初中数学 初二数学平行四边形专题练习题(含答案)
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)测试题(含解析)
初中数学八年级下册第十八章平行四边形试题一、单选题1．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 恰好与点C 重合，点B 的对应点为点B ′，若DC ＝4，AF ＝5，则BC 的长为（ ）A ．B ．C ．10D ．82．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠A ＝∠CB ．∠A ＝∠BC ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC 3．已知：在△ABC 中，AC =BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF =DE ，那么四边形AFCD 一定是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．如图，在ABC 中，6AB CB ==，BD AC ⊥于点D ，F 在BC 上且2BF =，连接AF ，E 为AF 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．2B ．43C ．3D ．326．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连结AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点F ．若点F 是DE 的中点，9AD =， 2.5EF =，AEF 的面积为9，则点F 到BC 的距离为（ ）A ．1.4B ．2.4C ．3.6D ．4.87．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 是边AD 上的一点，将AEB △沿BE 所在的直线折叠，使点A 落在BD 上的点G 处，则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中，BC =20，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是DE 上一点，DF =4，连接AF ，CF ，若∠AFC =90°，则AC 的长度为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．20的长为( )A B ．3C ．D ．610．如图，等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于点E 、F ，CAD ∠的平分线分别交BE 、BC 于点M 、N ，连接DM 、EN ，下列结论：①DF DN =；②AE CN =；③DMN ∆是等边三角形；④EN NC ⊥；⑤BE 垂直平分AN ，其中正确的结论个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．如图，在Rt ABC △中，90,30,,,ACB A D E F ∠=︒∠=︒分别为,,AB AD AC 的中点．若2EF =，则BC 的长度为_______．12．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将 ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到 ABG ，若BE ＝2，则EF 的长为___．13．已知菱形ABCD 两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，则菱形EFGH 两条对角线的长分别是 _____．14．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，已知DF ＝5，则AE ＝_____．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．三、解答题16．如图，在ABCD 中，45BCD ∠=︒，BC BD ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 边上两点，FB 平分EFC ∠．(1)如图1，若2AE =，5EF =，求CD 的长；(2)如图2，若G 为EF 上一点，且GBF EFD =∠∠，求证：2FG FD AB +=．17．下面是小东设计的“作平行四边形ABCD ，使∠B ＝45°，AB ＝2cm ，BC ＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B ＝45°；②在∠B 的两边上分别截取BA ＝2cm ，BC ＝3cm ．③以点A 为圆心，BC 长为半径画弧，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；则四边形ABCD 为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵AB ＝ ，CB ＝ ，∴四边形ABCD 为所求的平行四边形（）（填推理的依据）．18．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是______（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．19．如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF BE =，连接AF ，DE ，DF ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，4DE =，5BF =，求DF 的长．参考答案：1．D【详解】解：由折叠得：FA＝FC＝5，∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，∴△CDF是直角三角形，∴DF==3，∴BC＝AD＝AF+DF＝8；故选：D．2．A【详解】解：A、在▱ABCD，若∠A=∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠B，∴∠A=∠B=90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC=BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．3．B【详解】解：∵E是AC中点，∴AE=EC，∵DE=EF，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AD =DB ，AE =EC ，∴DE =12BC ，∴DF =BC ，∵CA =CB ，∴AC =DF ，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．4．B【详解】解：6,2CB BF == ，4CF CB BF ∴=-=，6,AB CB BD AC ==⊥ ，AD CD ∴=（等腰三角形的三线合一），即点D 是AC 的中点，E 为AF 的中点，DE ∴是ACF 的中位线，122DE CF ∴==，故选：B ．5．D【解析】略6．B【详解】如图，连接BE ，交AD 于点O ．过点E 作EH BC ⊥于点H ，点F 作FG BC ⊥于点G ，由翻折可知AB =AE ，BAO EAO ∠=∠，BD =DE ，又∵AO =AO ，∴()BAO EAO SAS ≅ ，∴BO =EO ，BOA EOA ∠=∠，∴AD BE ⊥．∵点F 是DE 的中点，EF =2.5，∴DF =EF =2.5，BD =DE =5，∴ADF 和AEF 等底同高，∴18ADE AEF ADF S S S =+= ．