信号的抽取与插值
补充-离散信号的采样与插值
X
… 0
π
2π
ω
…
… -π 0
π/L
π
2π
ω’
Y频谱：L=3,在2π里出现3个周期，是基带的谐波镜像， 要用数字低通滤波器滤除。称抗镜像滤波器。
抗镜像低通滤波器（又称内插滤波器）的频谱
G ; | '| / L H(e ) other 0
j '
y0(n)经过它运算把插 0值变成合理值y(n)
9
12
n
低的 fs’
n 3 4
注意序号
m
三 个 采 样 率 序 列 的 频 谱
连续信号 的频谱 以fs采样的序 列频谱
|X(j Ω)| 1/T
fmax |X(ej ω)|
Ω
fs
以0.5fs采样的序列频谱， 它等效于M=2倍的抽取
1/2T
M=4倍
2π ω fs1=0.5fs ω j |y1(e )| 2π 4π ω |y2(ej ω)| fs2=0.25fs 2π
1/4T
fs2=fs/M<2fmax
4π
8π
ω
原序列x(n)的 频谱 数字低通滤波 器h(n)频谱
例子
输出序列y(n) 的频谱
1
fmax π |H(ej ω)|
π /M |y (ej ω)|π ω fs2=0.25fs
M=3倍
π ω j 1/3T |y1(e )| 2π 4π
一、离散信号的采样实为序列抽取, 等效于fs的降低M倍。----降采样率
x(n)=｛1，1.2，1.3，1.1，1.05， … ｝
高的 fs
012 3 6 M=3情况： y(m)=｛1，1.1，…｝ fs 1 1 f s T MT M y(m) x(mM ) 0 1 2
信号的子带分解及滤波器组
y(n) x(Mn ) x1(Mn)
Y (z) x1(Mn)z n x1(n)z n / M
n
n
Y (z) X1(z1/M )
正确
关键是 x1(n) 和 x(n) 的关系：
令
p(n) (n Mi)
i
为一脉冲序列，其抽样频率也为 f s
x1(n) x(n) p(n)
1. 信号的抽取(Decimation); 2. 信号的插值（Interpolation); 3. 抽取与插值的实现、多相结构、多抽
样率系统； 4. 两通道滤波器组，分析与综合； 5. M通道滤波器组，分析与综合； 6. 多抽样率信号处理的应用。
一、 信号的抽取
抽取：fs fs / M
x(n) ↓M y(n)
令：
x(n) n 0,M ,2M ,,
x1(n)
0
其它
x1(n) 的抽样率仍为 f s
y(n) 的抽样率是 fs / M
现在的任务是:
1. 找到 x1(n) 和 x(n) 的时域与频域的关系; 2. 找到 x1(n) 和 y(n) 的时域与频域的关系; 3. 找到 y(n) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
1 X (e j( 2 )/3 ) 3
1 X (e j( 4 )/3 ) 3
将 X (e j )作3倍
的扩展
将 X (e j )移动 2
后作3倍的扩展
将 X (e j )移动 4
后作3倍的扩展
将信号 x(n作) 的M抽取，得 y(n)
目的：将抽样频率降低 M倍；
原则： y(n应) 保留 x中(n的) 全部信息；
2
2
抽 取 后 频 谱 的 混 迭
解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除 X (e j )
数字信号处理第三章7 序列的抽取与插值
0.5
2 f / f s f ' f / fs
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
序列域直接抽取：
p ( n)
k
(n kD)
时域序列乘脉冲串
x p (n) x(n) p(n)
1 X p (e ) 2
j
2
2019/2/3
s X a ( j jk ) D k
k
X
a
(j
2 k
DT
)
数字信号处理
fs fs / 2
0
fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
fs
2 1
f 2 f
s s / 2 0 0 2 1 0.5 0
2019/2/3
s / 2 s
'
1 1 2 k j X (e ) X a ( j jk s ) X a ( j ) T k T k T 1 X d (e j ) ' X a ( j jk s ' ) T k
T
1 DT 1 DT
八 、序列的抽取与插值
信号时间尺度变换（抽样频率的变换）
抽取：减小抽样频率
插值：加大抽样频率
2019/2/3
数字信号处理
1、序列的抽取
将x(n)的抽样频率减小D倍 每D个抽样中取一个，D为整数， 称为抽样因子
2019/2/3
数字信号处理
相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样
T DT
'
2 2 s s ' T DT D
现代信号处理考题
一、每题6分，共10题。
1、试叙述信号分析的不确定原理，并以高斯信号为例解释相关概念。
不确定原理：对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数，当信号的时宽减小时，其带宽装将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽半变成无穷大，这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小。
（P24）2、相对于傅里叶变换，短时傅里叶变换有何特点？窗口应满足什么条件？相对于傅里叶变换，除了同样可以了解信号包含的频谱信息，还可以对信号的频率进行时间上的定位。
STFT在时域用窗函数g(τ)去截x(τ),结截下来的局部信号作傅里叶变换，即可得到在t时刻的该段信号的傅里叶变换。
