流体流动连续性方程和动量方程
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
矢量形式的ns方程
矢量形式的ns方程
矢量形式的Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程。
它由连续性方程和动量方程组成。
1. 连续性方程：
连续性方程描述了质量守恒，即流体在任何给定点的流入和流出的质量必须保持平衡。
矢量形式的连续性方程可以表示为：
∇·u = 0。
其中，∇是向量算子的散度运算符，u是流体的速度矢量。
2. 动量方程：
动量方程描述了流体的运动和力的作用。
矢量形式的动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∇u + u∇²u + u。
其中，∂u/∂u是速度矢量的时间导数，u·∇是速度矢量的对流项，u是压力，u是流体的密度，u是动力黏度，u是外力矢量。
这个方程可以进一步展开为三个独立的方程，即x、y和z方向的方程。
以x方向为例，动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∂u/∂u +
u(∂²u/∂u² + ∂²u/∂u² + ∂²u/∂u²) + uu。
其中，uu是外力在x方向上的分量。
总结起来，矢量形式的NS方程包括连续性方程和动量方程，用于描述流体的质量守恒和运动。
这些方程可以进一步展开为三个方向上的方程，用于求解流体的速度和压力分布。
连续性方程与动量方程
v1A1 = v2A2
《液压传动》
二、 动量方程
动量定理在流体力学中的表达
作用在物体上的外力等于物体单位时间内动量的变化量
探秘液体动力学
∑F=mv2/△t—mv1/△t=ρqv △t(v2/△t—v1/△t) = ρqv (v2—v1)
《液压传动》
动量方程在工程实际中的应用：（玩具制造或武器装备）
探秘液体动力学 《液压传动》
探秘液体动力学 《液压传动》
探秘液体动力学
某液压系统两液压缸串联，小液压缸活塞的运动是主运动，大液压缸 活塞的运动是从动运动并推动负载工作，如下图所示。已知1截面处面 积A1=20cm2 ，2截面处面积A2=28cm2 ， 连接两液压缸管路的流 量q=50L/min，求两液压缸活塞的运动速度。
v1 = q /A1
探秘液体动力学
如图所示，油在喷管中的流速
v1=6m/s，喷管直径d1=5mm，油 液密度ρ=900kg/m3，喷管前设一
挡板，下列情况下管口射流对挡板
壁面作用力F是多少？ 杀F=伤ρ力q的v (评1估—测v2试) ）
（枪支
F= ρv12πd2/4
《液压传动》
F= ρqv (v1—v2) F= ρv12cos30°πd2/4
项目一 组合机床动力滑台速度控制回路设计
《液压传动》课程
单元一 探秘液体动力学
知识点一 连续性方程与动量方程
目
01
录 02
连续性方程 动量方程
探秘液体动力学 《液压传动》
一、 连续性方程的意义
质量守恒定律在流体力学中的表达
m1=ρA1V1t 因为 m1=m2 即qv1=qv2
m2=ρA2V2t 所以有A1V1=A2V2
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体动力学基础工程流体力学
固定的控制体
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
CS
ρ(
vn
)dA
CV
t
dV
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只
要将速度改成相对速度vr
t
dV
CV
CS (vr n)dA 0
32
连续方程的简化
★1、对于均质不可压流体： ρ=const
dV 0
t CV
t
，所以由于密度 的变
化单位时间内微元六面体内增加的质量为dxdydz t。
微元控制体内流体质量增长率： dxdydz t
48
（3）根据质量守恒定律
流体运动的连续方程式为：
dxdydz uxdydz dx uydxdz dy uzdxdy dz 0
令β＝1，由系统的质量不变可得连续性方程
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vndA
0
30
D Dt
CV
dV
t
CV
ρdV
CS
ρ
vn
dA
0
系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率
上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控 制体内流体质量随时间的减少率。
在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满 足连续性假设，上式总是成立的
CV
B V n dA
CS
D* (t )
CV B n
质量体
控制体 任一物理量 控制体表面外法向单位向量
18
雷诺输运定理
将拉格朗日法求系统内物理 量的时间变化率转换为按欧 拉法去计算的公式
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
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解：流线方程：
dx ky
dy kx
x2
y2
c
（流线是同心圆族）
线变形： x y 0
（无线变形）
角变形： z 0
（无角变形）
旋转角速度：
z1 2Βιβλιοθήκη kkk（逆时针的旋转）
