大一上微积分试题(山东大学)
数学试题
热工二班
温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！
一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞
+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）
3、 计算I=dx e x e x x ⎰
-+2241sin π
π=（ ） 4、 设y=x e x 1sin
1
tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212x y x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦
⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）
Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ
７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）
Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是
（ ）
Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数
Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数
Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数
Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数
９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2
0()x f t dt ⎰ Ｂ．20()x
f t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()x
t f t f t +-⎰dt
１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）
Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy
Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０
三、计算，证明题（共６０分）
１１、求下列极限和积分 （１）222220
sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）
（２）0π
（５分）
（３）x →∞（５分）
１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f
＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x
⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
（１２分）
１３、设2
2300y x t e dt =⎰⎰（0x >）求dy dx。
（１２分） １４、求曲线221x y +=与232
y x =所围成的２个图形中较小一块分别绕ｘ轴，ｙ轴旋转所产生的立体的体积。
（１２分） １５、证明11
000(1)ln ()ln ln ()()x f u f x t dt du f u du f u ++=+⎰⎰⎰.（１２分） １６、（１）解微分方程"3'23x y y y xe -++=(4分)
（２）设()f x 在[]0,1上可导，()F x 20()x t f t dt =⎰，且(1)(1)F f =。
证
明，在()0,1内至少存在一点ξ，使2()
'()f f ξξξ=-．（8分）
恭喜您！成功闯关！呵呵……
数学试题答案
6、 填空题
1、 11x - 吉米P15-51
2、
21y x =+ 吉米P103-352 3、
316π 吉米P159-516 4、
1tan 21111cos tan sec x e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 吉米P48-166 5、 ()()10011000999!21000!(1)
y x x =-+⨯+ 二、选择题
6、 B 吉米P10-50
7、 C
8、 B 吉米P171-558
9、 D 吉米P171-557
10、 A 吉米P73-242
三、 计算和证明
11、（1）1/3 吉米P79-264
（2）4/5 吉米P143-461
（3）0（老师单元小结的时候提到的用拉格朗日中值定理，然后因为sinx 有界，即可得答案）
12、P63-215
13、28ln 22ln y x x x x
e - 吉米P150-483
14、1948
x V π= 10y V = 吉米P195-614 15 吉米P177-569
16、(1)课后习题5.3-5-（5）
（2）吉米P178-572
试题上各单元的比例安排可能不大合理，尽请谅解！祝各位同学期末考试考出好成绩，不给挂科乘虚而入的机会，呵呵……。
高等数学——微积分2.4 山东大学版
d tan x sec2 xdx ,
d sec x sec x tan xdx,
d csc x csc x cot xdx,
a
x
a ln a ,
x
e
x
e ,
x
d e e
x
d a x a x ln adx,
x
dx ,
7
log a x 1 , x ln a 1 ln , x 1 arcsinx , 1 x2 1 arccosx , 2 1 x arctan x 1 2 , 1 x
11
(2)因为 d (si n t ) costdt,
1 可见， cos tdt d sin t d si nt ,
1
1 即 ，d si nt costdt,
1 一般地，有： d si nt C costdt, (C为 任 意 常 数 )
等式两端除以 x , 得
y o( x ) A . x x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到 ox y lim A lim A. f x0 x 0 x x 0 x 因此, 如果函数 f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导, 且
9
2 x 1), 求 dy. 例2 y sin(
解
把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
大一微积分期末试卷及答案[1]
![大一微积分期末试卷及答案[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/e8d0b679e45c3b3567ec8bf7.webp)
