3.3 三角函数的简单应用 课件(北师大版必修4)
合集下载
数学北师大版必修4课件:3-3-1 倍角公式

规律方法 解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将 f(x)化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+k(或 f(x)=Acos(ωx+φ)+k)的形式, 然后借助于三角函数的图像及性质去研究 f(x)的相应性质,解答 过程中一定要注意公式的合理应用,以免错用公式,导致化简失 误.
已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.
(1)求 φ 的值; (2)将函数 y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的12,纵 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)在[0,π4]上的最 大值和最小值.
【思路探究】 先利用降幂公式与和差公式将 f(x)化成 Acos(ωx+φ)+k(或 Asin(ωx+φ)+k)的形式,再研究函数的性质.
1 A.8
B.-18
7 C.8
D.-78
解析:(1)∵cosx=34,∴cos2x=2cos2x-1=18. (2)将已知等式两边平方可得 1-sin2α=18, ∴sin2α=78.
类型四 利用公式研究三角函数的性质
【例 4】 已知函数 f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sin(π2+ φ)(0<φ<π),其图像过点(π6,12).
规律方法 在对三角函数式作变形时,以上四种方法,提供 了四种变形的角度,即分别从“角”的差异,“名”的差异, “幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究.这也是研究 其他三角问题时经常要用的变形方法,此外还须熟知化简的要 求.
化简: (1)cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ); (2)1-1tanθ-1+1tanθ.
三角函数模型的简单应用

原来的4倍,然后将所得图象向下平
移2个单位得曲线C的解析式是下式:
的解析式.
4p y = 4 sin(3x + ) - 2 ,求函数y=f(x) 3
典例分析
例4 在函数 f (x ) = sin(wx + j )(w > 0) 的图 1 象与直线 y = 的交点中,距离最近的两 2 p 点之间的距离是 ,求函数f(x)的最小 3 正周期.
数学必修4第一章1.6三角函数模型的简单应用
课题:三角函数模型的 简单应用第3课时
授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学
时间:2009年上期
典例分析
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时,小 球离开平衡位置的位移s(cm)随时间 t(s)的变化曲线是一个三角函数的图 象,如图. s (1)求这条曲线对 4 7p 应的函数解析式; 12 (2)小球在开始振 t O p 动时,离开平衡位 12 置的位移是多少? -4
例5 已知函数 f (x ) = 2 sin wx (w > 0) 在区 p p , ]上的最小值是-2,求ω 的取 间 [3 4 值范围.
典例分析
p k+1 例6 设关于x的方程 sin(2x + ) = . 6 2 p (1)已知该方程在区间 [0, ]内有两个 2 不同的根 a , b ,求 a + b 乙船在北 偏东600的B处,并以每小时10海里的速 度向正北方向航 行,若甲船沿北 偏东θ 角方向直 线航行,并与乙 船在C处相遇,求 甲船的航速.
H
北
C E
D G θ
A B F
典例分析
例3 将函数y=f(x)的图象先向左平移
2p 个单位,再把图象上各点的横坐 3 2 标缩短到原来的 倍,纵坐标伸长到 3
高中数学必修4 第一章 三角函数 章末复习课件

x
-2
y O
2
x
[2k- 2 ,2k+ 2 ]↑在[2k-,2k]↑在(k- ,k+ ) 2 2
[-1,1]
[-1,1]
{x|xR且x≠ k+ ,(kZ)} 2
R
(kZ) (kZ) 3 在[2k,2k+]↓ (kZ)上都是 [2k+ 2 ,2k+ 2 ]↓ 增函数 (kZ) (kZ)
2 一个最大值和一个最小 值,且当x 时,y有最大值3,当
)在x (0,7 )内取到
五、章末寄语
三角函数是高中阶段学习的基本初 等函数之一,蕴含丰富的函数思想和 数形结合思想,是高考必考的重点内 容之一。其中三角函数的概念、业:P71章末复习参考题B组1-8题。
图像关于y轴对称,则的一个值是() B
A. 2
B.
