数形结合在不等式证明中的应用
数学解题中数形结合作用论文
数学解题中数形结合作用论文一、研究数形结合思想的必要性所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
基本不等式教学重难点分析
基本不等式教学重难点分析对于本节课教学中出现的教学重难点，我认为教学重点有两点：一是应用数形结合的思想理解基本不等式，二是从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
而难点也有两个1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称“一正、二定、三相等”）；2、利用基本不等式求解简单的最值问题。
在解决本节课重难点之前，我做了如下设计：一、教学目标知识与能力：1、理解并掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题。
2、理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式。
过程与方法：1、通过探究问题引入课题，剖析公式过程中，引导学生从数形两方面探索基本不等式的证明过程，突破本节课的难点。
2、变式练习和应用举例的设计，加深学生对基本不等式的理解。
在对基本不等式的应用过程中，培养学生证明过程的严密性和良好的思维能力。
情感、态度与价值观：1、通过问题情境的设置，使学生认识到数学来源于生活，培养学生举一反三的逻辑推理能力。
2、通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的能力。
二、对教学内容及模块整体分析本节课选自人教版A版必修5第三章第四节《基本不等式：》的第一课时，是在系统学习了不等关系、不等式性质和线性规划的基础上对不等式的进一步研究。
教材在探索基本不等式的证明过程时，用到了多种数学方法：作差法、分析法和综合法，同时也渗透了数形结合、化归等重要思想，而且基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，作为重要的基本不等式之一，为后续学习(选修4-5)《不等式选讲》奠定了基础。
因此，本节课在高中数学课中有着重要的地位。
三、学情分析学生在初中已经学过一元一次不等式的解法和不等式的基本性质，同时在本章前三节又学习了比较大小、一元二次不等式的解法和简单的线性规划，这样学生对不等式有了初步的了解，学会运用不等式。
但学生接触的不等式形式较为单一，灵活度不够，在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，无疑为学生掌握设置了障碍。
柯西不等式的3种变式及其应用
柯西不等式的3种变式及其应用
柯西不等式证明可以用构造法、数形结合法等。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
柯西不等式：ai,bi∈r，求
证:(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2。
结构法，结构n佩向量：α=(a1,a2,...,an)，β=(b1,b2,...,bn)，
则
√(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|α|*|β|≥|α|*|β|*cos\ucα，β\ue=α*β=a1*b1+a2*b2+...+an*bn，
两边同时平方得：
(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2。
还有其他方法：数形结合法：
柯西不等式的公理化读法就是：记两列数分别就是ai, bi，则存有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2
我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们晓得恒存有
f(x) ≥ 0
用二次函数并无实根或只有一个实根的条件，就存有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0
移项获得结论。
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
(完整版)数形结合思想例题分析(最新整理)
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x2 y2 z2 , z
求证： rz xy.
C
x2 r2 x2
y A
r
x
B z
分析：由 x2 y2 z2 , 自然联想到勾股定理。由 z x2 r 2 x2. 可以联想到
则 G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长 DB 至 F，使 BF//AG 且
BF=AG，连接 GF.
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
D
1 a Eb B
2
DG DF 2 GF 2 32 22 13
G
2
F
CE+DE 的最小值是 13.
即 a2 4 b2 1 的最小值是 13.
AB CF ＞ AC BE
当A 90时 , AB CF = AC BE .