∵12ADE S AD OE =⋅ ，∴19182OE ⨯⨯=，解得：4EO =．∴在Rt ODE △中，3OD ===，∵8BE OB OE =+=．∴11831222BDE S BE OD =⋅=⨯⨯= ．又∵11522BDE S BD EH EH =⋅=⨯⨯ ，∴15122EH ⨯⨯=，解得： 4.8EH =．∵点F 是DE 的中点，EH BC ⊥，FG BC ⊥，∴FG 为DEH △中位线，∴1 2.42FG EH ==．故选B ．7．B【详解】解：根据题意得： 6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， ，在矩形纸片ABCD 中，90BGE A ∠==︒ ，∴10BD === ，∴4DG BD BG =-= ，设AE x = ，则,8EG x DE x ==- ，在Rt DEG △ 中，222DG EG DE += ，∴()22248x x +=- ，解得：3x = ，即3AE = ．故选：B8．B【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC =10，∴EF =DE -DF =10-4=6，在Rt △AFC 中，AE =EC ，∴AC =2EF =12，故选：B ．9．C【详解】解：∵∠AOD =120°，∠AOD +∠AOB =180°，∴∠AOB =60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OB =OC ，∠ABC =90°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB =OA =OC ，∵AB =3，∴AC =6，∴BC = =故选：C ．10．C【详解】解：90BAC ∠=︒ ，AC AB =，AD BC ⊥，45ABC C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=︒=∠，BE 平分ABC ∠，122.52ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠=︒，9022.567.5BFD AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒，67.5AFE BFD AEB ∴∠=∠=∠=︒，AF AE ∴=，M 为EF 的中点，AM BE ∴⊥，90AMF AME ∴∠=∠=︒，9067.522.5DAN MBN ∴∠=︒-︒=︒=∠，在ΔFBD 和ΔNAD 中FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ΔΔFBD NAD ASA ∴≅，DF DN ∴=，故①正确；∵AN 平分∠CAD ，∴122.52CAN DAN CAD ABF ∠=∠=∠=︒=∠，在AFB ∆和ΔCNA 中4522.5BAF C AB ACABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ΔΔAFB CAN ASA ∴≅，AF CN ∴=，AF AE =，AE CN ∴=，故②正确；= AE AF ，M 为EF 的中点，AM EF ∴⊥，90AMF ∴∠=︒，同理90ADB ∠=︒，BFD AFE ∠=∠ ，BE 平分ABC ∠，MBA MBN ∴∠=∠，AN BM ⊥ ，90AMB NMB ∴∠=∠=︒，1801809022.567.5BNM BAM AMB ABM ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，BA BN ∴=，AM MN ∴=，BE ∴垂直平分AN ，故⑤正确；22.522.545DMN DAN ADM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，45BMD ∴∠=︒，4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ，1804567.567.5MDN DNM ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠，DM MN ∴=，ΔDMN ∴是等腰三角形，而67.5MND ∠=︒，ΔDMN ∴不是等边三角形，故③错误，AM MN = ，AN BE ⊥，AE EN ∴=，NE NC ∴=，45NEC C ∴∠=∠=︒，90ENC ∴∠=︒，EN NC ∴⊥，故④正确；即正确的有4个，故选：C ．11．4【详解】解：∵,E F 分别为,AB AC 的中点．∴24CD EF == ，∵90ACB D ∠=︒,为AB 的中点．∴12CD AB BD == ，∵30A ∠=︒，∴9060B A ∠=︒-∠=︒ ，∴BCD △ 是等边三角形，∴4BC CD ==．故答案为：412．5【详解】解：由旋转的性质可知：AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，180ABG ABE ∠+∠=︒ ，∴点G 在CB 的延长线上，四边形ABCD 为正方形，90BAD ∴∠=︒．又45EAF ∠=︒ ，45BAE DAF ∴∠+∠=︒．45BAG BAE ∴∠+∠=︒．GAE FAE ∴∠=∠．在GAE ∆和FAE ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GAE FAE SAS ∴∆≅∆，EF GE∴=，2EF GE GB BE DF∴==+=+，222EF CF EC=+，222(2)(6)(62)DF DF∴+=-+-，3DF∴=，5EF∴=，故答案为：5．13．-【详解】解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴OA=12AC=4，OB=12BD=3，AC⊥BD，∴AB，∴菱形ABCD的周长是：5×4=20，面积是：12×6×8=24．∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，∴菱形EFGH的边长是10，设菱形EFGH的对角线为2a，2b，∴a2+b2=100，12×2a×2b=48，∴a，b∴菱形EFGH两条对角线的长分别是故答案为：2，14．5【详解】∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴BC＝2DF＝10，在Rt△ABC中，E为BC的中点，152AE BC ==故答案为：5．15．3【详解】解：连结PC ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠BAC ＝30°，∴AB =2BC =4，∵将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，∴A B ''=AB =4，∵M 为BC 中点，∴CM =112122BC =⨯=，∵点P 为A B ''的中点，△A B C ''是直角三角形，∴CP =A B 114222¢¢==，根据两点间距离得出PM ≤PC +CM ，当点P 、C 、M 三点共线时PM 最大，PM 最大=PC +CM =2+1=3．故答案为：3．16．(1)7(2)见解析(1)解：在ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，∴∠EBF =∠CFB ，∵FB 平分EFC ∠，∴∠EFB =∠CFB ，∴∠EFB =∠EBF ，∴BE =EF =5，∵AE =2，∴CD =AB =AE +BE =7；(2)证明：如图，再CF 上截取FN =FG ，∵GFB NFB BF BF GF FN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()BFG BFN SAS ≅ ，∴∠BGF =∠BNF ，∵180EFD BFG BFN ︒∠+∠+∠= ，∠BFG +∠BGF +∠GBF =180°，∠GBF =∠EFD ，∴∠BGF =∠BFN ，∴∠BFN =∠BNF ，∴∠BFD =∠BNC ，∵BC ⊥BD ，∴∠CBD =90°，∵∠BCD =45°，∴∠BDC =∠BCD =45°，∴BC =BD ，∴△BDF ≌△BCN （AAS ），∴NC =FD ，∴CD =DF +FN +CN =2FD +FG ，∵AB =CD ，∴FG +2FD =AB ．