作用于 i 质点的外力对Z 轴的力矩， ik M 为质点k 作用于质点i 的内力对Z 轴的力矩．将上式累加起来．注意内力 ik F 与 ki F 大小相等，指向相反，沿着同一条直线，它们在 xy 平面中的投

影必然也是大小相等，指向相反，沿着同一条直线，因而它们对Z 轴的力矩之和为零．这样，在累加的结果中只出现外力的力矩，不出现内力的力矩．

1212N N J J J M M M ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅

（3．27）

将质点组各质点对Z 轴的动量矩之和定义为质点组对Z 轴的动量矩J

121

2

N N

J J J J J

M M M =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ （3. 28）

这就是质点组对轴线的动量矩定理的微分形式。

将上式积分一次，就得到质点组对轴线的动量矩定理的积分形式。

2

2

2

21121

1

1

t t t N t t t J J M dt M dt M dt

-=++⋅⋅⋅+⎰⎰⎰ （3. 29）

质点组对Z 轴的动量矩的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力对Z 轴的冲量矩之和．

2．质点组的动量矩与质心的动量矩

前文已指出，质点组的动量就等于质心的动量，那么质点组的动量矩是否也等于质心的动量矩呢？这却未必，通过下面的例子很容易说明这一点．

一物体绕通过其质心的Z 轴转动，Z 轴是固定不动的．质心既然不动，它对Z 轴的动量矩必定为零．而物体的动量矩 I ω却不等于零．可见物体的动量矩一般不等于质心的动量矩．

通过计算可以证明，质点组对某轴线的动量矩，等于质心对该轴线的动量矩 c J 再加上质点组对于通过质心和该轴平行的轴的动量矩 'J 之和，即

'c J J J =+ （3．30）

3．动量矩守恒

如果质点组所受的外力对Z 轴的力矩之和等于零， 即

120N M M M ++⋅⋅⋅+=

那么，质点组的动量矩守恒，即

0z J =

或 1z J = 2z J （3. 31）