8
C. 4
3 D. 8
四、考点突破
练习3
函数y A sin(x )( A 0, 0, x 6时,y有最小值 - 3. (1)求此函数解析式 . (2)求该函数单调递增区间 . (3)是否存在实数 满足不等式 m A sin( - m 2 2m 3 ) A sin( - m 2 4 )? 若存在,求出m的值(或范围),若不 存在,请说明理由 .
2
sin 商数关系: cos tan
两个基本关系式有哪些运用?
三、知识回顾
4、诱导公式
本章学习了哪些诱导公式?有何用途? • 如何记忆诱导公式?
k 诱导公式是针对角 的各三角函数的化简 2
口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”.
三、知识回顾
新人教B版高中数学(必修4)3.3《三角函数的积化和差与和差化积》ppt课件]
![新人教B版高中数学(必修4)3.3《三角函数的积化和差与和差化积》ppt课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/d9a92f46650e52ea54189847.png)
答:将非特殊角化为特殊角,不 能化成特殊角的经过化简后抵消 或约分.
题型二:求角
合作探究:(5分钟) 要求:1.通过小组合作,达成共识,总结 应该注意的问题,准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究:
1.如何解决给值求角问题?
答:转化为先求角的某个三角函数值, 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么?
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标: 1.掌握倍角、半角公式,并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差,和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一:求三角函数值
问题:求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢?
布置作业:
请同学们根据自己的不同情况, 课后选择性的完成A案中的内容。
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等,这些用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
题型二:求角
合作探究:(5分钟) 要求:1.通过小组合作,达成共识,总结 应该注意的问题,准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究:
1.如何解决给值求角问题?
答:转化为先求角的某个三角函数值, 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么?
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标: 1.掌握倍角、半角公式,并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差,和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一:求三角函数值
问题:求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢?
布置作业:
请同学们根据自己的不同情况, 课后选择性的完成A案中的内容。
编后语
老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等,这些用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
《二倍角的三角函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

北师大版·统编教材高中数学必修4
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α=β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x 1
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以-β代β
S(α+β) C(α+β)
以-β代β
作 商 T(α+β)
β=α
S2α
C2α
作 商
β=α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结:注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意:1、符号法则;2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值: (1)2cos105 cos15 ;
(3)1
tan15 tan2 15
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α=β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x 1
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以-β代β
S(α+β) C(α+β)
以-β代β
作 商 T(α+β)
β=α
S2α
C2α
作 商
β=α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结:注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意:1、符号法则;2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值: (1)2cos105 cos15 ;
(3)1
tan15 tan2 15
【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)

1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①. (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②. cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α,cos2α,tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
;
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积
22
第三课时 习题课
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容,这二章(第 三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐 步深入,学习的进程高潮迭起,特别是从和、差、倍、半角
的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差,既充分揭
示了三角函数的内在关系,且每组公式又都有它自身的使用
范围,另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要
完整版课件ppt
6
以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、 差的形式,我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式. 积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一 种形式(和差的形式),这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成 可能解决的问题,它们在三角式的变换中有很重要的作用.现在请同学 们先翻开课本P.227,先看看这段课文,特别是注意公式的函数,函 数名、角的形式等特征,记好这四个公式(五分钟阅读,让学生记忆).
完整版课件ppt
24
(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差.) 作了如下处理后,即成为三角函数一次式的和差了,自然 做和差化积.
若又注意到本题的结构,以下解法也是可以考虑的. 原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50° =[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°
工具,在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛
的应用,学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础.由
于三角公式相当多,所以记忆和应用就显得十分重要,安排
两节习题课的目的,就是希望通过练习及比较,使学生能熟
练掌握进行三角恒等变换的一般方法.
(一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1.求cos20°+cos100°+cos140°.
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π,∴-32π<π4-x<-π. 又∵cosπ4-x=-45, ∴sinπ4-x=35,tanπ4-x=-34. ∴原式=2×1265-1×-34=-12010.