17．(1)见解析(2)CD ；AD ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形(1)补全图形如下，．(2)∵AB =CD ，CB =AD∴四边形ABCD 为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：CD ，AD ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．18．（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；（3）【详解】（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒ ，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF = ，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF = ，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，45EAF ∠=︒ ，45NAE ∴∠=︒，NAE FAE ∴∠=∠，AE AE = ，()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，EF EN ∴=，BE BN NE DF EF ∴=+=+．即BE EF DF =+．故答案为：BE EF DF =+．（3）解：由（1）可知AE AG ==正方形ABCD 的边长为6，6DC BC AD ∴===，∴3===DG ．3BE DG ∴==，633CE BC BE ∴=-=-=，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，222CF CE EF += ，222(6)3(3)x x ∴-+=+，解得：2x =．2DF ∴=，AF ∴===．19．(1)见解析(2)125(1)∵BE ＝CF ，∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∵ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴四边形AEFD 为矩形．(2)∵四边形AEFD 为矩形，∴AF ＝DE ＝4，DF =AE ，∵3AB =，4DE =，5BF =，∴AB 2+AF 2＝BF 2，∴△BAF 为直角三角形，∠BAF ＝90°，∴1122ABF S AB AF BF AE =⨯=⨯ ，∴AE =125，∴125DF AE ==．。
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．243．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）A ．22B ．23C ．231+D ．232+ 4．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A 3B ．2C ．23D ．45．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE 6．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433a b + 7．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形8．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．25B ．5C ．45D ．109．如图，己知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确．．的是（ ）A ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形D ．若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是正方形10．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形11．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．2012．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º13．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα= 15．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( ) A ．若∠ACP=45°， 则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245二、填空题16．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．17．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．19．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．20．如图，将ABCD 沿对角线AC 进行折叠，折叠后点D 落在点F 处，AF 交BC 于点E ，有下列结论：①ABF CFB ≌；②AE CE =；③//BF AC ；④BE CE =，其中正确结论的是__________．21．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．22．如图，正方形ABCD 中，5AD =，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且4AE FC ==，3BE DF ==，则EF 的平方为________．23．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为_____．24．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．25．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．26．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．三、解答题27．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，求AC 的长度．28．用总长度为4a 的铁丝可围成一个长方形或正方形，小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对不对？请你用数学知识进行说理．29．已知，如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 的中点，点E ，F 分别是AC ，BC 上的动点，且始终满足CE BF =，（1）证明：DE DF =；（2）求EDF ∠的大小；（3）写出四边形ECFD 的面积与三角形ABC 的面积的关系式，并说明理由．30．在ABC 中，23,AB CD AB =⊥于点,2D CD =．（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，①AC 的长为________；②延长AC 至点E ，使得CE AC =，此时CE 与CB 的数量关系是_______，BCE ∠与A ∠的数量关系是_______；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画BCE ∠（点E 与点D 在直线BC 的异侧），使2BCE ∠=,A CE CB ∠=，连接AE ． ①按要求补全图形；②求AE 的长．。
