数形结合法解不等式
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
数形结合法在一元二次不等式解法教学中的应用
、
数 形 结合 的 内 涵
恩 格 斯 认 为 ： 数 学 是 研 究 现 实 世 界 的 量 的 关 系 与 宅 问 “
形 式 的科 学．” 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 ， 是 最 基 ｌ 数 也 本 的研 究 对 象 ， 们 在 一 定 条 件 下 可 以 相 互 转 化 ．“数 ”与 它 “ ” 映 了事 物 两 个 方 面 的 属 性 ， 形 结 合 主 要 指 的 是 数 形 反 数
△ ＝ （ ～５１ 一４ ×４ × １ ＞０．
中 ， 求 复 数 和三 角 函 数 问 题 中 ， 用 数 形 结 合 思 想 ， 仪 存 应 不 直 观 发 现 解 题 途 径 ， 且 能 避 免 复 杂 的 计 算 与 推 理 ， 大 简 而 大
化 ｒ解 题 过 程 ． 教 学 中要 培 养 学 生 数 形 结 合 的 思 想 意 识 ， 在 做 到胸 巾 有 图 ， 数 想 图 ， 开 阔 他 们 的思 维 视 野 ． 见 以 下 面 着 重 探 讨 数 形 结 合 法 在 一 元 二 次 不 等 式 解 法 教 学 中 的应 用．
即求 方 程 一 一１ ０的 实根 ， 后 通 过 观 察 二 次 函 数 Ｙ ２＝ 然 ＝
一 一
１ 的 简 图 写 出 不 等 的 解 集 ． ２
二 、 形 结 合 的 意 义 数 我 国著 名数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 ： 数 形 结 合 百 般 好 ， “ 隔
解 方 程 一 一１ ０的根 为 ＝ 一３ ： ． ２＝ ，， ４
与形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 ． 谓 数 彤 结 合 ， 是 根 据 数 与 形 所 就 之 问 的 对 应 关 系 ， 过 数 与 形 之 问 的 相 互 转 化 来 解 决 数 学 通
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法1. 引言绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，其解集可以用数轴上的区间表示。
为了更好地理解和解决绝对值不等式，数形结合法是一种有效的方法。
本文将详细介绍绝对值不等式数形结合法的基本原理、应用技巧以及实例演示，帮助读者掌握这一重要的解题方法。
2. 基本原理2.1 绝对值函数绝对值函数是指将一个实数映射到其非负的绝对值的函数，通常用符号|x|表示。
其定义如下：|x|={x,x≥0−x,x<02.2 绝对值不等式绝对值不等式是指一个含有绝对值符号的不等式。
通常有以下两种形式：•|f(x)|<a•|f(x)|>a其中，f(x)是一个关于x的函数，a是一个正实数。
3. 应用技巧3.1 基本思路使用数形结合法解决绝对值不等式时，我们需要将问题转化为图形的几何关系，从而更直观地理解和解决问题。
基本思路如下：1.将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题。
2.根据不等式的形式，确定数轴上的区间。
3.根据区间的性质，求解不等式。
3.2 求解步骤以|x−3|<5为例，介绍绝对值不等式数形结合法的求解步骤：1.绘制数轴，并在数轴上标出x=3这个点。
2.在x=3左边画一个长度为5的线段，表示|x−3|。
3. 确定数轴上x −3取值范围所对应的区间。
由于|x −3|<5，所以x −3必须在以x =3为中心、半径为5的开区间内。
即(−2,8)。
4. 最后得到x ∈(−2,8)，即解集为开区间。
3.3 注意事项在使用绝对值不等式数形结合法时，需要注意以下几点：1. 对于不等号方向（大于或小于），要根据实际问题进行判断。
2. 在确定区间时，要根据绝对值函数的定义和性质进行分析。
3. 需要注意区间的开闭性，根据不等式的严格性确定解集的类型。
4. 实例演示4.1 例题一求解不等式|2x −1|>3。
解答步骤：1. 绘制数轴，并在数轴上标出x =12这个点。
2. 在x =12左边和右边分别画一个长度为3的线段，表示|2x −1|。
浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想(教学实践类)
ｔ 、
解得 ： ｘ ≤３ ０ ．
ｊ
答： 她 家每 月 用气 最 多 ３ ０ ｍ 。
ｊ
