数形结合与不等式
数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)
± 2
.
x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
高考数学微专题3不等式中的存在与恒成立问题3.1利用数形结合法求解课件
函 数 f(x)≤0 在 区 间 [1 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 当 a> － 1 时 ，
f1＝lna＋1－e＋a≤0， fx0＝－x0－ex0＋a≤0.
①设 g(a)＝ln(a＋1)＋a－e，a∈(－1，＋
∞)，可知 g(a)在区间(－1，＋∞)上单调递增，又 g(e－1)＝ln(e－1＋1)
主题4 不等式
微专题3 不等式中的存在与恒成立问题 3.1 利用数形结合法求解不等式恒成立问题
内容索引
问题背景 思维模型 典型例题 自主探究
内容索引
不等式恒成立问题是近几年模拟考试、高考的热门考点，需要 学生熟练掌握求解此问题的三种常见方法(数形结合、分离参数、 构造函数)．而我们在利用常见方法求解此问题时，方法的合理选 择成为难点，合理的方法结合熟练的计算会让问题变得简单，不合 理的方法会导致简单问题复杂化，增加计算、思维等各方面的难 度．因此，选择合适的方法是能否顺利解决此类问题的关键．
0<x<12，logax≥x2，则只需
loga12≥14，即
1 loga2
1
≥logaa4，所以
a14≥12，即
a≥116，所以116≤a<1；当
x≥12时，
f(x)＝a1x≥x2，此时若对任意 x≥12，1ax≥x2，即 ln a1x≥ln x2，
即 lna1≥2lxn x，则只需 ln1a≥2lxn xmax.令 g(x)＝2lxn x，则 g′(x)＝2－x22ln x，当
内容索引
k(t)与曲线 g(t)相切时，设切点为(x0，y0)，则－e1t20－t10＝ba，且bat0＋4＝e1t0－ ln t0，整理，得 3＋ln t0＝e2t0，解得 t0＝1e，此时ba＝－2e.
谈数形结合法在不等式中的应用
表象和冉造想象 ， 赋 予 其 较 为 恰 当 的 几何 意 义 ， 构 造 与 原 数
学 问 题 相 关 联 的 几 何 图形 ， 同 时 利 用 图 彤 之 间 的 关 系 和 形
的 有 性 质 ， 去推理 、 证明相应的数学问题． 本文将通过 实例 ， 从 以下 几 个 方 面 予 以 说 明 ．
姜 结 全 在 合 的 － 思 轴 想 的 上 可 知 方 ， 不 和 等 式 轴 毫 没 』 有 ＋ 交 ２ ｊ 点 ＋ ， ５ ＜ 数 ｏ 形 的 — ＼ 二 ＝ 二 ／ ｆ — — — — 一
例 ４ 解 不 等 式 二 ≤。 ． 。
３
利 用数 形结 合 的 相 关 思 想 证 明 不 等 式 ， 意 思 就 是 根 据 数 式 的 结 构 特 征 或 者数 学 问 题 的 内 部 关 系 进 行 构 图． 通 过 唤 起
的话
… …
，
可变 为 ｆ
．
ｆ （ ４ ｊ ３ ຫໍສະໝຸດ （ ＋２ ） ／ （ ３ ’ ） ≤（ ） ，
～
求证 ｌ （ ） Ｈ ｌ ≤ Ｉ （ ） Ｈ ｌ ＋ｙ ｌ Ｏ Ｈ ｌ ≤“ ４ － ｂ ．
如同 １ ， 设 Ａ（ “， ） ， １ ３ （ ， ） ， ０为 原点 ， 作 ＯＨ＿ ＿ ＡＢ 于 Ｈ ， 则在 ｕ Ｏｖ坐 标 系 中 ， 直 线 ＡＢ 的方 程 可 写 为 ：
关键词 ： 不等式 ； 数形结合 ； 证 法 与 解 法．
数 形 结 合 的 方 法 是 一 种 非 常 重 要 且 广 泛 使 用 的 解 题 途 径， 同 时 也 是非 常 重 要 的 数学 学科 思想 之 一 ． 数 形 结 合 的思 想 方 法 跨 度 数 学 知 识 的 多个 分 科 ， 具有一定的解题灵 活性 ， 其 独 有 的方 法 特 点 奠 定 了其 在 中学 数 学 中 的重 要 地 位 ． 学 牛 在 单
数形结合解决不等式有关问题1
3 解之得： a=0 或 a= ，舍去 a=0， 2 3 得答案： a= ． 2
2
例 5． （2012 浙江理 17）设 a∈ R，若 x＞ 0 时均有 [(a–1) x–1](x2–ax–1)≥0，则 a= ．
原不等式等价于 9 x 2 3 6x x 2，
令y1 9 x 2 ，y 2 3 6 x x 2 ，
变形得x2+ y12=9(y1≥0)，
(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，
作图， 由图形可知，
不等式的解集
为{x| 0＜x＜3}．
例 3.（ 2009 江西理15）若不等式 9 x2 k ( x 2) 2 的解集为区 间[ a， b]，且b–a=2，则 k= ．
y2 = 13–13a 2 设y1=(x–3) ，y2=13–13a， 作出函数y1在区间(–∞，–2)
x 2或x 2 2 ( x 3) 13 13a
∪(2，+∞)的图象， 由图象可知，1＜13–13a≤4，
9 12 a . 解得 13 13
小结：
1. 抽象问题 直观化、生动化
x＞0 时不恒成立；
当 a≠1 时，由于方程 x2–ax–1=0 有一正一负两根，考虑三 次函数 y=[(a–1) x–1](x2–ax–1)的图象，
则方程[(a–1) x–1](x2–ax–1) =0 有两个根，
1 所以 为方程 x2–ax–1=0 的正根， a 1 1 由根与系数关系得 +1–a=a， a 1
6
x
x
3
p 5p
6
]
C．[ ,
利用数形的直观性求解不等式问题——谈数形结合思想的应用