八年级初二数学平行四边形练习题含答案
八年级初二数学平行四边形练习题含答案一、解答题1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结⊥，则论：如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC BD 2222+=+．AB CD AD BC（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．3．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________． 5．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．6．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．7．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．8．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.9．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．10．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴DB=2CB，当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，故答案为：DE=2CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF，设BC交DF于P，∵BF⊥DE，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB，∴∠CDP=∠FBP，在△CDG和△CBF中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴DE=2CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴FG=2CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴DE=2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴HF=2DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ，∴2DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即AF+CF=2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴FH=2DF ，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴AF+CF=2DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF-AH=AF-CF ，∴AF-CF=2DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中， AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH-AF=CF-AF=HF ，∴DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：DF 或DF ，故答案为：DF 或DF ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．2．（1）证明见解析；（2【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，2，2，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴73【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．3．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．4．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5．【分析】（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒45APB ∠=︒，∴+180APB PAC ∠∠=︒，∴//PB AC∴四边形APBC 是平行四边形； ②四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=︒，90ADC QDT ∠=∠=︒，∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=︒∠=∠，AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=︒，AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=︒；（3）CH=5，理由如下：如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=︒， 又EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=︒设AE=x ，1,3AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1 在Rt HGC △中，()()22222243331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)；当x=2时，AB=6，∴CH=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．5．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF 3105【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BD 2AB 22BC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．6．（1）8-2t ，8-t ；（2）83或74【分析】（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．【详解】解：（1）由题意可得：DP=2t ，AQ=t ，∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，故答案为：8-2t ，8-t ；（2）当PQ=PB 时，如图①，QH=BH ，则t+2t=8，解得，t=83， 当PQ=BQ 时，（2t-t ）2+62=（8-t ）2，解得，t=74， 当BP=BQ 时，（8-2t ）2+62=（8-t ）2，方程无解；∴当t=83或74时，△BPQ 为等腰三角形． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．7．