不断地移动t，也即不断地移动窗函数g(τ)的中心位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换。
由于g(τ)是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于e jΩt在频域是线谱，所以STFT的基函数g(τ-t) e jΩt在时域和频域都应是有限支撑的，这样，他的结果就有了对x(t)实现时频定位的功能。
3、相对于信号的谱图，wvd有何缺点？（P80）4、什么是小波变换的恒Q性质？试由此简要说明小波变换的时频分析特点。
(P241)5、试给出能保持信号能量边缘特性的和不能保持信号能量边缘特性的时频变换的例子。
6、什么是连续信号的Gabor展开？实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样还是过采样？说明理由。
什么是连续信号的Gabor展开：P61理由:实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样的。
因为在Gabor变换中，常数a和b的取值有3种情况：（1）ab=1，称为临界抽样，（2）ab>1，称为欠抽样，（3）ab<1，称为过抽样，由证明得，在ab>1的欠抽样的情况下，由于栅格过稀，因此将缺乏足够的信息来恢复原信号x(t)。
由于欠抽样时的这一固有的缺点，人们很少研究它，因此研究最多的是临界抽样和过抽样。
可以想象，在ab<1的过抽样的情况下，表示x(t)的离散系数C mn必然包含冗余的信息，这类似于对一维信号抽样时抽样间隔过小的情况。
《数字信号处理》信号的抽取与插值—多抽样率数字信号处理基础 ppt课件
NM1
Rl(z) h(MnM1l)zn
n0
插值多 相滤波
器
NCEPUBD
8.7.2 插值的滤波器实现
直接多相实现
高效多相实现
NCEPUBD
8.7.3 抽取和插值相结合的滤 波器实现
一般框图
直接多相实现
高效多相实现
NCEPUBD
8.8 抽取与插值的编程实现
定义
NM1
Ei(z) h(Mni)zn
y(n)21 Y(ej)ejnd 2c LLX(ejL)ejnd2cL X(ej)ejL ndL cx(L n)
所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L) NCEPUBD
➢时域 8.3.3 先插值再滤波
y(n)(n)*h(n)(k)h(nk) k
x(k L)h(nk) k
即 y(n)x(k)h(nkL)
步骤3：将x(n)按x([Mn/L])来转换，n变化时， 只有当Mn/L为整数时才变化。
NCEPUBD
对一个数字信号，能在一个系统中以不 同的抽样频率出现。
NCEPUBD
8.1 引 言
8.1.2 研究目的
应用举例：
既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信 号的数字传输系统；
在音频世界，存在着多种抽样频率； 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字
系统之间传递时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造
n0
M1
则 H(z) zlEl(zM)
l0
若再记 el(n)h(Mnl)
则
El(z) el(n)zn
n0
类 型 -I 多 相 表 示
NCEPUBD
8.5 信号的多相表示
数字信号处理第9章 抽取与插值20151103
x1 ( n ) x ( n ) p ( n )
1 p(n ) M
M 1 k 0 kn W M
WM e
j 2 / M
x ( n)
p (n)
x1 ( n)
由于：
1 p(n ) M
M 1 k 0
W
kn M
W M e j 2 / M
周期序列展为傅里叶级数
X ( zW )
k M
所以： X ( z ) 1 1 M 又因为：
M 1 k 0
k X ( zW M)
X 1 ( z ), X ( z )
的关系
Y ( z) X1( z
1 Y ( z) M
M 1 k 0
1 M
)
1 M
最后：
X (z
j
W )
k
ze
1 j Y (e ) M
k
h(k ) x(n k )
(n)
k
h(k ) x(n k )
n
V ( e j ) H ( e j ) X ( e j )
Y ( z)
n
y ( n) z
M 1 k 0
n j 2 k M
v(Mn) z
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )
的又一种表示形式：
Mn Lk 0
M k n L
Mn k m L
Mn Mn y (n) x m h Mn L mL L m L
j
0 | | min( , ) L M 其它
重采样原理
重采样原理重采样是指在信号处理中，对信号进行重新取样的过程。
在实际应用中，重采样是一种非常重要的信号处理技术，可以用来改变信号的采样率，从而适应不同的系统要求。
在本文中，我们将介绍重采样的原理及其在实际应用中的一些常见方法。
重采样的原理可以简单地理解为对原始信号进行重新采样，以获得新的采样点。
在进行重采样时，通常会改变信号的采样率，这意味着新的采样点的时间间隔可能会与原始信号不同。
重采样的目的可以是为了匹配不同系统的采样率，也可以是为了改变信号的频率特性。
在实际应用中，重采样通常涉及到插值和抽取两种基本方法。
插值是指在已知采样点之间估计新的采样点，而抽取则是从已知采样点中选择部分点作为新的采样点。
这两种方法各有优劣，可以根据具体的应用场景选择合适的方法。
在数字信号处理中，重采样常常用于数字滤波器的设计和实现。
由于数字滤波器的性能与采样率密切相关，因此通过重采样可以改变信号的采样率，从而影响数字滤波器的性能。
