四元数表示转动及转动不可交换性
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
四元数表示姿态和旋转
四元数表示姿态和旋转1. 引言1.1 介绍四元数四元数是一种数学概念，最早由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出。
四元数可以看作是复数的扩展，它包括了实部和三个虚部，通常用符号q = w + xi + yj + zk来表示，其中w、x、y、z分别是实部和三个虚部的系数。
四元数在姿态和旋转中有着广泛的应用，在计算机图形学、机器人学、物理模拟等领域都有着重要作用。
在旋转表示中，四元数可以更加高效地描述物体在三维空间中的旋转，避免了欧拉角表示中的万向锁问题，同时还可以实现平滑的插值和融合操作。
尽管四元数在数学上可能较为复杂，但其在姿态和旋转中的应用已经得到了广泛认可。
通过四元数，我们可以更加简洁地表达旋转操作，提高了计算效率和精度，为解决实际问题提供了强大的工具。
四元数的引入，不仅拓展了我们的数学工具箱，也为许多领域的发展带来了新的可能性。
1.2 四元数在姿态和旋转中的应用四元数在姿态和旋转中的应用非常广泛，它在航空航天、机器人、计算机图形学等领域都有重要的作用。
在航空航天领域，四元数被广泛应用于飞行器的姿态控制和导航系统中。
通过四元数表示飞行器的旋转姿态，可以更准确地描述飞行器的运动状态，实现精确的控制和导航。
在机器人领域，四元数也被用于机器人的运动规划和控制。
通过四元数表示机器人的姿态变化，可以更有效地规划机器人的运动轨迹，确保机器人在复杂环境中稳定地移动。
在计算机图形学领域，四元数被用于实现3D图形的旋转和变换。
通过四元数表示物体的旋转，可以避免旋转变换的奇异性问题，实现更流畅和自然的图形变换效果。
四元数在姿态和旋转中的应用为各个领域提供了一种有效的数学工具，可以更加精确地描述和处理物体的旋转和姿态变化。
它不仅提高了系统的性能和稳定性，也拓展了人类对于旋转和姿态变化的理解和应用。
2. 正文2.1 四元数的定义四元数是一种数学概念，可以用来表示复杂的旋转和姿态。
它由一个实部和三个虚部组成，通常用符号q = q + qq + qq + qq来表示，其中q、q、q、q是实数，q、q、q是虚数单位。
四元数
为什么使用四元数为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。
它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。
需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向轴锁（Gimbal Lock）的问题。
还有一种是轴角的描述方法（即我一直以为的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。
但这种描述法却不适合插值。
那到底什么是Gimbal Lock呢？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，这里有个例子演示了Gimbal Lock，点击这里下载。
运行这个例子，使用左右箭头改变yaw 为90°，此时不管是使用上下箭头还是Insert、Page Up键都无法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。
那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述同样有这样的问题。
什么是四元数四元数一般定义如下：q=w+xi+yj+zk其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:i*i=-1j*j=-1k*k=-1也可以表示为：q=[w,v]其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。
旋转矩阵、欧拉角、四元数理论及其转换关系
旋转矩阵、欧拉⾓、四元数理论及其转换关系1. 概述旋转矩阵、欧拉⾓、四元数主要⽤于表⽰坐标系中的旋转关系，它们之间的转换关系可以减⼩⼀些算法的复杂度。
本⽂主要介绍了旋转矩阵、欧拉⾓、四元数的基本理论及其之间的转换关系。
2、原理2.1 旋转矩阵对于两个三维点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，由点 p1 经过旋转矩阵 R 旋转到 p2，则有注：旋转矩阵为正交矩阵RR^T=E任意旋转矩阵：任何⼀个旋转可以表⽰为依次绕着三个旋转轴旋三个⾓度的组合。
这三个⾓度称为欧拉⾓。
