第十六节动力学基本方程、动量定理、动量矩定理
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理论力学动量定理和动量矩定理研究课件ppt1
5-2-3 质心运动定理
y
由质心运动定理 FOy A
x
O
maC x mi xi FO x
FOx
B
G
而 故
l
l
mxC m1 FO x mxC
cos ωt
2
lω2
2
m2l cos ωt m3 ( m1 2 m2 2 m3
( l cos ωt )cos ωt
2
)
当 ωt π 时，
lω2
( mg π R )2 (2 mv )2 v
与 v 成 角,
tg -1 Img
2 mv
5-2-3 质心运动定理
1.定理
p m vC
dp dt
m aC
F e
①描述了质系质心运动与外力主矢的关系。 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。 ③ m aC mi ai
) 0.8
故 α 0.4rad/s2
Lz 不变，J z 变化， 变
5-2 质点系动量定理
z
l
rA
A
5-2-3 质心运动定理
3.曲柄滑槽机构。已知 ,OA l, BG l ，G为导杆
2 重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 m1 ,m2 ,m3 。试求支
座O动约束力。
A
O
G
B
5-2 质点系动量定理
•若考虑
有何变化?
1
•5-2 质点系动量定理
v mμg c ••当如杆 何端求A图没示离嘴开角墙6个角螺时拴m，拉AB力杆?的速度瞬心在Cv点，
，在任意 角位置时，有
空中降落伞很快达到vm
理论力学动力学部分3动量矩定理
x2
rdx
=
-2
1 2 1 -2
x2
m l
dx
=
1 12
ml 2
ò ò J y¢ =
l (x¢)2 r dx¢ =
0
l 0
( x¢) 2
m l
dx¢
=
1 3
ml 2
三 动量矩定理
18
[例] 图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆
板对其直径轴的转动惯量。
解：设板的密度为ρ。将圆板分成无数
同心的单元圆环，则单元圆环的质量
三 动量矩定理
26
6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的转动。
刚体在相对运 动中对质心的 动量矩定理
r dHC dt
r M
e C
JC
d 2j dt 2
MC
应用质心运动定理和相 对质心动量矩定理得刚 体平面运动微分方程
Mx&&C Fix
M&y&C Fiy
dt
=
Mr
C
(
Fri e
)
=
Mr
e C
4
三 动量矩定理
25
讨讨 论论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质 心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动 量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有 关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心 的动量矩守恒。
局部守恒： M x (F ) = 0 则: M x (mv) = 常量
1
三 动量矩定理
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
上一页 下一页
例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
上一页 下一页
( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
上一页 下一页
三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
物理力学公式
物理力学公式
物理力学公式是：
1、动量矩定理：F=ma（合外力提供物体的加速度）;
2、动能定理：W=1/2mV^2-1/2mv^2（合外力做的功等于物体的动能的改变量）;
3、动量定理：Ft=mV-mv（合外力的冲量等于物体动量的变化量）。
从牛顿运动微分方程组推导出来的具有明显物理意义的定理，计有动量定理、动量矩定理、动能定理、质心运动定理等四个。
动力学的基本内容
质点动力学、质点系动力学、刚体动力学，达朗伯原理等。
以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论、陀螺力学、外弹道学、变质量力学以及正在发展中的多刚体系统动力学等（见振动，运动稳定性，变质量体运动，多刚体系统）。
质点动力学有两类基本问题:一是已知貭点的运动，求作用于质点上的力，二是已知作用于质点上的力，求质点的运动，求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力。
理论力学_12.动量矩定理
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
例3 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
r
i
i
m iv
C
ri ) m i v
i
rC m i v i
ri m i v i
i
rC m v C
ri m i v
其中 L C ri m i v i 为质点系相对质心C的动量矩。 （注意：vi为质点的绝对速度。） 即 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩， 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
L z J z m 2 vr 1 2 ( m1r
2
J ，z
1
m1r ；
2
v r
m 2 vr
1 2
m 1 m 2 ) rv
系统所受外力对转轴z的矩为
M z ( Fi
(e)
) M
(e)
O
Fr M
O
f m 2gr
dL dt
z
M z (Fi
)
d 1 ( m m 2 ) rv M 2 1 dt
例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。
O1 B C
vr vr
vr
L O L O 1 rO 1 m v O 1 3 mv r R l 3 m l 0 3m (vr R l 0 )
理论力学,动力学,动量矩定理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO rC mvC ri mi vri
y
y
rC mvC LC
C
rC
ri ri
x
x
rC mvC LC
O
质系对固定点O的动量矩 等于将质系动量集中于质心对 于O的动量矩与其对质心的动 量矩的矢量和。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解：取整体为研究对象，进行受力
分析和运动分析 dLO M O ( Fi E ) dt
其 中 LO J M O PR