微积分期末试卷 一、选择题（6×２）1~6 DDBDBD二、填空题1 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m xm x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求五、证明题。
1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 六、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
整理大学微积分题目带答案
第 1 页 共 2 页
微积分初步模拟试题答案及评分标
A4打印 / 可编辑
第 2 页 共 2 页 微积分初步模拟试题答案及评分标准
（供参考）
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈(2,3)∪(3,+∞) ⒈0 ⒈27(1+ln3) ⒈e x 2+C ⒈4
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈D ⒈C ⒈B ⒈A ⒈ C
三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：lim x→2x 2−3x+2
x 2+x−6=lim x→2(x−1)(x−2)(x+3)(x−2)=15 11分 ⒉解：y ′=2xe 1x +x 2e 1x (−1x 2) 9分
=e 1x (2x −1) 11分 ⒋解：∫(2x −1)10dx =12∫(2x −1)10d(2x −1)=122(2x −1)11+C 11分
⒌解：∫xe x dx =xe x |01−∫e x dx =e −e x |01=1
11分
四、应用题（本题16分）
解：设矩形的边长分别为x,y （厘米），则有2x +2y =120
又旋转成的圆柱体的体积为
V =πx 2y =πx 2(60−x)
求导得
V ′=3πx(40−x)
令V ′=0得x =40,(x =0舍去）。
V ′′=3π(40−2x)|x=40<0，说明x =40是极大值点，故当x =40,y =20厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
16分
整理丨尼克
本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。
高等数学—微积分(1)01-第3章思考题详细答案
f (x) ex c2
且 f (0) 1 则 c2 0 即 f (x) ex
第三章第三讲思考题答案
设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f '(x) 0. 试证：存在
, (a,b),使得 f '( ) eb ea e . f '() b a
证 令g(x) ex，则g(x)与f (x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件，故由柯西
第二步：使用罗尔定理. 由F (x)在[0,c]上连续，在(0,c)内可导，F(0)=F(c) 0， 根据罗尔定理至少存在一点 (0,c) (0,1)，使F '( ) 0, 即f '( ) 1.
第三章第二讲思考题答案
证明：已知f '(x) f (x) 则
f '(x) 1. 则 ln f (x) x c, 即 f (x)
sin 2 x2
x
1 3
第三章第五讲思考题答案
解
原式
lim
x 0
tan x x x 2 tan x
lim
x 0
tan x x3
x
lim sec2 x 1
x 0
3x 2
lim 1 cos2
x 0
3x 2
x1 cos2来自x1 3中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
2
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第七讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
3
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第八讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
4
第三章第六讲思考题答案
证 要证ab ba，只须证 b ln a a ln b 令 f (x) x ln a a ln x (x a) 因为 f (x) ln a a 1 a 0(x a)，所以f (x)在x a时单调增加 .
大一第一学期微积分寒假练习(含答案)
微积分寒假作业1、 确定常数b a ,，使0)1(lim 33=---∞→b x a x x2、 设301<<x ，),2,1()3(1 =-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0)ln(01)cos 1()(22x x b x x x x a x f 在0=x 连续，则=a ，=b 。
4、求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判断其类型。
5、设513)2sin )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求)0(,)(lim 20f x x f x →。
6、求不定积分，⎰+dx xxxx 4932 7、求不定积分，dx xx x ⎰++++2215)1ln(8、求不定积分，⎰++dx ee xx 221)1( 9、求不定积分，⎰++1222xxe edx10、求不定积分，⎰++dx x xx cos 1sin11、求不定积分，dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 12、求不定积分，⎰dx e e xxarctan13、求不定积分，⎰+++6321x x x ee e dx14、求不定积分，⎰+-dx x x x x sin cos sin cos 315、已知)(x f 的一个原函数为xxcos ，求⎰'dx x f x )(。
16、求函数的导数，10()()F x f xt dt =⎰17、求函数的导数，()0()y F y f x y dx =-⎰18、2220cos sin y x t e dt tdt y =+⎰⎰，求y '19、设2022()()t x f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪⎡⎤=⎣⎦⎩⎰，其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx20、设220()2()xf x a t a dt =-+-⎰，求（1）将()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2）将（1）的M 看作a 的函数，求M 为极小值时的a 值。
山东大学 微积分作业卷及答案(上下册)
(D)若 lim f ( x) lim g ( x) 0 ,当 0 x x0 时有 f ( x) g ( x) .