另外，在数字通信系统中，重采样也可以用于时钟同步和信号恢复等关键环节。
除了插值和抽取，还有一些其他常见的重采样方法，如最近邻插值、线性插值、样条插值等。
这些方法各自具有特点，可以根据具体的需求选择合适的方法。
在选择重采样方法时，需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。
总之，重采样是一种重要的信号处理技术，可以用于改变信号的采样率，适应不同系统的要求。
在实际应用中，重采样涉及到插值和抽取两种基本方法，以及一些其他常见的重采样方法。
选择合适的重采样方法需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。
重采样的原理及方法对于数字信号处理、数字滤波器设计以及数字通信系统等领域都具有重要意义。
cic内插的基本原理
cic内插的基本原理
CIC (Cascaded Integrator-Comb) 是一种数字滤波器结构，通常用于对信号进行抽取或插值。
CIC 内插的基本原理涉及到积分器
和组合器，通过这些组件可以实现信号的插值。
CIC 内插的基本原理是利用积分器对输入信号进行累加，然后
通过组合器对累加后的信号进行差分处理，最终得到插值后的信号。
首先，输入信号经过积分器进行累加，这样可以增加信号的精度和
动态范围。
然后，经过组合器进行差分处理，以减小信号的采样率，从而实现插值。
CIC 结构中通常包含多级积分器和组合器，可以通
过级联这些组件来实现更高阶的插值。
另外，CIC 内插的基本原理还涉及到滤波器的设计和优化。
由
于 CIC 结构本身具有滤波的特性，因此可以在一定程度上实现信号
的滤波功能。
在设计 CIC 内插滤波器时，需要考虑滤波器的通带波纹、阻带衰减等参数，以及滤波器的阶数和延迟等因素，以达到所
需的滤波效果。
总的来说，CIC 内插的基本原理包括积分器和组合器的结合，
通过积分和差分操作实现信号的插值，同时结合滤波器的设计和优
化来实现对信号的滤波和插值处理。
这种结构简单且高效，因此在数字信号处理中得到了广泛的应用。
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↓M
z 1
y(n)
3. 在M倍抽取器的前后，滤波器的z的幂相差M倍
x(n) y(n) x(n)
y(n)
H(zM)
↓M
↓M
H(z)
2013-8-3
42
Y ' ( z) X ( z)H ( z )
M
1 Y ( z) M
k M
M 1 k 0
Y '( z
1
M
k WM )
1 Y ( z) M
n 0
这两个表达式称为类型-II多相表示
2013-8-3
38
Ql ( z ) h( Mn l ) z
n 0
n
H ( z)
M 1 l 0
z l Ql ( z M )
这两个表达式称为类型-III多相表示。
显然，
Ql ( z) z 1 EM l ( z)
2013-8-3 39
el (n) h( Mn l )
El ( z ) el (n) z n
n 0
2013-8-3
36
2013-8-3
37
H ( z)
M 1 l 0
z ( M 1l ) Rl ( z M )
n
Rl ( z ) E M 1l ( z ) h( Mn M 1 l ) z
L j H (e ) 0
现在分析一下各部分信号的关系。由上两节的讨论可知
x(n L) v(n) 0
n 0, L,2 L 其它
y (n) u( Mn)
u( n ) y (n)
2013-8-3
n ~
k
u (n) v(n) * h(n)
x(k L)h(n k )
k
k
y (n)
k
x(k )h(n kL)
22
2013-8-3
5.4 抽取与插值相结合的抽样率转换
2013-8-3
23
2013-8-3
24
0 | | min( , ) L M 其它 则该滤波器既去除了插值后的镜像又防止了抽取后的混迭
z 1
x(n)
↑L
y(n)
x(n)
y(n)
x(n)
G(z)
2013-8-3
↑L
y(n)
x(n)
↑L
G(zL)
44
y(n)
5.7 抽取和插值的滤波器实现
5.7.1 抽取的滤波器实现
x(n) y (n)
h(n)
z 1
h0
z 1 h1
v(n)
↓M
↓M
z 1 z
1
↓M
y (n) x(n)
h0
理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频
率出现。例如：
2013-8-3 1
一个数字传输系统，既可传输一般的语音信号，也可传输视频信号， 这些信号的频率成份相差甚远，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系 统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换； 在音频世界就存在着多种抽样频率。立体声声音信号所用的抽样频率 是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，数字音频广播用的是32kHz。 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要 求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换； 对信号作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤 波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提 取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；
2013-8-3
3
5.2 信号的抽取
