三维计算三角形边角

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三角形边角计算公式

三角形边角计算公式

三角形边角计算公式咱们在数学的世界里,三角形那可是个“常客”,今天就来好好聊聊三角形边角的计算公式。

说起三角形,我想起之前有一次去公园散步,看到几个小朋友在玩拼图游戏,其中就有三角形的拼图。

他们拼得可认真了,还争论着哪个三角形更大,哪个更小。

这让我意识到,对于三角形的理解和计算,从小朋友开始就充满了好奇和探索。

三角形的边角关系中,最基本的公式就是正弦定理和余弦定理啦。

正弦定理是这样的:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径。

用公式表示就是 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R (其中 R 是三角形外接圆的半径)。

这个定理在解决三角形中的边和角的关系问题时,那可真是“大显身手”。

比如,已知一个三角形的两个角和一条边,要求另外两条边的长度。

这时候,正弦定理就能派上用场。

假设咱们有个三角形 ABC ,已知角A 是 30°,角B 是 60°,边 a 的长度是 5 。

那咱们可以先通过三角形内角和 180°求出角 C 是 90°。

然后根据正弦定理,b/sinB = a/sinA ,即 b / sin60° = 5 / sin30°,通过计算就能得出 b 的长度。

余弦定理也很重要哦!对于任意三角形,有 a² = b² + c² - 2bc·cosA ,b² = a² + c² - 2ac·cosB ,c² = a² + b² - 2ab·cosC 。

举个例子来说,如果知道一个三角形的三条边的长度,想求其中一个角的大小,余弦定理就能帮忙。

比如说有个三角形的三边分别是 a = 3 ,b = 4 ,c = 5 ,要求角 A 的大小。

那咱们就用余弦定理,cosA = (b²+ c² - a²) / (2bc) ,代入数值就能算出 cosA 的值,然后再通过反三角函数就能得出角 A 的度数。

三角形的边角关系定理

三角形的边角关系定理

三角形的边角关系定理三角形是初中数学中重要的几何形体之一,它的边角关系定理是我们学习三角形的基础。

在这篇文章中,我将为大家详细介绍三角形的边角关系定理,并通过实例和分析来说明其应用。

希望这些知识对中学生和他们的父母有所帮助。

1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数之和等于180度。

这个定理对于解决三角形的角度问题非常有用。

例如,我们可以用内角和定理来求解一个已知两个角度的三角形的第三个角度。

假设一个三角形的两个角度分别是60度和80度,那么第三个角度可以通过180度减去这两个角度的和来得到,即180度 - 60度 - 80度= 40度。

2. 三角形的外角和定理三角形的外角和定理是指三角形的一个外角等于其余两个内角的和。

这个定理可以用来求解三角形的外角度数。

例如,如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度,那么它的一个外角可以通过将这两个内角相加来得到,即60度 + 80度 = 140度。

3. 直角三角形的边角关系定理直角三角形是一种特殊的三角形,其中一个角是90度。

直角三角形的边角关系定理包括勾股定理和正弦定理。

勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理可以用来求解直角三角形的边长。

例如,如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,那么斜边的长度可以通过计算3的平方加上4的平方,再开平方根来得到,即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

正弦定理是指直角三角形中,正弦值与边长之间的关系。

根据正弦定理,直角三角形中一个锐角的正弦值等于与该角对应的直角边与斜边之间的比值。

这个定理可以用来求解直角三角形中的角度。

例如,如果一个直角三角形的斜边长度是5,而一个锐角的对边长度是3,那么这个锐角的正弦值可以通过计算3除以5来得到,即sinθ = 3/5。

4. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指三角形的内角的平分线相交于三角形的内心,且内心到三个顶点的距离相等。

直角三角形的边角关系讲义

直角三角形的边角关系讲义

西安龙文教育一对一授课案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题 直角三角形的边角关系学习目标与分析锐角三角函数、特殊角的三角函数、三角函数的应用 学习重点 三角函数的应用及计算 学习方法考点归纳+例题解析+强化训练学习内容与过程教师分析与批改直角三角形的边角关系 第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容:正切的定义 坡度的定义及表示(难点) 正弦、余弦的定义 三角函数的定义(重点) 1、正切的定义在确定,那么A 的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切,记作tanA 。

即tanA =baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB ,AD =8,BD =4,求tanA 的值。

2、坡度的定义及表示(难点)我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是:lh a =tan 注意:(1)坡度一般写成1:m 的形式(比例的前项为1,后项可以是小数); (2)若坡角为a ,坡度为a lhi tan ==,坡度越大,则a 角越大,坡面越陡。

的垂直距离为300m ,求山的坡度.3、正弦、余弦的定义在Rt 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。

即sinA =ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA 。

即cosA =cb=∠斜边的邻边A■例3在△ABC 中,∠C =90°,BC =1,AC =2,求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现?请加以证明。