三个轴可以指固定的世界坐标系轴，也可以指被旋转的物体坐标系的轴。
三个旋转轴次序不同，会导致结果不同。
2.2 欧拉⾓欧拉⾓有两种：静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静⽌，所以称为静态。
动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。
使⽤动态欧拉⾓会出现万向锁现象；静态欧拉⾓不存在万向锁的问题。
对于在三维空间⾥的⼀个参考系，任何坐标系的取向，都可以⽤三个欧拉⾓来表现。
参考系⼜称为实验室参考系，是静⽌不动的。
⽽坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转⽽旋转。
如图1，设定xyz-轴为参考系的参考轴。
称xy-平⾯与XY-平⾯的相交为交点线，⽤英⽂字母（N）代表。
zxz顺规的欧拉⾓可以静态地这样定义：α是x-轴与交点线的夹⾓，β是z-轴与Z-轴的夹⾓，γ是交点线与X-轴的夹⾓。
图中三个欧拉⾓分别为：(α,β,γ)；蓝⾊的轴为：xyz轴红⾊的轴为：XYZ轴绿⾊的线为交线：Nα∈[0,2π],β∈[0,π],γ∈[0,2π]很可惜地，对于夹⾓的顺序和标记，夹⾓的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当⽤到欧拉⾓时，我们必须明确的表⽰出夹⾓的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多⽅法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉⾓⽅法只是其中的⼀种。
此外，不同的作者会⽤不同组合的欧拉⾓来描述，或⽤不同的名字表⽰同样的欧拉⾓。
四元数神经网络
THANKS
激活函数的选择与设计
激活函数类型
激活函数的选择对于神经网络的性能至关重要。常用的激活函数包括Sigmoid 、ReLU、Tanh等。这些激活函数在处理不同类型的数据和满足不同应用需求 时各有优劣。
四元数激活函数
针对四元数神经网络，需要设计特定的四元数激活函数。这些激活函数能够将 四元数形式的输入信号映射到输出信号，同时保留四元数的特性，如旋转和放 缩等。
$number {01} 汇报人：可编辑
2024-01-11
四元数神经网络
目录
• 四元数神经网络概述 • 四元数神经网络的基本原理 • 四元数神经网络的设计与实现 • 四元数神经网络的应用实例 • 四元数神经网络的未来发展与挑
战
01
四元数神经网络概述
定义与特点
定义
四元数神经网络是一种基于四元 数代数理论的神经网络模型，用 于处理具有四元数表示的数据。
局限性
四元数神经网络的应用受到数据获取和表示的限制，需要将 原始数据转换为四元数表示形式。此外，四元数神经网络的 训练算法和优化技术还需要进一步研究和改进。
02
四元数神经网络的基本原理
四元数基础
01
四元数是实数、复数和双曲复数的扩展，可以 表示旋转和旋转向量。
02
四元数由一个实部和三个虚部组成，形式为 $q = w + xi + yj + zk$，其中 $w, x, y, z$ 是实
特点
四元数神经网络具有强大的表示 能力和非线性映射能力，能够处 理具有四元数表示的旋转、变换 等复杂问题。
四元数神经网络的应用领域
1 2
3
图像处理
四元数神经网络可用于图像识别、图像分类和目标跟踪等领 域，通过四元数表示的旋转不变性，提高图像处理的准确性 和鲁棒性。
四元数 有限域-概述说明以及解释
四元数有限域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数是一种数学结构，由四个实数构成，可以表示三维空间中的旋转和变换。
它在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有着广泛的应用。
在传统的三维空间表示中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述物体的旋转。
然而，这些表示方法存在一些缺点，比如欧拉角存在万向锁问题，旋转矩阵存在运算复杂和数值稳定性差的问题。
而四元数作为一种更加高效和稳定的表示方法，逐渐被应用到各个领域中。
四元数的优势在于其具备旋转和线性插值的可逆性、运算速度快、占用的内存空间小等特点。
同时，四元数的运算也相对简单，只需要进行四个实数的乘法和加法运算即可得到旋转的结果。
然而，四元数也存在一些局限性。
首先，四元数的概念对于一般人来说比较抽象和难以理解，需要一定的数学基础才能深入理解其原理。
其次，绕不同轴的旋转可以用不同的四元数表示，存在多个等效的表示方法，导致旋转的唯一性问题。
此外，四元数的运算并不能直接映射到物理世界的旋转运动，需要进行适当的转换。