在传送或处理信号时，为了减少数据量，需要降低信 号的采样速率(例如音频系统)。如果要把采样速率减小M 倍(M是整数)，可以把原始的采样序列每隔M-1个点取一 个点，形成新的采样序列，该过程称为M倍抽取，M为抽
取因子，实现这一过程的器件称为M-抽取器。
x(n)
↓M
)
x(n ) 作M倍的抽取后，所得信号
1 2 k 的移位，幅度降为原来的 轴上作 后再迭加。 M M
y (n ) 的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在
2013-8-3
10
2013-8-3
11
2013-8-3
12
2013-8-3
13
2013-8-3
14
1 j Y (e ) M
y (n)
2013-8-3
4
2013-8-3
5
2013-8-3
6
2013-8-3
7
2013-8-3
8
1 M Y (z ) M
2013-8-3
M 1 k 0
k X ( zWM ห้องสมุดไป่ตู้
9
1 j Y (e ) M
该式的含意是，将信号
M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) / M
对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，
希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。
2013-8-3 2
以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能 工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实 现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内 容。其核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取(decimatim)， 增加抽样率以增加数据的过程称为信号的插值(interpolation)。抽取、 插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。(本章) 滤波器组，是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解， 然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码） 或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。 前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。(下章)
z 0 h0 h4 z 4 h8 z 8 h12 z 12
z h1 h5 z z z
2 3 2 1
h h
4 4 4
h9 z h13 z
8 8
8
12
h6 z h7 z
h10 z h14 z h11 z h15 z
k k
h( n k ) x ( k
h(n k )v(k )
L)
k
h(n Lk ) x(k )
x(k )h( Mn Lk )
25
正是单独抽取和单独插值时域关系的结合
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )
2013-8-3
M 1 k 0
X (e
j ( 2k ) M
j ( 2k )
) H (e
M
)
15
2013-8-3
16
5.3 信号的插值
2013-8-3
17
2013-8-3
18
2013-8-3
19
2013-8-3
20
Y (e ) H (e ) cX (e )
j
33
5.5 信号的多相表示
信号的多相(polyphase)表示是多抽样率信号处理中 的一种基本方法。使用它可在抽样率转换的过程中去掉 许多不必要的计算，因而大大提高运算效率；在实现滤 波器组时也是非常有用的。多相表示也称多相分解，它
是指将数字滤波器的转移函数H(z)分解成若干个不同相
位的组。
2013-8-3
第5章 信号的抽取与插值
为简单起见，很多时候我们在讨论信号处理的各种理论、
算法及实现这些算法的系统时，都把抽样频率视为恒定值，
即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中， 我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字 系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同 抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处
h1
↓M
z
1
h2
hN 1
z 1
z
2013-8-3
1
↓M
hN 1
y (n)
45
2013-8-3
46
2013-8-3
47
x(n)
↓3
z 1
z 1
h0 h3
h6
y (n)
z 1
↓3
z 1
z 1 z 1
h1
h4
h7
↓3
将滤波器系数分组 来实现信号的抽取
2013-8-3
z 1 z 1
k
h( n k ) x ( k
L)
k
h(n Lk ) x(k )
u(3) x (1)h(0) x (0)h(3) u( 4) x (1)h (1)
2013-8-3
30
Mn y (n) x( m)h(m L Mn L ) L m
M 1 k 0
X (z
k 0
1
M
( z 1 M W k ) M W )H M
1 M
M 1
X (z
1
M
W )H ( z)
k M
2013-8-3
43
1
x(n)
y1 ( n)
1
↑L
2
y2 (n)
x(n)
↑L
y1 ( n) y2 (n)
2
↑L
↑L
z L
h2
h5 h8
48