4、三角函数的定义(重点)锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。

直角三角形中,除直角外,共5个元素,3条边和2个角,它们之间存在如下关系: (1)三边之间关系:222c b a =+; (2)锐角之间关系:∠A +∠B =90°; (3)边角之间关系:sinA =c a ,cosA =c b ,tanA =ba。

三角形的边角关系定理

三角形的边角关系定理

三角形的边角关系定理三角形的边角关系定理是指在一个三角形中,三条边与三个内角之间存在一定的关系。

这个定理可以帮助我们解决与三角形相关的各种问题,例如求解缺失的边长或角度,判断三角形的类型等等。

在研究三角形的边角关系定理之前,我们首先需要了解一些基本的概念。

一个三角形由三条边和三个内角组成。

三角形的内角和为180度,即三个内角的度数之和为180度。

首先,我们来介绍三角形的最基本的边角关系定理——三角形内角和定理。

在任意三角形中,三个角的度数之和等于180度。

也就是说,对于一个三角形ABC来说,∠A + ∠B + ∠C = 180度。

在三角形的边角关系定理中,我们通常还会用到正弦定理和余弦定理。

正弦定理是指在任意三角形ABC中,三边的比值与其对应的角度正弦值的比值是相等的。

即对于一个三角形ABC来说,可以得到以下公式:a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中,a、b、c分别为三角形ABC的三条边的长度,∠A、∠B、∠C为三角形ABC的三个内角的度数。

余弦定理是指在任意三角形ABC中,任意两边的平方和减去它们的连乘积,再减去对应的两倍边长与夹角余弦值的乘积,等于第三边的平方。

即对于一个三角形ABC来说,可以得到以下公式:c² = a² + b² - 2abcos∠C这个公式在解决三角形相关问题时非常有用,可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

三角形的边角关系定理还包括余弦定理的两个变形形式——正弦定理和弦定理。

正弦定理是余弦定理的一个变形形式,利用正弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

正弦定理可以表示为:sin∠A/a = sin∠B/b = sin∠C/c弦定理是余弦定理的另一个变形形式,利用弦定理可以帮助我们求解缺失的边长或角度。

弦定理可以表示为:c/sin∠C = 2R (R为三角形的外接圆半径)在解决三角形问题时,我们可以根据具体情况选择使用三角形的边角关系定理中的哪个公式,以便更加准确地计算出所需要的结果。

直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件

直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
B c a A b ┌ C
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔,在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m,则山高BD ≈ m(精确到1m);
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a

三角形的边角关系.

三角形的边角关系.

三角形的三边关系1.三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.①三角形有三条边,三个内角,三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点,⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ,⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示,AC 可用b表示,BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形;3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A.8 B.9 C.10 D.112.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1:三边关系的依据是:两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法:只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段,便可构成三角形; 若不满足,则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 :已知四组线段的长分别如下,以各组线段为边,能组成三角形的是( )A.1,2,3 B.2,5,8 C.3,4,5 D.4,5,10例2:下列各组条件中,不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3.△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围;⑵ 求△ ABC 周长的取值范围;⑶ 当x 为偶数时,求x ;⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时,求x ;⑸ 若△ ABC 为等腰三角形,求x .课堂练习1.已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段,能组成多少个不等边三角形?2.已知等腰三角形的周长是14 cm ,底边与腰的比为 3 : 2 ,求各边的长.3.在ABC中,AB 9,BC 2,并且AC 为奇数,那么ABC的周长是多少?4.如图, D 是ABC内任意一点,BD 延长线与AC 交于 E 点,连结DC.求证:AB AC BD DC .3.三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形三条高全在三角形的内部;直角三角形有两条高是直角边,另一条在内部;钝角三角形有两条高在三角形外,另一条在内部。

《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件

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5.一个人由山底爬到山顶,需先爬坡角为40°的山坡300 m,
再爬坡角为30°的山 坡100 m,求山高(结果精确到0.1m).
解:如图,过点C作CE⊥AE于点E,
过点B作BF⊥AE于点F,
过点B作BD⊥CE于点D,则BF=DE.
在Rt△ABF中,BF=AB sin 40°;
在Rt△CDB中,CD=BC sin 30°.
BC 10 1
如图,在Rt△ABC中,sinA=


AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题,我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度,要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin‫־‬¹,cos‫־‬¹,
tan‫־‬¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°+cos55°-tan59°≈-0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
,由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥,市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A.