刚体旋转流动
有旋流动和无旋流动
1.有旋流动 2.无旋流动
0
0
即： x 0
y 0
z 0
uz u y y z ux uz z x u y ux x y
t x
y
z
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。
解：由
ux uy uz 0 x y z
得 uz 4x 4 y z
积分 uz 4(x y)z c 由z=0，uz=0 得 c=0
uz 4(x y)z
2.连续性方程的积分形式
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
流体流动控制方程
Governing equations high-Reynolds-number k-ε model
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
实质：质量守恒
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量 dmx uxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx '
ux
(ux )
x
dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
(ux )
x
dxdydzdt
同理：M
y
(uy )
y
dxdydzdt
M z
(uz )
(
t
) D
(
t
) D
(
t
) D
Mass conservation or continuity equation
(u) (v) (w) 0
t x
y
z
Navier-Stocks equations for velocity components u, v, and w
( u ) t
u
( u ) x
v
( u ) y
w
(u) z
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
( k ) t
u
( k ) x
v (k) y
w (k) z
x
(
t k
)
k x
y
(
t k
) k y
z
(
t k
)
k z
( k
)
( ) t
u
( ) x
v
( ) y
w
( ) z
x
(
t
)
x
y
(
t
)
y
z
(
t
)
z
(c1Gk
k
c2
2 k
)
Energy equation for the temperature T
(T ) u (T ) v (T ) w (T ) ( t ) T ( t ) T ( t ) T
t
x
y
z x Pr Prt x y Pr Prt y z Pr Prt z
Mass transfer equation for humidity D
(D) u (D) v (D) w (D)
x
(
t
)
u x
y
(
t
)
u y
z
(
t
)
u z
p x
( v) t
u
( v) x
v
( v) y
w
(v) z
x
(
t
)
v x
y
(
t
)
v y
z
(
t
)
v z
p y
(w) t
u
(w) x
v
( w) y
w
(w) z
x
(
t
)
w x
y
(
t
)
w y
z
(
t
)
w z
p z
Equations for turbulence energy k and dissipation rateε
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负
AA'
u y x
xdt
u y
dt
x
x
x
ux ydt
BB' y
ux dt
y
y
y
微团的旋转： 1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
ux y
是微团绕平行于oz轴的旋转角速度
同理
y
1 2
u x z
u z x
x
1 2
uz y
u y z
xi
y
j
zk
1 2
u
1 2
rotu
4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度
微团的角变形：
1
2
1 2
u y x
u x y
dt
zdt
z
1 2
u y x
u x y
是微团在xoy平面上的角变形速度
同理
x
1 2
u z y
u y z
y
1 ux 2 z
u z x
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
线角旋平变转移形
流体微元的速度：
1.平移速度：ux，uy，uz
2.线变形速度：
x方向线变形
u x
ux x
x dt
u x dt
ux x
xdt
xxdt
x
ux x
是单位时间微团沿x方向相 对线变形量（线变形速度）
同理
y
u y y
z
uz z
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u
)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
v1 A1
1
A2 v2 2
在dt时间内，流入断面1的流体质量必等 于流出断面2的流体质量，则
1Q1dt 2Q2dt 1Q1 2Q2
1v1A1 2v2 A2 ——连续性方程的积分形式
不可压缩流体 分流时 合流时
c
Q Qi Qi Q
Q1 Q2
v1A1 v2 A2
流体微元的运动分析
刚体——平移、旋转 流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）