代入动量矩定理， PR2 得 ：a PR2 JO g
Mf
W FOy
FOx
P J PR vR ( )v g R g
lO r p r mv
§1 动量矩
一、动量矩的定义及计算 （一）质点的动量矩 2. 对任意固定轴z的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
lO
d xy
lz pxy d mvxy d
lz lO cos
量纲：ML2/T
以质系上其 注意： LC ri mi vri
LC
它点为基点，则 mi (vi vC ) r i 质系对固定点的 动量矩不具备上 ri mi v i 述形式！
例3：均质杆OC质量为m1，长为l，C端铰接一半径为r，质
量为m2的均质圆轮,轮在圆弧槽内纯滚动。图示瞬时杆的角 速度为，试求系统对点O的动量矩。
C
rC
ri
x
rC mi vri ri mi vC rC mi vri ( mi ri) vC
LO rC mvC ri mi vri
y
y
rC mvC LC
C
rC
ri ri
x
x
rC mvC LC
O
质系对固定点O的动量矩 等于将质系动量集中于质心对 于O的动量矩与其对质心的动 量矩的矢量和。
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解：取整体为研究对象，进行受力
分析和运动分析 dLO M O ( Fi E ) dt
其 中 LO J M O PR
代入动量矩定理， PR2 得 ：a PR2 JO g
Mf
W FOy
FOx
P J PR vR ( )v g R g
lO r p r mv
§1 动量矩
一、动量矩的定义及计算 （一）质点的动量矩 2. 对任意固定轴z的动量矩：
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lO
d xy
lz pxy d mvxy d
lz lO cos
量纲：ML2/T
以质系上其 注意： LC ri mi vri
LC
它点为基点，则 mi (vi vC ) r i 质系对固定点的 动量矩不具备上 ri mi v i 述形式！
例3：均质杆OC质量为m1，长为l，C端铰接一半径为r，质
量为m2的均质圆轮,轮在圆弧槽内纯滚动。图示瞬时杆的角 速度为，试求系统对点O的动量矩。
C
rC
ri
x
rC mi vri ri mi vC rC mi vri ( mi ri) vC
动量方程和动量矩方程 能量方程
dE动
2 dm 2 C 2 dm1C12 = − 2 2 dm 2 = (C 2 − C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 = dm 2 u 2 − dm1u1
= dm(u 2 − u1 )
3．位能增量 dE位
dE 位 = dm 2 gH 2 − dm1 gH 1
= dm( H 2 − H 1 ) g
( ρ 2 C 2 A2 dt )C 2 x − ( ρ1C1 A1 dt )C1x = m(C 2 x − C1x dt )
式中 m = ρ1C1 A1 = ρ 2 C 2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、 介绍பைடு நூலகம்量方程、动量矩方程 能量方程及其应用
三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 动量定理应用到流体的运动。取图 2—2所示的由流管两个横截面 、2和该两 所示的由流管两个横截面1、 和该两 所示的由流管两个横截面 截面之间流管的侧表面组成控制区， 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 在之间流体的动量不变， 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量， 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为 出动量变化量在 坐标方向的投影为
2 dm 2 C 2 dm1C12 = − 2 2 dm 2 = (C 2 − C12 ) 2
2．内能增量 dE内
dE内 = dm 2 u 2 − dm1u1
= dm(u 2 − u1 )
3．位能增量 dE位
dE 位 = dm 2 gH 2 − dm1 gH 1
= dm( H 2 − H 1 ) g
( ρ 2 C 2 A2 dt )C 2 x − ( ρ1C1 A1 dt )C1x = m(C 2 x − C1x dt )
式中 m = ρ1C1 A1 = ρ 2 C 2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
动量方程和动量矩方程 能量方程
介绍动量方程、 介绍பைடு நூலகம்量方程、动量矩方程 能量方程及其应用
三个方程的应用
动量方程和能量方程的应用 2/24
§2—2 动量方程和动量矩方程 一、动量方程 动量定理应用到流体的运动。取图2— 动量定理应用到流体的运动。取图 2—2所示的由流管两个横截面 、2和该两 所示的由流管两个横截面1、 和该两 所示的由流管两个横截面 截面之间流管的侧表面组成控制区， 截面之间流管的侧表面组成控制区，以该 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 区内的流体作为研究对象。设经时间后， 这块流体流到一个新的位置。 这块流体流到一个新的位置。计算这块流 体在单位时间内动量的变化。 体在单位时间内动量的变化。由于是定常 流，在之间流体的动量不变，因而所研究 在之间流体的动量不变， 的流体的动量变化就等于和这两块流体动 量之差。注意到动量是向量， 量之差。注意到动量是向量，则很容易写 出动量变化量在X坐标方向的投影为 出动量变化量在 坐标方向的投影为
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转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
+ +
m2 m2
y2
m1 + m2
= =
m2 e cost
m1 + m2
m2 e sint
m1 + m2
上式对t求二阶导数，得
d 2 xc dt 2 d 2 yc dt 2
于速度v，即 F = mv ，其中 m为比
例系数 。求活塞相对于液压缸的
运动规律。
上一页 下一页
解：把活塞抽象为质点
d2x m dt2
=
-F或m
dv dt
=
-mv
dv = -kv(k = m )
dt
m
v dv = - t kdt
v0
x
v
dx =
0
0
t 0
v0e-
kt
dt
解得x = v0 (1- e-kt )
若 F = 0，则 mv =常矢量，质点的动量守恒。
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二、质点系的动量定理
1. 质点系的质心及动量
xc =
mi xi M
yc =
mi yi M
Mvcx = mivix
Mvcy = miviy
求导，得
或M vc = P
2. 质点系的动量定理