未来，随着计算机图形学和机器人学等领域的发展，对于更加高效和准确的旋转表示方法的需求将不断增加。
四元数作为一种优秀的表示方法，其研究和应用将会进一步深入和广泛。
同时，结合其他数学理论和技术手段，继续改进和扩展四元数的应用范围也是未来的发展方向。
1.2文章结构文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分来介绍四元数和有限域的相关内容。
- 引言部分将对本文的主题进行简要的概述，介绍四元数和有限域的基本概念和背景，并说明本文的目的和意义。
- 正文部分将分为两个子节：四元数的定义和性质、四元数在计算机图形学中的应用。
- 在四元数的定义和性质的部分，将介绍四元数的基本定义，包括四元数的表示形式和运算规则，以及四元数的基本性质，如共轭、模长等。
同时，将介绍四元数的加法、减法、乘法和除法运算规则，以及四元数的单位元、逆元等概念。
- 在四元数在计算机图形学中的应用的部分，将重点介绍四元数在旋转表示和插值、刚体变换、相机视角变换等方面的重要应用。
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
四元数 旋转变换-概述说明以及解释
四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写：四元数是一种数学对象，广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。
它可以用来描述三维空间中的旋转变换，具有很多独特的性质和优势。
在传统的三维空间中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。
然而，欧拉角存在奇异性问题，而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。
相比之下，四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势，使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。
四元数的定义在数学上是一种复数扩展，由一个实部和三个虚部组成。
它可以用于表示旋转轴和旋转角度，通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。
这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算，比如加法、减法和乘法等，从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。
本文将从四元数的基本概念开始介绍，包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。
然后，我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用，包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。
最后，我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域，并给出结论。
通过本文的学习，读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法，掌握四元数的运算规则和操作技巧，进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。
同时，本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点，为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
在概述中，将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。
文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。
目的部分将明确本文的目标和意图。
最后，在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。
正文部分主要包括三个章节：什么是四元数、四元数的定义和性质，以及四元数的旋转变换。
在什么是四元数章节，将解释四元数的基本概念和定义，以及它们在数学和物理中的应用。
有了第一第二部分的积累相信大家对于四元数表示旋转的方式已经有一定的了解了
有了第一第二部分的积累相信大家对于四元数表示旋转的方式已经有一定的了解了，下面就让我们来点进阶的。