3 /5
数形结合思想例题分析
综上： AB CF AC BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例 7 如图，在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE BC，EF AC，FD AB 同时成立，
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证
渗透化归,数形结合,落实数学抽象核心素养——“二元一次不等式(组
TIANJIN EDUCATION在普通高中数学课程标准修订（2017版）中指出：数学抽象是通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。
本文主要从“二元一次不等式（组）与平面区域”这节课的教学设计上，阐述如何让学生通过数量关系与空间形式的抽象，提升他们的数学抽象核心素养。
“二元一次不等式（组）与平面区域”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书•数学5（必修）》第三章不等式的第3节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，第1课时内容，其相关概念是将一元一次不等式抽象出几何背景，再以几何直观推理的方法解决二元一次不等式的解集问题，它是线性规划问题的基础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定了基础。
一、教学设计及课堂实录（一）创设情景，引入新知数学源于生活又服务于生活，让学生从生活中的具体实例入手，由文字语言转化到符号语言，建立起二元一次不等式的概念，使学生经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，让学生从已知到对未知的冲突，从而引出本节课要研究的对象。
例：某高中食堂主要以面食和米食为主，面食和米食中的蛋白质和淀粉含量如下表所示。
学校要求食堂给学生配置成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和12个单位的淀粉，请问食堂应该如何调配面食和米食分量呢？设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克。
学生：ìíîïïïï6x +2y ≥84x +8y ≥12x ≥0y ≥0=ìíîïïïï3x +y ≥4x +2y ≥3x ≥0y ≥0（得出二元一次不等式（组）的概念）教师：如何求二元一次不等式（组）的解（集）？如果将有序实数对看做点坐标，那么二元一次不等式（组）的解（集）又表示什么图形？（二）类比旧知，由数抽象出形二元一次不等式表示什么样的平面区域？这是一个比较抽象的问题，学生需要通过已经学习过的、熟悉的知识进行类比、对接。
第二讲数形结合的思想
3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
答案 D
2．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－ x)，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数 g(x)＝xcos πx，
则函数
1 3 h(x)＝g(x)－f(x)在－2，2上的零点个数为
第二讲
数形结合思想
自主学习导引
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是 A．[－5,7] B．[－4,6] C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析 令y＝|x－5|＋|x＋3|， 则函数对应的图象为
令y＝10，即|x－5|＋|x＋3|＝10， 得x＝－4或x＝6，结合图象可知|x－5|＋|x＋
【变式训练】
1．已知函数
x2＋1，x≥0， f(x)＝ 1， x＜0，
则满足不等式
f(1－x2)＞f(2x)的 x 的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知不等式 f(1－x )＞f(2x)可化为 1－x ≥0， 1－x2＞0， 2x≥0， 或 2x＜0. 1－x2＞2x，
则函数y＝f(x)－log5|x－1|的零点个数是 A．8 [审题导引] B．9 C．10 D．11 利用函数的性质作出函数f(x)与y＝log5|x
－1|的图象，两图象交点的个数即为零点的个数．
[规范解答] 由题意知偶函数f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系下作出函数 f(x)及函数φ(x)＝ log5|x－1|的图象如图所示：
1．数形结合的思想
所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内 在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量 关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种 “结合”，寻找解题思路，使问题得到解决．数形结合是 根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化 来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过 “以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题 具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了 解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
证明不等式的八大绝招
证明不等式的八大绝招高考数学的压轴题常以不等式为背景，而不等式的证明因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，本文给同学们介绍不等式证明中的八大绝招：“变形法、拆项法、添项法、放缩法、构造法、换元法、导数法、数形结合法”，希望对同学们的学习有所禅益。
一、变形法例1、已知121212101010,,,:a b c a b c R a b c bc ca ab+∈++≥++求证 证明：原不等式等价于：131313101010a b c a b c abc ++≥++()131313101010a b c abc a b c ⇔++≥++ （*）1313112211a b a b a b +≥+ ， 1313112211b c b c b c +≥+， 1313112211c a a c a c +≥+， ()()()()1313131122112211222a b c a b c b a c c a b ∴++≥+++++()1111111010102222a bc b ac c ab abc a b c ≥++=++。