５ ． 车费 问题 ： 某市 出租 车 的 收费 标 准 ： 起 步价 ３元 （ 即行 驶距 离 不 超过 ３千 象这样 ， 用一条线段 Ａ Ｂ来 表 示 总 费 用 ． 它包含两部分 ， 即线 ， 超过 ３ 千米 ， 每增 加 １ 千米 ， 加收 １ ． ２元 （ 不 足 段 Ａ Ｃ （ 月租费） 和 线段 Ｃ Ｂ （ 通话费） 。 很 直 观 又形 象 ， 学 生 理解 起 来 米都 需 付 ３元 车 费 ） １千米 按 １千米计 ） ， 某 人 乘 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 ， 共 支 付 车 费 ２ １ 很 容 易懂 ， 教 学效 果 也好 。 元． 问此 人 从 甲地 到 乙地 经过 的路 程最 远 是 多少 千米 ？ 解： 高小 明 家平 均 每 月通 话次 数 为 ｘ次 分析 ： 则有 ： ２ ２ ． ８ ８ ＋ ０ ． １ ８ ｘ ＞ ２ ８ 总路 程 ｘ ｋ ｍ
浅 谈 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 列 不 等 式 解 实 际
问题 中的数 学构 想 （ 教 学实 践 类 ）
罗 庆 莲 （ 重 庆市 渝 高 中学 重 庆
４ ０１ ５ ５ ４）
中图分类号 ： Ｇ６ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ３ ８ － ０ ２
１ Ａ
解得 ： ｘ ＞ ２ ８
・ ．
收费 ３元
３ ｋ ｍ
非 负数 整 数 Ｘ 最小为 ２ ９ 答： 小 明家 平 均每 月 通话 至 少 ２ ９次 ２ ． 水 费 用 问题 ： 某市 自来水 公 司按 如 下标 准 收取 水 费 ．若 每 户 每月 用 水 不超 过５ ｍ３ ． 则 每立 方 米 收 费 １ ． ５元 ： 若 每 户 每 月 用水 超 过 ５ ｍ ３ ， 则超出 部分每立方米收费 ２ 元 ． 小 童家 某 月 的水 费 不 少 于 １ ０元 ． 那 么她 家这 个 月 的用 水 量至 少是 多 ｍ３ ７
解不等式的转化方法
教学实践新课程NEW CURRICULUM解不等式的问题一直是高考考查的重点和热点，解不等式的关键是学会转化，通常有以下几种转化方法。
一、利用数形结合的思想转化例1.已知：函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，-1），B （3，1）是其图象上的两点，那么|f （x +1）|<1的解集是（）A .（1，4）B .（-1，2）C .（-∞，1］∪［4，+∞）D .（-∞，-1］∪［2，+∞）分析：本题没有给出函数f （x ）的解析式，解题时可以画一个符合条件的特征图加以解决，由图象可知：|f （x ）|<1的x 的取值范围是（0，3），而y =|f(x +1)|的图象是由y =|f （x ）|图象向左平移1个单位得到，所以不等式|f （x +1）|<1的解集为（-1，2），故选B 。
二、利用不等式与方程的关系进行转化不等式解区间的端点横坐标是对应的方程的根，这样可以将解不等式的问题转化为解方程来处理。
例2.已知不等式2x -log a x <0的解集为（0，12），求实数a 的值。
分析：从图象角度看，不等式表示的几何意义是y =log a x 图象在y =2x 图象上方x 的取值范围是（0，12），故有：0<a<1log a 12=212{，所以a =（12）2√2三、利用函数的单调性转化例3.不等式log 2（x +1x+6）≤3的解集为。
分析：本题利用对数函数的单调性，结合不等式本身的限制条件，将原不等式变成代数不等式组x +1x+6>0x +1x+6≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，所以解集为｛x/-3-22√<x <-3+22√或x =1｝。
四、利用分类讨论的思想转化例4.解关于x 的不等式：x -a x 2-x -2>0。
分析：有关分式不等式问题，可以考虑两边同乘以（x 2-x -2）2，也可以讨论分母x 2-x -2的符号去分母，将分式不等式转化为整式不等式来求解，然后讨论根a 与2，-1的大小关系，明确根的大小，使含参数a 的不等式具体化，进而写出不等式的解。
利用数形结合思想解决不等式问题
解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、
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数形结合解不等式
宜都市一中王从志
纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。
预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。
而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。
因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。
类型一：简单不等式的解法