容 时 分 子 总 数 不 变 的 可 逆 反 应 的 等 效 平 衡 换 算 ） 而 。 １ ｍｏＣ 换 算 到 反 应 物 后 ． 与 Ｂ 的 物 质 的 量 之 比 为 ２１与 ． ｌ ４ Ａ ：．
起 始 量 的投 料 比 相 同 ， ｘ ３ 立 。 故 选 Ｂ 故 ＝ 成 Ｃ。
（） 定 平 衡 的 移 动 方 向 ３确
形 结合 的 局 限性 。
在联系 ， 恰 的 变 量 转 化 ， 之 化 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 就 是 使 化 这 数 形 结 合 的解 题 ‘ 。 本 文 主 要 足 介 数 形 结 合 这 一 思 想 法 法 及 其 在 不 等式 巾 的 应 用 。 １ 数 形结合解 不等式 ， 法更形 象 ， 观 ， 洁 明快 。 ． 用 解 直 简
Ｘ （ ２一 ，２（， ＋ Ｉ ａ ）１ｘ ａ ） Ｉ ＝ ／ ＝ ２
解题 思路发 难时 ． 不妨从数形结 合的角度 去探索 ： 在斛 题 过 巾繁 杂 的 运 算 常 使 人 望 生 畏 时 ，不 妨 从 数 形 结 合
观 点 去 开 辟 新 路 。这样 ， 常 会 收 到 事 半 功 倍 的效 。把 数 常 量 关 系 的 准 确 刻 划 Ｌ几 何 罔 形 的 直 观 揣 述 ／ 机 的 结 合 起 ｊ Ｆ 『 来 ， ｆ 分 揭 示 问题 的 条 什 条 什 、 什 Ｌ结 论 之 问 的 内 从 充 条 ｊ
『 象 ｒｊ ： ｌ Ｉ ｑ ｊＪ ’
Ｏ６ １４ ２ ｘ ２ ． ．＋ ．Ｘ ／ ＝
０３ １４ １ｘ ， Ｘ ２ ． ．ｘ ／ ＝１ 得 ｚ ＋
若 反 应 前后 气体 体 积 不 变 （ ｘ ３ ， 效 平 衡 只 需要 两 即 ＝ ）等
种 投 料 方 式 换 算 到 同一 边后 各 组 分 比 例 相 同 即 可 （ 温恒 恒
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，解决这类不等式时可以使用数形结合法。
该方法可以帮助我们通过图形的几何性质来找到不等式的解集。
以下是使用中文进行说明的绝对值不等式数形结合法：
1. 首先，我们来回顾一下绝对值的定义。
对于任意实数x，绝对值|x|表示x到0的距离，即|x|=x（当x≥0时），|x|=-x（当x<0时）。
2. 在解决绝对值不等式时，我们可以将其表示为一个图形问题。
我们可以将不等式|x|<a（a为正实数）表示为以原点O为中心，半径为a的开区间（-a，a）上的点构成的图形。
3. 同样地，对于不等式|x|>b（b为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为b的开区间（-∞， -b)∪(b，∞）之外的点构成的图形。
4. 对于不等式|x|≥c（c为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为c的闭区间[-c， c]上的点构成的图形。
5. 解决绝对值不等式的关键是确定图形的解集。
我们可以根据题目给出的不等式关系来确定图形的部分或全部区域。
6. 最后，我们根据图形的区域表示来确定解集。
如果要求解不等式的解集，我们需要找出表示该区域的数值，即满足不等式的实数值。
通过数形结合法，我们可以将抽象的绝对值不等式问题转化为具体的图形问题，从而更直观地理解和解决这类不等式。
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数形结合与不等式
在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用数形结合的方法进行求解。
应用数形结合的典型问题有三大类： 一,解不等式，二.已知不等式组求参数的范围. 三． 求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立．
一.解不等式
这一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。
同学们可能觉得直观的作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正确答案了。
思路是这样的：
第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表达式。
既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式
第二步：做出()f x 和()g x 的函数图像
第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是
不等式的解集，我们要求的就是()f x 的图像在()g x 的上方时 x 的取值范围
例1设函数f (x )＝1221，0， 0
x x x x -⎧-≤⎪
⎨⎪>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是
（ ）
(A) (－1，1) (B) (－1，＋∞)
(C)(－∞，－2)∪(0，＋∞) (D) (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解：画出分段函数f (x )＝1221，0
， 0
x x x x -⎧-≤⎪
⎨⎪>⎩及
直线y ＝1的图象，如图(图1)，可知当x 0＞1或x 0＜－1时，有f (x 0)＞1，而选(D)．
例2使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是_______．
解：在同一坐标系作出y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1，由图象(图2)知－1＜x ＜0，故填(－1，0)．