x x0 x x0
2. 当 x → 1 时,函数
(A) 等于 2
x 2 1 x1 e 1 的极限为 ( D ) x 1 (B) 等于 0 (C) 为 ∞x 1 0 NhomakorabeaD
x 1 0
)
(A) f ( x)在x 1无定义 (B) lim f ( x)不存在 (C) lim f ( x)不存在 2. 当 x → 0 时 f ( x) (A)无穷小量 1 1 sin 是 ( 2 x x (B)无穷大量
C )
x x0 x x0
(D) lim f ( x)不存在
解 lim f ( x) lim sin x 0, lim f ( x) lim a x 2 a ，故当 a=0 时 lim f ( x) 存在
x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0
此时 lim f ( x) 0
x 0
第 2 页，共 61 页
,b =
0
时 f(x)在(-∞,+ ∞)连续.
4.若 lim
sin 6 x xf ( x) 6 x sin 6 x 6 f ( x) 0, lim 36, 则 lim 3 3 x 0 x 0 x 0 x x x2
36
.
二、选择题
x 1, 0 x 1 1. f ( x) 在 x=1 处间断是因为 ( 2 x, 1 x 3
(D) 不存在但不为 ∞ ) (D) a =-1,b =-1
x2 3. 已知 lim ax b 0 ,其中 a,b 是常数,则 ( C x x 1
大一微积分练习题及答案
《微积分(1)》练习题一．单项选择题1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B.()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C.()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D.()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2.下列极限不存在的有( )A.201sin lim xx x → B.12lim 2+-+∞→x x x xC. xx e1lim → D.()xx xx +-∞→632213lim3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( )A.x e 22--B.x e 2-C.x e 24-D. x xe 22--4.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。
A.跳跃间断点;B.无穷间断点;C.可去间断点;D.振荡间断点5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0<b f a f 时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0=ξf ; B ． 对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξf x f x ;C ． 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ; D.至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim-=-'→ax x f ax ,则下列结论成立的有( )A.a x =就是()x f 的极小值点;B.a x =就是()x f 的极大值点;C.()()a f a ,就是曲线()x f y =的拐点;D.a x =不就是()x f 的极值点,()()a f a ,也不就是曲线()x f y =的拐点; 二．填空: 1.设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为4.曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f三．计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x(3)xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy (5)053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ,b ,使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
微积分（上）习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。
大一微积分试题
大一微积分试题1. 求函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0,2]$上的定积分。
解析：我们首先对函数$\displaystyle f( x)$进行积分，得到$\displaystyleF( x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$.然后，我们计算上下限值$\displaystyle F( 2) = \dfrac{2^{3}}{3} -2^{2} + 2= \dfrac{8}{3} - 4+ 2= \dfrac{2}{3}$和$\displaystyle F( 0) =0^{3} - 0^{2} + 0= 0$.根据定积分的定义，我们可以计算出$\displaystyle f( x)$在$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \int _{ 0}^{ 2}( x^{2} - 2x + 1) dx=\displaystyle [ \dfrac{2}{3}] ^{ 2} - \dfrac{1}{3}[ 2^{ 3} - 2x^{2} + 2] = \dfrac{2}{3} - \dfrac{8}{3} + 8- 4+ 2= \dfrac{2}{3}$。
因此，函数$\displaystyle f( x) = x^{2} - 2x + 1$在区间$\displaystyle [ 0, 2]$上的定积分为$\displaystyle \dfrac{2}{3}$。
2. 求函数$\displaystyle g( x) =\sqrt{ 1- x^{2}}$在区间$\displaystyle [ - 1, 1]$上的定积分。
解析：首先，我们将$\displaystyle g( x)$写成指数形式，得到$\displaystyle g( x) = ( 1- x^{2})^{ 0.5}$。
最新大一上微积分试题(山东大学)
数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）3、 计算I=dx e x e x x ⎰-+2241sin ππ=（ ） 4、 设y=x e x 1sin1tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212x y x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是（ ）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．20()x f t dt ⎰ Ｂ．20()xf t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()xt f t f t +-⎰dt１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dyＣ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分 （１）222220sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）0π（５分）（３）x →∞（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。