上一页 下一页
d d(m tivi)=
上一页 下一页
例3 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大 三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) = 0 水平方向Px =常量。
运动分析，设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va =v +vr
=
m1
a
+
l 2
+
m2
a
M
m1 + m2
y a
s
当人到B点时，小车在 A'B' 位置
A’
A
xc'
=
m1
a
-
s
+
l 2
+
m2
(a
m1 + m2
-
s
+l)
由于 xc = xc' = 常量，故
m1
a
+
l 2
+
m2a
=
m1 a
-
s
+
l 2
+
m2 (a
-
s
+l)
m1 + m2
m1 + m2
解得 s = m2l m1 + m2
求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物（抽象为质点）为研究对象
②受力分析如图所示
③列微分方程
v2 m
=T
- G cosj
l
T = m(g cosj + v2 )
l
j v T
当j = 0时，v = v0,T Tmax
Tmax
=
m(g
+
v02 l
)
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例2 液压减振器的活塞在获得初速度 vo后作直线运动。活塞的阻力F正比
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (-v)+mvax =0
M (-v)+m(vrx -v)=0
\vrx = M +m Srx = M +m vm Sm
\
S
=
m M+
m
S
rx
=
m M+
m
(a
-
b)
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பைடு நூலகம்
第三节 质心运动定理
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将 P = M vc 代入质点系动量定理，得
( ) dM vc=dp=F (e)或 M ac=F (e)
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l
B’
B
x
上一页 下一页
例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量 为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心
O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
称为质点的运动微分方程。
1.直角坐标形式
max
=
m
d2x dt 2
=
Fx
may
=
m
d2y dt 2
=
Fy
maz
=
m
d2z dt 2
=
Fz
2.自然形式
Fx、 Fy 、 Fz 分别为 F 在x、y、z轴上
的投影 ；ax 、 ay 、 az分别为质点的加 速度在x、y、z轴上的投影 。
mat
=
m
d 2s dt 2
(i)
F+ i
(e)
F i
式中，F
(i i
)
——质点系内各质点之间的相互作用力。
即内力，
(i)
F
=
0
i
F
( i
e)——作用于第i个质点上的外力。
设P = mi vi ，则
d P =
(e)
F
=
F (e) ——质点系的动量定理
dt
i
投影形式
dpx dt
=
F (e) x
dpy dt
=
F (e) y
若 F (e) = 0质点系动量守恒。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
xc =
mi xi
=
Ft
man
=
v2 m
r
=
Fn
Fτ、Fn分别 F为在切向和法向的投影
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应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类 基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力； ②已知作用于质点上的力，求质点的运动。
例1 桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平
横离梁为作l。匀突速然运刹动车，，速重度物为因惯v0性，绕重悬物挂中点心O向至前悬摆挂动点，距
k
得v
=
dx dt
=
v0e-kt
第二节 动量定理
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一、质点的动量定理
1. 质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。
2. 质点的动量定理：
由动力学基本方程 ma = F ，得
d (mv) = F dt 质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。 即为质点的动量定理。
下一页
第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
第一节 动力学基本方程 第二节 动量定理 第三节 质心运动定理 第四节 动量矩定理 第五节 刚体定轴转动微分方程
第一节 动力学基本方程
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将动力学基本方程（ ma = F ）表示为微分形式的方程，
dt dt
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质 点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。
投影形式
M
d 2 xc dt 2
= Fx(e )
M
d 2 yc dt 2
=
F
(e
y
)
若 Fx(e) = 0, 则 acx = 0, vcx =常量，质心沿x方向速度不变；
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
+ +
m2 m2
y2
m1 + m2
= =
m2 e cost
m1 + m2
m2 e sint
m1 + m2
上式对t求二阶导数，得
d 2 xc dt 2 d 2 yc dt 2
于速度v，即 F = mv ，其中 m为比
例系数 。求活塞相对于液压缸的
运动规律。
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解：把活塞抽象为质点
d2x m dt2
=
-F或m
dv dt
=
-mv
dv = -kv(k = m )
dt
m
v dv = - t kdt
v0
x
v
dx =
0
0
t 0
v0e-
kt
dt
解得x = v0 (1- e-kt )