例3不等
式
x 的解集是 ．
解：在同一坐标系中，作出y
＝y ＝x
的图象，由图(如图3)知2＜x ≤4，故应填(2，4]．
例4 解不等式|x 2
－3x |＞4．
解：在直角坐标系中作出y ＝|x 2
－3x |与y ＝4图象，如图(如图4)
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
可知，原不等式的解集是 {x |x ＜－1或x ＞4}．
二.已知不等式组求参数的范围.
第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据不等式组我们可以求出x,y 的取值范围，在这个区域内让你求一个表达式的最值或范围
图2
图3
这类题目的思路是这样的：
第一步：由给定的不等式条件求出x,y 所在的区域
第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量看成是一个参数
第三步：在这个区域内作出f(x)的图像 第四步：求出这个参数的最值
例5:若x, y 满足条件021x x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
，则32Z x y =+的最大值是多少？
第一步：在根据已知的条件0x ≥，我们知道x,y 的范围是在y 轴的右侧，
根据x y ≥ 我们可知x,y 应该在直线y x =的下方，再由第三个条件21x y -≤知道x,y 应该在直线
21y x =-的上方，由这三个已知条件我们可以求出
x,y 的区域，如图所示的阴影部分：
第二步：我们把要求的表达式：32Z x y =+转化成y=f(x)的形
式，即： 3122y x Z =-+，这时候1
2
Z 就是直线在y 轴
上的2倍截距，Z 最大也就是直线的截距最大。
第三步：在阴影部分内作出函数31
22
y x Z =-+的图像
第四步：当直线31
22
y x Z =-+过直线y x =与直线21y x =-的交
点A(1,1)时截距最大，最大值为2.5，所以Zmax=5。
例6：实系数一元二次方程x 2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a,b）对应的区域的面积；
（2）的取值范围；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积
→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组
由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．
（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．
（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．
由图可知
（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，
注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
（1）连线的斜率；
（2）之间的距离；
（3）ax+by对应直线的斜率
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．
三．求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立．
已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1]D．[－2,0]
解析函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
例8. 已知x y x y y ，满足2220+-=，欲使不等式x y c ++≥0恒成立，求实数c 的取值范围。
分析：欲使x y c ++≥0恒成立， 即 -≤+c x y 恒成立， 故 -≤+c x y ()min 。
于
是
问
题
转
化
为
求
x y y x y 22202+-=+上一点，使有最小值问题。
由图可
知，当直线l x y x y y x y 122020平行于且与圆相切于下方时，取最小值+=+-=+
12-
例7.已知函数f (x )=x 2+2x+1，若存在实数t ，当x ∈[1，m ]时，f (x+t )≤x 恒成立，则实数m 的最大值是（ ）
解： f (x )=(x+1)2，令y=x ， 依题意，则在区间[1，m ] 上f (x+t )的图象在直线y=x
下方．
，
由图形可知，当f (x+t )= (x –2)2时，实数m 的值最大， 解方称(x –2)2=x ，得x=1，4 ． 即m 的最大值4，故选C ．
图2
故-≤-≥-
c c
1221
，从而。
例9：设函数f(x)=e x–e–x
（Ⅰ）求证：f(x)的导数f'(x)≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围Ⅱ）：利用导数研究f(x)的性状，
∵f'(x)= e x+e–x＞0，∴函数f(x)当x≥0时单调递增，又∵函数f'(x)当x≥0时也单调递增，
∴函数f(x)是下凸
作出函数f(x)的图象，令y=ax，其图
象是过原点的直线，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，则直线y=ax在f(x)的图象的下方
∴只要直线y=ax在f(x)在原点处的
切线下方即可．∵f(x)在原点处的切线的斜率f'(0)=2，∴a≤2．
Y=ax f(x)=e x–e–x。