更深入的解读四元数与旋转的关系。
之前的文档里我详细的向大家展示了一个四元数是如何将一个同它的旋转轴垂直的向量旋转一定角度的方法，同时我们也了解到p′=qpq−1是将一个旋转分为两个部分，分别为q和q−1(由于表示旋转的四元数的模都为1因而这里有q−1=q∗)表示为(cosθ2,v sinθ2)和(cosθ2,−v sinθ2)。
但是在前面的说明中由于一直使用的是与旋转轴垂直的矢量做的说明和演示因而难免会让人以为四元数表示旋转有这样的限制。
但是这种旋转方法其实比我们想象的更灵活。
这里也正式说明很多文献在提及四元数旋转时使用的是p′=qpq−1的表示方式正是因为这个表达式有着非同寻常的魔力(通用性)。
而使用它就能脱离‘垂直旋转轴向量’的诅咒为我们打开新世界的大门(23333). 首先我们要设一个向量p，和一个旋转以及表示旋转的四元数q(让我们稍微写的正式一点) 设:存在一个空间向量p(x,y.z),同时存在一个围绕轴u的角度为θ的旋转，u是单位向量。
则可以用一对四元数q,q∗表示这个旋转其中q可以写成cosθ2,u sinθ2的形式，根据四元数的性质可以知道它的共轭q∗=cosθ2,−u sinθ2。
由于这次的向量p并不与旋转轴u垂直，所以直接计算会产生很多不便。
因此令向量p分解到垂直旋转轴方向的向量为p⊥,将分解至平行于旋转轴方向的向量命名为p∥.这样就有式子p=p∥+p⊥成立。
p′=qpq−1p′=q(p∥+p⊥)q−1p′=qp∥q−1+qp⊥q−1p′=qp∥q∗+qp⊥q∗p′=cos θ,u sinθp∥cosθ,−u sinθ+qp⊥q∗p′=p∥cos θ+p∥u sinθcosθ−u sinθ+qp⊥q∗p′=p∥cos θ−p∥⋅u sinθ+p∥×u sinθcosθ−u sinθ+qp⊥q∗p′=p∥cos θ2−p∥sinθ2cosθ2−u sinθ2+qp⊥q∗p′=p∥cos2θ−p∥sinθcosθ−p∥u sinθcosθ+p∥u sin2θ+qp⊥q∗p′=p∥cos2θ−p∥sinθcosθ+p∥∙u sinθcosθ−p∥×u sinθcosθ+p∥u sin2θ+qp⊥q∗p′=p∥cos2θ2−p∥sinθ2cosθ2+p∥∙u sinθ2cosθ2+p∥u sin2θ2+qp⊥q∗p′=p∥cos2θ2+p∥sin2θ2+qp⊥q∗p′=p∥+qp⊥q∗而我们知道qp⊥q∗表示p⊥旋转θ角之后的向量，因而p′表示p绕旋转轴u旋转θ之后的向量。
四元数的应用
四元数的应用四元数是一种富有特殊性质的数学对象，通过把数学问题转化为四元数问题，可以得到很多优美而简单的解决方法。
四元数不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理，计算机图形学以及机器人控制等领域也都有着举足轻重的地位。
本文将深入探讨四元数在这些领域的应用。
一、四元数的定义与基本性质四元数是一种含有实数和虚数的特殊数，通常被表示为$q=a+bi+cj+dk$的形式，其中$i,j,k$是$q$的一组基，满足$i^2=j^2=k^2=-1$，以及$ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j$。
与复数相比，四元数不满足交换律，即$ij\neq ji,kj\neq jk$，但是满足结合律，即$ijk=-1$。
四元数有很多有趣的性质，例如：每个四元数$q=a+bi+cj+dk$都可以表示为一个三维向量和一个实数的形式$q=(a,\vec{v})$；四元数的共轭定义为$q^*=a-bi-cj-dk$，它的实部与虚部分别是$q$的实部和相反数；四元数的标准形式是$q=a+bi+cj+dk$，其中满足$a^2+b^2+c^2+d^2=1$。
这些性质为四元数的应用打下了坚实的基础。
二、四元数在物理中的应用在物理学中，四元数广泛用于描述旋转、电磁场等各种物理现象。
例如，四元数可以用来描述刚体的旋转状态，它可以通过四元数的运算来进行仿真计算。
另外，在电磁场计算中，四元数可以用来描述电磁场的极化态和旋转态，它在计算中可以简化矩阵运算，同时便于优化计算效率。
三、四元数在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，四元数可以用来描述物体的旋转状态，它广泛应用于游戏引擎和三维建模软件中。
同样地，四元数可以通过运算得到物体的旋转矩阵，然后再通过矩阵进行仿真计算和透视变换。
此外，四元数还可以用于相机的姿态计算和粒子系统的旋转控制等。
四、四元数在机器人控制中的应用在机器人控制领域中，四元数同样扮演着重要的角色。
机器人的运动学和动力学模型通常采用四元数来描述机器人的各种姿态。