)
2.下列各式中一定成立的是( A )
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3.某款国产手机上有科学计算器,依次按键: = ,显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

直角三角形的边角关系

直角三角形的边角关系

1 ∠A= 600 cos A 2 ∠A= 450 cos A 3 ∠A= 300 2 2 2
3 ∠A= 3
300 tan A 3 ∠A= 600 tan A 1 ∠A= 450
4. 船有触礁的危险吗 (1)三角函数的应用
回顾与思考 1
直角三角形的边角关系
驶向胜利 的彼岸
驶向胜利 的彼岸
北 东
A
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
B
C
D
3 随堂练习P21
真知在实践中诞生
驶向胜利 的彼岸
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只 要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无 触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 北 A 20海里.设AD=x,则
小结
拓展
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA= 斜边
A的对边 A的邻边
cosA= 斜边
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
30°、45°、60°角的三角函数值

例1 计算:(1)sin30°+ cos45°; 3 cos30 (21 ) cos 30 sin 45 (3) sin 60 cos 45 2 sin 60 cos2 45 tan45 (4 )


数学中的某些定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来,但证明却 隐藏极深. ——高斯
从梯子的倾斜程度谈起
正切
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的 比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定. 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A B 的正切,记作tanA,即 tanA=
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import java.math.BigDecimal;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.List;class XYZ{private String X;private String Y;private String Z;public String getX() {return X;}public void setX(String x) {X = x;}public String getY() {return Y;}public void setY(String y) {Y = y;}public String getZ() {return Z;}public void setZ(String z) {Z = z;}}public class Calum {@SuppressWarnings("unchecked")public List getData(String[] XYZ){ //坐标格式为x,y,z字符串如1,2,3List list=new ArrayList();List line=new ArrayList();//储存边长for(int i=0;i<XYZ.length;i++){XYZ xyz=new XYZ();xyz.setX( XYZ[i].split(",")[0]);xyz.setY( XYZ[i].split(",")[1]);xyz.setZ( XYZ[i].split(",")[2]);list.add(xyz);}if(list.size()>1){for(int i=0;i<list.size();i++){XYZ xyz=(XYZ) list.get(i);XYZ xyz2;if(i==list.size()-1){xyz=(XYZ) list.get(0);xyz2=(XYZ) list.get(i);}else {xyz2=(XYZ) list.get(i+1);}Stringx=subData(xyz.getX(),xyz2.getX());Stringy=subData(xyz.getY(),xyz2.getY());Stringz=subData(xyz.getZ(),xyz2.getZ());Double linedot=addData(x, y, z);line.add(Math.sqrt(linedot));}}return line;}public String subData(String data,String data1){BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);BigDecimal big3=big.subtract(big2);//差值return big3.multiply(big3).toString();//返回差值的平方}public String subData2(String data,String data1){BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);return big.subtract(big2).toString();//返回差值}public String mutilData(String data,String data1){BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);return big.multiply(big2).toString();//返回平方}public String divideData(String data,String data1){BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);return big.divide(big2,5).toString();//返回商}public String addsubData(String data,String data1,String data2){//三角形(a2+b2-c2)值BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);BigDecimal big3=new BigDecimal(data2);//差值returnbig.add(big2).subtract(big3).toString();}public Double addData(String data,Stringdata1,String data2){BigDecimal big=new BigDecimal(data);BigDecimal big2=new BigDecimal(data1);BigDecimal big3=new BigDecimal(data2);returnbig.add(big2).add(big3).doubleValue();//返回和}@SuppressWarnings("unchecked")public Double acos(String a,String b,String c){String a2=mutilData(a, a);String b2=mutilData(b, b);String c2=mutilData(c, c);String ab=mutilData(a,b);ab=mutilData(ab, "2");String result=divideData(addsubData(a2, b2, c2), ab);Doubleangle=Math.acos(Double.parseDouble(result))* 180/Math.PI;return angle;}public String angle(List line){String result="";if(line.size()==3){//三角形计算各个角度String a=line.get(0).toString();String b=line.get(1).toString();String c=line.get(2).toString();Double C=acos(a, b, c);Double B=acos(a, c, b);Double A=acos(c, b,a);System.out.println("边长"+a+"对应的角度为"+A.toString()+",边长"+b+"对应的角度为"+B.toString());System.out.println("边长"+c+"对应角度为"+C.toString());result=A.toString()+"-"+B.toString()+"-"+C .toString();//海伦-秦九韶公式:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],//其中p=(a+b+c)/2求三角形面积String p=divideData(addData(a, b, c).toString(),"2");String p1=subData2(p, a);String p2=subData2(p, b);String p3=subData2(p, c);Strings=mutilData(mutilData(mutilData(p,p1),p2),p3);s=Math.sqrt(Double.parseDouble(s))+"";System.out.println("面积为"+s);String aline=divideData(mutilData(s, "2"),a);String bline=divideData(mutilData(s, "2"),b);String cline=divideData(mutilData(s, "2"),c);System.out.println("边长"+a+"对应的高为"+aline+",边长"+b+"对应的高为"+bline+",边长"+c+"对应的高为"+cline);}//Math.acos(a);return result;}public static void main(String[] args) { String[] XYZ={"1,4,3","1,2,6","1,6,6"};System.out.println("扫描仪传入的三个坐标是"+Arrays.toString(XYZ));List line= new Calum().getData(XYZ);//根据传入的坐标计算获取三角形三条边System.out.println("三角形边长分别为"+line.toString());new Calum().angle(line);}}。

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