从而()131313101010a b c abc a b c ++≥++；所以（*）式成立，故原不等式成立。
二、拆项法例2、已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ，求证：231.432ab c ≤证明：122333b b c c c a b c a =++=+++++ 66≥=232362316432ab c ⋅∴≤=。
三、添项法例3、【第36届IMO 试题】设,,a b c 为正数，满足1abc =，求证：()()()33311132a b c b a c c a b ++≥+++.证明：()()3114b c a b c bc a ++≥=+ , ()3114a c b a c ac b++≥=+,311()4a b c a b ab c++≥=+, ∴()()()33311111114b c a c a b a b c b a c c a b bc ac ab a b c+++⎛⎫+++++≥++ ⎪+++⎝⎭.从而()()()33311111111112a b c b a c c a b a b c a b c ⎛⎫++≥++-++ ⎪+++⎝⎭1111322a b c ⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭. 故∴原不等式成立. 四、放缩法 例4、【1998年全国高考试题】求证：())*111111114732n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。
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数形结合在不等式证明中的应用
摘要主要研究“初等数学研究教程”教学,简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,有助于高等师范学校数学教育专业学生提高思维能力和中学数学教育能力。
关键词数形结合;不等式;证明
1引言
“初等数学研究教程”是高等师范学校数学教育专业的一门重要的专业基础课程,是从事中学数学教育必须掌握的基础理论。
本文在“初等数学研究教程”教学中简单介绍如何运用数形结合思想证明不等式,以提高高等师范学校数学教育专业学生思维能力和中学数学教育能力。
数形结合的思想方法是中学数学的一大特点,而在中学数学教学中,不等式的证明历来是教学的一个重点和难点。
合理、灵活地运用数形结合思想来证明不等式往往可以收到事半功倍的效果。
我们首先看下面一道例题:
例1:若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:。
证明思路:借助已知条件可构造一长
方体,使它的三边分别为a、b、c,且
记相交一点的三条棱a、b、c分别与AC’
交成α、β、γ角。
于是原有的三角证式就变成代数证式:
2利用数形结合证明不等式
由上例可见利用数形结合证明不等式的确可以使复杂问题简单化、形象化。
在数学上,数和形是中学数学的两块基石,是研究数学的最基本方法之一。
它体现了抽象思维与形象思维的结合,数学问题大体上都是围绕着“数”和“形”提炼、演变,发展而展开的。
在中学数学中数形结合应用于证明不等式主要有三方面:用平面几何或立体几何的性质证明不等式,用解析几何的性质和方法证明不等式,用三角函数的性质和方法证明不等式。
2.1利用平面几何或立体几何的方法证明不等式
由于许多数量关系源于平面几何(或立体几何),诸如三角形的边长关系、边角
关系、勾股定理、射影定理,平行四边形的边长与对角线的关系,都有明显的数形关系。
所以,以“形”证“数”便成为可能。
例2:已知a,b为正数,求证:
证明思路:不等式中含有a2+b2,可考虑直角三角形。
将a,b转化为直角三角形的两直角边。
不等式中又含有,可视其为x2=ab,所以可考虑在直角三角形中的比例中项问题。
将不等式分段观察、分析可作图2。
得出如下较简明的证法:
证明:以a+b为直径作半圆。
O为圆心,高AC=a,BC=b,过点O作OE⊥AB,交AB于点E,过点C作CD⊥AB交AE于点D,连CE、OD,过点C作CF⊥OD交OD于点F。
在Rt△OEC中,OE=OA=(a+b)/2 (1)
.(2)
由于CD⊥AB,故CD2=AC.CB,即CD= (3)
在Rt△CDO和Rt△FDC中,易证得:
Rt△CDO∽Rt△FDC,∴FD=CD2/DO=2ab/(a+b) (4)
在Rt△CEO中,CO+OE>CE,
(a-b)/2+(a+b)/2=a>CE (5)
由Rt△CEO、Rt△CDO、Rt△DCF可知
CE>OE>CD>DF (6)
下面比较DF、AC的大小:
以点O为圆心,OC为半径作圆,易知OC>OF (7)
所以点F在所作的圆内部,故得DF>AC=b。
综合(1)～(7),得
所以原不等式得证。
图2
这种证法是数形结合证不等式的较常用的方法,对于不等式的条件或结论中
如具有类似的几何特征,常常可用此法证明。
当然,所谓“几何特征”并不限于平面几何,如立体几何或向量等方面的特征也适用。
2.2利用解析几何的方法证明不等式
在中学数学中,很多量或代数式常蕴含着解析几何的意义或原形。
诸如对称的区间、圆域、距离公式、二次曲线中的焦距、轴长等等都有较明显的“式”或量的特征。
所以也常用于不等式的证明。
此法证明不等式的一般步骤是:①把要证的“式”转化为解析几何中的量;②利用解析几何的方法(如坐标法)进行转化;③通过解析法证明相应的几何结论,使原不等式得证。
2.3利用三角函数或其它知识证不等式
此类方法应用于解题较为灵活,需对“式”与各部分知识有较熟悉的理解,才能达到证明的目的。
在证明的过程中,常需形化数、数化形的互相转换,相对较难掌握。
这种方法解题的一般步骤:①根据条件、结论、图形合理地将不等式化为代数运算问题,反之亦然;②正确地选用公式、定理等通过代数运算证明不等式,反之亦然;③根据证明的正确性得出所证的不等式成立。
此类方法适用于一些集合上的不等式,利用代数运算时为更便于证出结果时运用。
综上所述,我们可以看到用数形结合证明不等式,无论利用“形”研究“数”,还是利用“数”研究“形”,二者不可或缺。
它们相互依存,相互补充。
它们都是解题的有力的辅助手段。
当然利用数形结合证明不等式的方法和形式不只是以上提到的几点。
总之,在实际的不等式的证明中,应根据给出的条件来思考,结合综合法、分析法、比较法,注意考虑数形结合的思想方法,这样会给我们带来方便,使我们的学生思维更加活跃。
从而有助于学生思维能力及中学数学教育能力的提高。
参考文献
[1]闻厚贵.不等式法,北京,北京师范学院出版社,1987.
[2]廖炳江.一个简单定理的两个应用.中学数学(湖北),1995.。