[巧归纳] 先化简,再求值,化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系.尽
量出现条件中的角,以便能整体代入,减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α=13,cos(α+β)=-13,且 α,β∈0,π2,则 cos(α-β)的值等于
( D)
A.-12
1 B.2
C.-13
23 D.27
解析:∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π). ∵cos α=13,∴cos 2α=2cos2α-1=-79,
∴sin 2α= 1-cos22α=492, 而 α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
sin cos
α+cos α-sin
αα=2(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
因为 α∈0,π4,所以 sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=12,即 sin 2α=12.由 α∈0,π4,得 2α∈0,π2,所以 2α=π6,即 α
=1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行: (1)根据题设条件,求角的某个三角函数值; (2)讨论角的范围,必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0,且 α,β 都是锐角,求 α+2β 的值.
[解] (1)由 2x+π4≠π2+kπ,k∈Z,得 x≠π8+k2π,k∈Z,所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8+k2π,k∈Z .
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第四章-§3二倍角的三角函数公式
;sin
2
2
1+cos 2
高中数学
必修第二册
北师大版
二、半角公式
半角公式:sin 2 =±
1−cos
;cos
=±
2
2
1+cos
;tan
=±
2
2
1−cos
sin
1−cos
=
=
.
1+cos 1+cos
sin
在这些公式中,根号前面的符号由 2 所在象限相应的三角函数值的符号确定,若 2 所在象限无法确定,则
第四章
§3
二倍角的三角函数
公式
高中数学
必修第二册
北师大版
学习目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式.
2.能够正确认识“二倍角”的含义,并熟练应用二倍角公式进行化简、求值及相关问题的证明.
3.理解并会推导半角公式.
核心素养:数学运算,逻辑推理.
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、二倍角公式
4 2
9
.
高中数学
必修第二册
北师大版
二 利用倍角及半角公式化简
例3
cos 40°
=(
cos 25° 1−sin 40°
)
B. 3
D.2
化简:
A.1
C. 2
cos2 20°−sin2 20°
cos2 20°−sin2 20°
解析:原式=
=
cos 25° sin2 20°−2sin 20°cos 20°+cos2 20° cos 25°(cos 20°−sin 20°)
2
2
1+cos 2
高中数学
必修第二册
北师大版
二、半角公式
半角公式:sin 2 =±
1−cos
;cos
=±
2
2
1+cos
;tan
=±
2
2
1−cos
sin
1−cos
=
=
.
1+cos 1+cos
sin
在这些公式中,根号前面的符号由 2 所在象限相应的三角函数值的符号确定,若 2 所在象限无法确定,则
第四章
§3
二倍角的三角函数
公式
高中数学
必修第二册
北师大版
学习目标
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式.
2.能够正确认识“二倍角”的含义,并熟练应用二倍角公式进行化简、求值及相关问题的证明.
3.理解并会推导半角公式.
核心素养:数学运算,逻辑推理.
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、二倍角公式
4 2
9
.
高中数学
必修第二册
北师大版
二 利用倍角及半角公式化简
例3
cos 40°
=(
cos 25° 1−sin 40°
)
B. 3
D.2
化简:
A.1
C. 2
cos2 20°−sin2 20°
cos2 20°−sin2 20°
解析:原式=
=
cos 25° sin2 20°−2sin 20°cos 20°+cos2 20° cos 25°(cos 20°−sin 20°)
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件
-10-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】 化简: π 11π sin(2π-������)cos(π + ������)cos 2 + ������ cos 2 -������ . 9π cos(π-������)sin(3π-������)sin(-������-π)sin 2 + ������
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (������π -������ )cos [(������ -1)π -������ ] sin [(������ +1)π +������ ]cos (������π +������ )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】 化简: π 11π sin(2π-������)cos(π + ������)cos 2 + ������ cos 2 -������ . 9π cos(π-������)sin(3π-������)sin(-������-π)sin 2 + ������
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (������π -������ )cos [(������ -1)π -������ ] sin [(������ +1)π +������ ]cos (������π +������ )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(������������������������+������������������������-������)(������������������������-������������������������+������)
=
������+������������������������ ������������������������
A.������
【解析】原式= =
2
������ ������������������������ ������ ������
������
B.������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������
C.-������
������������ ������ ������ ������������������������
������ ������
������
������
����+ =1,
������ ������ ������
������ ������
������
������ ������
������ ������
cos( -x)=-cos(x+ )=- .