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：，12，32 【分析】（1）根据勾股定理计算BC 的长度,（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论.【详解】（1）∵BD ⊥CD∴∠BDC =90°，BC >CD∵在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，∴AB =AD =CD =3,∵BD=4，∴BC 5=,（2）正确．如图所示：∵AB =AD∴ΔABD 是等腰三角形．∵AC ⊥BD ．∴AC 垂直平分BD ．∴BC =CD∴CD =AB =AD =BC∴四边形 ABCD 是菱形．（3）存在四种情况，如图2，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过C 作CF PE ⊥于F ，则∠CFE=90,∵EP 是AB 的垂直平分线，∴90AEF A ==∠∠ ,∴四边形AEFC 是矩形，在Rt ABC 中，2,2AB AC BC === , ∴22CF AE BE ===, ∵2AB PC ==∴226PF PC CF =-= ∴BEP CFP AEFC S S S S =++四边形ABPC 矩形12621262222⎛⎫=⨯⨯++⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎭ 33+= 如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AP BP AC AB ==== , ∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422ABP ABC S S S =+=⨯+⨯⨯=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线，∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点，∴1222BE AB == , ∴2222214222PE PB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴ACBP 11417222122APB ABC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+四边形 如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，∵2AB AC PB ===∴6PE = ∴16123122222APB APC ABPC S SS +=+=⨯+=四边形【点睛】 本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.8．（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由见解析；【分析】（1）按照题意，尺规作图即可；（2）连接PE ，先证明PQ 垂直平分BE ，得到PB=PE ，再证明60APE ∠=︒，得到30AEP ∠=︒，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答； （3）NQ=2MQ 或NQ=MQ ，分两种情况讨论，作辅助线，证明ABE FQP ∆≅∆，即可解答.【详解】（1）如图1，分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ；图1（2）①连接PE ，如图2，图2点M 是BE 的中点，PQ BE ⊥∴PQ 垂直平分BE ．∴PB PE =，∴90906030PEB PBE AEB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，∴2BP EP AP ==．②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由如下，分两种情况：I 、如图3所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．图3正方形ABCD 中，AB BC =，∴FQ AB =．在Rt ABE △和Rt FQP 中，BE PQAB FQ =⎧⎨=⎩∴()ABE FQP HL ≌．∴30FQP ABE ∠=∠=︒． 又60MGO AEB ∠=∠=︒，∴90GMO ∠=︒， CD AB ．∴30N ABE ∠=∠=︒．∴2NQ MQ =．Ⅱ、如图4所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．图4同理可证ABE FQP ≌．此时60FPQ AEB ∠=∠=︒． 又FPQ ABE PMB ∠=∠+∠，30N ABE ∠=∠=︒．∴30EMQ PMB ∠=∠=︒．∴N EMQ ∠=∠，∴NQ MQ =．【点睛】本题为正方形和三角形变化综合题，难度较大，熟练掌握相关性质定理以及分类讨论思想是解答本题的关键.9．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）152【分析】 （1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD∴//AB CD∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠∵点O 是对角线BD 的中点∴OD OB =∴()OFD OEB AAS △≌△∴DF BE =∵//DF BE∴四边形DEBF 是平行四边形（2）∵四边形DEBF 是平行四边形∴DF BE =,DE FB =若DE=BE∴=DF BE DE FB ==∴四边形DEBF 是菱形又∵四边形DEBF 是平行四边形，若EF BD ⊥∴四边形DEBF 是菱形∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；（3）设BE=DE=x∵AB=8∴AE=8-x∵直角三角形ADE2226(8)x x +-= 解得：254x = 25BE 4= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD∵111222BDES BD EF BE AD =⨯=⨯△∴11125106 2224EF⨯⨯=⨯⨯∴152 EF=．【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．10．（1）AP⊥BF，12AP BF=（2）见解析；（3）1≤AP≤2【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理可得12AP ED PD==，即△APD为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得1122AP ED BF==即12AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点，利用P是DE中点，构造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得1122 AP AQ FB ==（3）由于12AP BF=即求BF的取值范围，当BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1当BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2可得1≤AP≤2【详解】（1）根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得12AP ED PD==，即△APD为等∴∠DAP=∠EDA又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD ∴△AED≌△ABF∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED设AP与BF相交于点O∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB∴∠AOF=90°即AP⊥BF∴1122AP ED BF==即12AP BF=故答案为AP⊥BF，12 AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP∵P是DE中点，∴EP=DP∴△AEP≌△PDQ则∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）=180°-∠EAD而∠FAB=180°-∠EAD，则∠QDA=∠FAB∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD∴△FAB≌△QDA∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB而∠EAP+∠FAG=90°∴∠AFB+∠FAG=90°∴∠FAG=90°即AP⊥BF又1122 AP AQ FB ==∴1 AP2BF=（3）∵12 AP BF=∴即求BF的取值范围BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2∴ 1≤AP≤2【点睛】掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线，灵活运用各种角关系是解题的关键．。
初二平行四边形练习题含答案
初二平行四边形练习题含答案本篇文章将为初二学生提供一些关于平行四边形的练习题，并附带答案，帮助学生巩固对平行四边形的理解和应用。
以下是一些练习题，希望对同学们有所帮助。
练习题一：已知平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点。
若AE的长度为8cm，求线段EF的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，连结AC和BD两线段的中点为G，那么EG = GF。
由于AE的长度为8cm，AB和CD平行，所以AC的长度为16cm。
根据三角形EGC和GFC的相似性，可得EF与GF之比等于AC与CG之比，即EF/GF = AC/CG。
由于AC的长度为16cm，而CG的长度为8cm（CG为AC的中点），所以EF/GF = 16/8，即EF/GF = 2。
因此，EF的长度为GF的2倍，即EF = 2 * GF。
由于EG= GF，所以EF = 2 * EG。
代入已知条件，得到EF = 2 * 8 = 16。
因此，线段EF的长度为16cm。
练习题二：在平行四边形EFGH中，已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，角EFG的度数为120°，求线段GH的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，EF与GH的长度相同，FG与EH 的长度相同，且角EFG与角HGE互补（即两个角的度数之和为180°）。
已知EF的长度为10cm，FG的长度为8cm，所以GH的长度也为8cm。
又已知角EFG的度数为120°，根据平行四边形内角和定理，可得角HGE的度数为180° - 120° = 60°。
因此，线段GH的长度为8cm。
练习题三：已知平行四边形IJKL中，IJ的长度为12cm，KL的长度为20cm，角KJL的度数为110°，求角KIL的度数。
解答：由平行四边形的性质可知，角IJK与角KJL互补（即两个角的度数之和为180°），角IJK与角KIL互补。
已知角KJL的度数为110°，所以角IJK的度数为180° - 110° = 70°。
初中数学平行四边形练习题(含答案)
初中数学平行四边形练习题（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边相等，一组对角相等C ．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D ．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ，则△AED 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．下列不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A ．两组对角分别相等B ．两组对边分别相等C ．一组对边平行且相等D ．一组对边平行，另一组对边相等4．只用下面的一种正多边形，不能进行平面镶嵌的是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，已知▱ABCD 的面积是20 cm 2，则图中阴影部分的面积是( )A ．12 cm 2B ．10 cm 2C ．8 cm 2D ．5 cm 26. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，CG ⊥BF ，垂足为点G ，若BF ＝4，则线段CG 的长为( )A.152B ．4 3C ．215 D.557．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A．5种B．4种C．3种D．1种8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有()A．3对B．2对C．1对D．0对9．如图，在四边形ABCD中，E，F，P，Q分别为AB，AD，BC，CD的中点．若∠ABC＝90°，∠AEF＝60°，则∠CPQ的度数为()A．15° B．30°C．45° D．60°10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD 于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG.则△BEG的面积为()A．16 3 B．14 3C．8 3 D．73二．填空题（共8小题，3*8=24）11．一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是_________边形．12. 如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1－∠2＝______.13．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O.E是CD的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为________．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是____________．15．如图，面积为12 cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC的3倍，则四边形ACED的面积为_________．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝22，则▱ABCD 的周长是________．17．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2.过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点，过点P作PD∥OY 交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E.设OD＝a，OE＝b，则a＋2b的取值范围是___________.18．