例1：解下列不等式：
2 (1).2
x x x
->
1 (2). -3<<2
x
【解析】：（1）解法一（公式法）
原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1
∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
解法2（数形结合法）
作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
第（1）题图第（2）题图
【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反
比例函数图象，则解集为
1
|
2
x x
⎧⎫
>
⎨⎬
⎩⎭
1
或x<-
3
,结果一目了然。
例2：解不等式：
1 ||x
x
≥
【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1
x 的图象，
易知解集为01∞⋃∞（－，）[，＋）
类型二：解含参数不等式问题
例2变式：解关于x 的不等式：
||a
x x ≥ 分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。
结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到
（1）a>0时，解集为a ∞（,＋）
（2）a=0时，解集为0(0∞⋃∞（－，），＋）
（3）a<0时，解集为,a ∞-（-）
练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式
【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。
】
2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳 例如：
.|1||1|32x x +--≥
解不等式 。
除了分类讨论、几何意义等方法外，以下函数
转化、数形结合方法可供参考：
【解法1】令2(1)()|1||1|2(11)
2(1)x g x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩
令()32h x =
，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为3[,)4+∞
【解法2】原不等式等价于|1||1|32x x +≥+-
令3()|1|,()|1|2g x x h x x =+=-+
分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g （x ）和h （x ）的图象的交点坐标为37(,)44
所以不等式|1||1|32x x +--≥的解集为3[,)4+∞
【解法3】 由|1||1|32x x +--≥
的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），
Ｍ（x ，y ），若
1232MF MF -=，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.
3、探究深入：如果以上不等式右边不为具体数值，而是一个参变量m,怎样解关于x 的不等式：|1||1|x x m +--≥
解析：结合函数y=|1||1|x x +--的图象，易知
（1）当m>2时，解集为Φ
（2）
m 22[
,+)2m -≤≤∞时，解集为
（3）m<－2时，解集为R
4、等价转化：若关于x 的不等式|1||1|x x m +--≥分别满足(1)解集为空集(2)解集非空集 (3)解集为R ，求m 的取值范围。
这个问题实际上包含了高考不等式常见的三大类型（能成立问题、恰成立问题和恒成立问题）中的两种。
类型三：不等式恰能成立问题、恰成立问题、恒成立问题。
例3：若不等变2
-2x -2ax+62≤≤恰有一解，求实数a 的值
引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。
结合二次函数的图形就会容易得多。
图解：
由图象易知：a=2或者a=-2 例4、若不等式
21log ,(0,)2a x x x <∈对恒成立，则实数a 的取值范围是 此题直接求解无从着手，结合函数
21y y=log 0,2
a x x =及在（）上的图象 易知，a 只需满足条件：
0＜a ＜1，且11log 24a ≥即可从而解得
1[,1)16a ∈ 专题小结
数形结合解不等式是历年高考重点内容之一。
有效借助“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化，从而起到优化解题途径的目的。
正如著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。
”。