������ ������ ������
������
������
A.2
B.������
������
������ ������ ������ ������+������������������ ������
������-������������������
=( C ).
������
C.-2
D.-������
.. 导. 学 固思
【解析】依题意得 sin α =- ,则
cos
������- ������
∴sin = cos ∴cos =
������ ������ ������ ������ ������������ ������
������ ������-������ ������
=4sin cos ,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������
������
= , 而 0< < ,
,
������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������
∴sin B=2sin cos =2× ×
=
������������ ������
.
.. 导. 学 固思
求证:
������������������������������
(3)升幂与降幂公式:sin2α =
cos2α= ,
,
.. 导. 学 固思
α +β β -α 2α +β
.. 导. 学 固思
问题4 三角应用问题解答的一般步骤是什么?
(1)
分析 :审读题意,分清已知与未知,理解数学关系, 建模 :根据已知条件与求解目标,设角建立三角
画出示意图. (2) 式,选择适当三角函数模型. (3)
������
������ ������ ������ ������+������������������ ������
������
������- ������������������
=
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������������ +������������������ ������ ������
������
������������������������������������������������������ [ ������������������������+( ������������������������-������)][������������������������-(������������������������-������)] ������������������������������������������������������
������ ������ ������ ������ ������
2
������
������
2������
������������
������
������
2 ������
������
������ ������+������������������������ ������ ������
������
2
������
������
.
������ ������
【解析】由 sin( +θ )= 可知,cos θ = ,
������
������
则 cos 2 θ =2cos θ -1=2×( ) -1=- .
������ ������������
������
2
������
.. 导. 学 固思
4
已知 0<α<������ ,0<β<������ ,且 3sin β=sin(2α+β),4tan������ =1tan2 ������ ,求 α+β 的值.
3.3
三角函数的简单应用
.. 导. 学 固思
能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒 等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三 组公式不要求记忆).
.. 导. 学 固思
前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三
角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继 续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.
������������������ -������������������
=
( ������������������ -������������������ )(������������������ +������������������ )
������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ( ������������������ +������������������ ) ������ ������
.. 导. 学 固思
问题1 代数式变换与三角变换有什么不同呢?
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换 ,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会
有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三
角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此 为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要 特点.
(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边
,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
.. 导. 学 固思
问题3 三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值
代换.
(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正 切,利用同角的基本三角函数关系式 处在于减少了三角函数名称. 将正切化 为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好
.. 导. 学 固思
与平面向量的综合运用 已知向量 m=( ������sin������,1),n=(cos������,cos ������),若 m·n=1,求 cos( ������ -x)的值.
【解析】∵m·n= ������sin ·cos +cos = sin + ∴sin( + )= , ∴cos(x+ )=1-2sin ( + )= ,
.
【解析】因为左边= = = =
������������������������������������������������������ ������������������������ ������-(������������������������-������) ������������������������������������������������������
������������
������ ������ ������ ������
.. 导. 学 固思
二倍角、半角公式在解三角形中的运用 在△ABC 中,设 sin A+sin C=2sin B,A-C=������ ,求 sin B 的值.
【解析】∵sin A+sin C=2sin B,即 2sin ∴sin = cos
= .
������
������
由 3sin[(α +β )-α ]=sin[(α +β )+α ], 得 tan(α +β )=2tan α , ∴tan(α +β )=1.又∵0<α < ,0<β < ,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
.. 导. 学 固思
问题2 三角恒等变换的要求是什么?
(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称
尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含
三角函数,能求值的要求值. (2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联 系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的 范围.
������
������
D.1
cos π ������·2sin