如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD，则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是____________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF ，连接EF 交BD 于点O.求证：OB ＝OD.20．(8分) 是否存在一个多边形，它的每一个内角都相等且等于相邻外角的14请说明理由．21．(8分) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边上的中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F.(1)求证：AD ＝BF ；(2)若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形EBCD 的面积．22．(10分) 如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．23．(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE.(2)过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．24．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别延长BE，CD交于点F.(1)AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；(2)CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．25．(12分) 在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG.(1)如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG＋BG；(2)如图2，当EF与CD相交，且∠EAB＝90°时，请你写出线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案1-5CBDCD 6-10CCABB11. 七 12. 72° 13.15 14.3＜x ＜11 15. 60 cm 2 16．8 17. 2≤a ＋2b≤5 18.互相平分19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠ADB ＝∠CBD.又∵AE ＝CF ，∴AE ＋AD ＝CF ＋BC.∴ED ＝FB.又∵∠EOD ＝∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB(AAS)．∴OB ＝OD.20. 解：不存在，理由如下：假设存在这样的一个多边形，设其一个外角的度数度为x°，则相邻的内角度数为180°－x°，由题意，得14x ＝180－x ， 解得x ＝144，即这个多边形的每一个外角的度数都是144°，由多边形的外角和为360°，得这个多边形的边数为360°÷144°＝2.5，因为多边形的边数应为整数，所以不存在这样的多边形．21. 解：(1)∵E 是AB 边上的中点，∴AE ＝BE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠F.在△ADE 和△BFE 中，∠ADE ＝∠F ，∠DEA ＝∠FEB ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BFE.∴AD ＝BF(2)过点D 作DM ⊥AB 与M ，则DM 同时也是平行四边形ABCD 的高．∴S △AED ＝12×12AB·DM ＝14AB·DM ＝14×32＝8， ∴S 四边形EBCD ＝S ▱ABCD －S △ADE ＝32－8＝2422. 证明：如图所示．∵点O 为▱ABCD 对角线AC ，BD 的交点，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵G ，H 分别为OA ，OC 的中点，∴OG ＝12OA ，OH ＝12OC. ∴OG ＝OH.又∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.在△OEB 和△OFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OB ＝OD ，∠3＝∠4，∴△OEB ≌△OFD(ASA)．∴OE ＝OF.∴四边形EHFG 为平行四边形．23．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＝∠ECF.∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE.在△ABE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠ECF ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.(2)解：CH ⊥DG.理由如下：由(1)知△ABE ≌△FCE ，∴AB ＝CF.∵AB ＝CD ，∴DC ＝CF ，即点C 为DF 的中点．∵H 为DG 的中点，∴CH ∥FG.∵DG ⊥AE ，∴CH ⊥DG.24. 解：(1)AD ＝2AB.证明如下：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠FBC ＝∠AEB ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，同理可证：CD ＝DE ，∴AD ＝AE ＋ED ＝AB ＋CD ＝2AB.(2)CE ⊥BF.证明如下：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCD ＝2∠BCE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴2∠EBC ＋2∠BCE ＝180°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即CE ⊥BF.25. 解：(1)证明：如图①，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 于点H ，设EF 与AB 相交于点P.则∠GAB ＝∠HAE.∵∠EAB ＝∠EGB ，∠APE ＝∠BPG ，∴∠ABG ＝∠AEH.在△ABG 和△AEH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠HAE ，AB ＝AE ，∠ABG ＝∠AEH ，∴△ABG ≌△AEH(ASA)．∴BG ＝EH ，AG ＝AH.∵∠GAH ＝∠EAB ＝60°，∴△AGH 是等边三角形．∴AG ＝HG.∴EG ＝AG ＋BG.(2)EG ＝2AG －BG.证明如下：如图②，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 的延长线于点H.∴∠GAB ＝∠HAE.∵∠EGB ＝∠EAB ＝90°，∴∠ABG ＋∠AEG ＝∠AEG ＋∠AEH ＝180°.∴∠ABG ＝∠AEH.又∵AB ＝AE ，∴△ABG ≌△AEH ，∴BG ＝EH ，AG ＝AH.∵∠GAH ＝∠EAB ＝90°，∴△AGH 是等腰直角三角形． ∴2AG ＝HG.∴EG ＝2AG －BG.。
八年级初二数学 平行四边形练习题及答案
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动。已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t秒.