若 F = 0，则 mv =常矢量，质点的动量守恒。
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二、质点系的动量定理
1. 质点系的质心及动量
xc =
mi xi M
yc =
mi yi M
Mvcx = mivix
Mvcy = miviy
求导，得
或M vc = P
2. 质点系的动量定理
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d d(m tivi)=
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例3 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大 三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) = 0 水平方向Px =常量。
运动分析，设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va =v +vr
=
m1
a
+
l 2
+
m2
a
M
m1 + m2
y a
s
当人到B点时，小车在 A'B' 位置
A’
A
xc'
=
m1
a
-
s
+
l 2
+
m2
(a
m1 + m2
-
s
+l)
由于 xc = xc' = 常量，故
m1
a
+
l 2
+
m2a
=
m1 a
-
s
+
l 2
+
m2 (a
-
s
+l)
m1 + m2
m1 + m2
解得 s = m2l m1 + m2
求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物（抽象为质点）为研究对象
②受力分析如图所示
③列微分方程
v2 m
=T
- G cosj
l
T = m(g cosj + v2 )
l
j v T
当j = 0时，v = v0,T Tmax
Tmax
=
m(g
+
v02 l
)
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例2 液压减振器的活塞在获得初速度 vo后作直线运动。活塞的阻力F正比
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (-v)+mvax =0
M (-v)+m(vrx -v)=0
\vrx = M +m Srx = M +m vm Sm
\
S
=
m M+
m
S
rx
=
m M+
m
(a
-
b)
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பைடு நூலகம்
第三节 质心运动定理
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将 P = M vc 代入质点系动量定理，得
( ) dM vc=dp=F (e)或 M ac=F (e)
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l
B’
B
x
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例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量 为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心
O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
称为质点的运动微分方程。
1.直角坐标形式
max
=
m
d2x dt 2
=
Fx
may
=
m
d2y dt 2
=
Fy
maz
=
m
d2z dt 2
=
Fz
2.自然形式
Fx、 Fy 、 Fz 分别为 F 在x、y、z轴上
的投影 ；ax 、 ay 、 az分别为质点的加 速度在x、y、z轴上的投影 。
mat
=
m
d 2s dt 2
(i)
F+ i
(e)
F i
式中，F
(i i
)
——质点系内各质点之间的相互作用力。
即内力，
(i)
F
=
0
i
F
( i
e)——作用于第i个质点上的外力。
设P = mi vi ，则
d P =
(e)
F
=
F (e) ——质点系的动量定理
dt
i
投影形式
dpx dt
=
F (e) x
dpy dt
=
F (e) y
若 F (e) = 0质点系动量守恒。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
xc =
mi xi
=
Ft
man
=
v2 m
r
=
Fn
Fτ、Fn分别 F为在切向和法向的投影
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应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类 基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力； ②已知作用于质点上的力，求质点的运动。
例1 桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平
横离梁为作l。匀突速然运刹动车，，速重度物为因惯v0性，绕重悬物挂中点心O向至前悬摆挂动点，距
k
得v
=
dx dt
=
v0e-kt
第二节 动量定理
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一、质点的动量定理
1. 质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。
2. 质点的动量定理：
由动力学基本方程 ma = F ，得
d (mv) = F dt 质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。 即为质点的动量定理。
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
第一节 动力学基本方程 第二节 动量定理 第三节 质心运动定理 第四节 动量矩定理 第五节 刚体定轴转动微分方程
第一节 动力学基本方程
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将动力学基本方程（ ma = F ）表示为微分形式的方程，
dt dt
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质 点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。
投影形式
M
d 2 xc dt 2
= Fx(e )
M
d 2 yc dt 2
=
F
(e
y
)
若 Fx(e) = 0, 则 acx = 0, vcx =常量，质心沿x方向速度不变；
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。