（1）求CD的长.
（2）t为何值时？四边形PBQD为平行四边形.
（3）在点P，点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.
10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．
（1）线段 _________ ；
（2）求证： ；
（3）当 为何值时，以 为顶点的四边形为平行四边形？
7．如图,已知平面直角坐标系中, 、 ,现将线段 绕 点顺时针旋转 得到点 ,连接 .
(1)求出直线 的解析式；
(2)若动点 从点 出发,沿线段 以每分钟 个单位的速度运动,过 作 交 轴于 ,连接 .设运动时间为 分钟,当四边形 为平行四边形时,求 的值.
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE= AC，在 应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形；
（2）
∵四边形 是菱形
∴
∵
∴
要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
八年级平行四边形专题练习(含答案)
中考专题复习平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。
（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。
变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。
娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。
例1图 O F E D CB A 例2图探索与创新：【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。
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图1 初二数学平行四边形专题练习
1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．
2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．
3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．
4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝
5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .
6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．
7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，
B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形
ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．
二、选择题（每题3分，共30分）
8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )
A ．110°
B ．30°
C ．50°
D ．70°
图2 图3 图4
9．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A ．对角相等
B ．四边相等
C ．对角线互相平分
D ．四角相等
10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )
A ．3 cm
B ．6 cm
C ．9 cm
D ．12 cm
11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边
AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，
则图中阴影部分的面积为 ( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．3
12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形
( ) E A F D C B H G
A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤
13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )
A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm
图5 图6
14、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150
∠=，∠=（）
则AEF
A．110° B．115°
C．120° D．130°
15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）
AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=AD
A.2组
B.3组
C.4组
D.6组
16、下列说法错误的是（）
A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.
B.每组邻边都相等的四边形是菱形.
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.
D.四个角都相等的四边形是矩形.
三、解答题
17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,
BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
图7
18、已知：如图8，菱形ABCD的周长为16 cm，
∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长.
图8
19、如图9，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，
PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
B C D
E
20、在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB, 图9 DF ⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA 是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明）
图10
21、如图11，ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ， 试问：四边形ABEF 是什么图形吗？
请说明理由.
参考答案
一、填空题
1. 2
2. 8 3、AC⊥BD 4、22 5、150°或15°6、47、（2 ，5）
二、选择题8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.B 14.B 15.C
16.9.6 CM 17、AC＝4 cm , BD＝4
18.证明：连结PC∵四边形ABCD为平行四边形∴AB＝AC ，∠ABD＝∠DPC ∠BCD ＝90°∵BP＝BP∴△ABP≌△CBP∴AP = CP∵PE⊥BC，PF⊥DC∴四边形PECF为矩形∴EF＝PC∴EF＝AP
19、证明：⑴连结AD∵AB＝AC，D为BC的中点∴AD为∠BAC的平分线∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE＝DF ⑵∠BAC＝90°DE⊥DF
20、菱形
∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC ，∠2＝∠3∵AB∥EF∴四边形ABED为平行四边形∵∠2＝∠1∴∠1＝∠3∴AB＝BE∴四边形ABED为菱形。