浙江省2017年中考数学总复习专题7动点问题探究一课件

答案
(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？ 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.
答案
规律方法
解 存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下： 分两种情况： ①若∠OMN＝90°，如答图2所示，则MN∥AB， 此时OM＝4－x，ON＝1.25x， ∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB， ∴OOMA ＝OONB，即4－4 x＝1.255x，解得：x＝2；
答案
规律方法
③若MC＝AC，则MC2＝AC2， 得m2＋6m＋10＝10，解得：m1＝0，m2＝－6. 当m＝－6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去. 综上可知，符合条件的点 M 的坐标为 M(1，－1)，(1， 6)，(1，－ 6)，(1,0).
规律方法
规律方法
本题主要考查二次函数的综合，涉及抛物线的性质及解析式的确定、等 腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和 底分类进行讨论，以免漏解.
答案
规律方法
解 ∵△PAM为等腰直角三角形，∴∠BAP＝45°， ∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得， ∴可设直线AP解析式为y＝kx－3，
∵直线 AB 解析式为 y＝12x－3， ∴k＝12＋1 1＝3，
2 ∴直线AP解析式为y＝3x－3，
y＝3x－3， 联立方程y＝x2＋92x－3，
∴＝92， c＝－3，
∴抛物线解析式为 y＝x2＋92x－3.
(2)以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐 标；若不存在，说明理由；
答案
解 存在，理由如下： 设 Pm，m2＋29m－3(m＜0)，∴Dm，12m－3，∴PD＝|m2＋4m|. ∵PD∥AO， ∴当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形， ∴|m2＋4m|＝3. ①当m2＋4m＝3时， 解得：m1＝－2－ 7，m2＝－2＋ 7(不合题意，舍去)， ∴m2＋92m－3＝－1－ 27，∴P－2－ 7，－1－ 27；
答案
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有 符合条件的点M的坐标.
答案
规律方法
解 抛物线的对称轴为 x＝－2ba＝1，设 M(1，m)， ∵A(－1,0)、C(0，－3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝(3＋m)2＋1＝m2＋6m＋10， AC2＝10， 由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论： ①若MA＝MC，则MA2＝MC2， 得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得：m＝－1； ②若MA＝AC，则MA2＝AC2， 得 m2＋4＝10，解得：m＝± 6；
考查角度二 直角三角形的存在性问题
例2 (2015·聊城)如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上 OA＝4，AB＝3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度 的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每 秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点 运动了x秒(0＜x＜4)时，解答下列问题： (1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；
答案
②当m2＋4m＝－3时，解得：m1＝－1，m2＝－3.
∵m1＝－1，∴m2＋92m－3＝－123， ∴P－1，－123；
∵m2＝－3，∴m2＋92m－3＝－125，
∴P－3，－125.
综上可知，点
P
的 坐 标 为 －2－
7，－1－
7
2
或
－1，
－123 或
－3，－125.
(3)当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M， 连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标.
考点突破
考查角度一 等腰三角形的存在性问题
例1 (2016·凉山)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0，－3)三点，直线l是抛物线 的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式； 解 将 A(－1,0)、B(3,0)、C(0，－3)代入抛物线 y＝ax2＋bx＋c 中，
答案
规律方法
解得：x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝－32， ∵x＝－32时，y＝－125，∴P－32，－125.
规律方法
规律方法
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边 形的性质、等腰直角三角形的性质.解本题的关键是确定以O，A，P，D为 顶点的平行四边形时，OA和PD是对边，这也是本题的难点.
规律方法
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、 坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数 的解析式以及最值等知识.本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要 进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果.
考查角度三 平行四边形的存在性问题
例3 (2016·广安)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝ 1 x－3交于A、B 2
(3)平行四边形的存在性问题 解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标 准，第二步画图，第三步计算. 难点在于寻找分类标准.寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不 重复不遗漏，也可以使计算又好又快. 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三 条直线两两相交产生三个顶点；如果已知两个定点，一般是把确定的一 条线段按照边或角分为两种情况. 灵活应用中心对称的性质，可以使得解题简便.
(2)设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最
大值？最大值是多少？
解 在△OMN 中，OM＝4－x，OM 边上的高 PN＝34x， ∴S＝12OM•PN＝12(4－x)×34x＝－38x2＋32x，
即 S 与 x 之间的函数表达式为 S＝－38x2＋32x(0＜x＜4)， 配方得：S＝－38(x－2)2＋32， ∵－38＜0，∴S 有最大值， 当 x＝2 时，S 有最大值，最大值是32.
两点，其中点A在y轴上，点B坐标为(－4，－5)，点P为y轴左侧的抛 物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D. (1)求抛物线的解析式；
答案
解 ∵直线 y＝12x－3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，∴A(0，－3)， ∵点A(0，－3)，B(－4，－5)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，
(2)直角三角形的存在性问题 解决直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤：第一步寻找分类标 准，第二步列方程，第三步解方程并验根. 一般情况下，按照直角三角形直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股 定理或三角函数列方程；在平面直角坐标系中，常常利用两点间的距离公 式列方程；有时候根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更 简捷.
答案
规律方法
②若∠ONM＝90°，如答图3所示，则∠ONM＝∠OAB， 此时OM＝4－x，ON＝1.25x， ∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA， ∴△OMN∽△OBA， ∴OOMB ＝OONA，即4－5 x＝1.245x，解得：x＝4614. 综上所述，x 的值是 2 秒或6441秒.
规律方法
a－b＋c＝0， 得：9a＋3b＋c＝0，
c＝－3，
a＝1， 解得b＝－2，
c＝－3，
故抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
答案
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时， 求点P的坐标； 解 当点 P 在 x 轴上，P，A，B 三点在一条直线上时，点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短，此时 x＝－2ba＝1，故 P(1,0)；
答案
解 根据题意得：AM＝x，ON＝1.25x， 在Rt△OAB中，由勾股定理得： OB＝ OA2＋AB2＝ 42＋32＝5，
作NP⊥OA于P，如答图1所示，则NP∥AB， ∴△OPN∽△OAB， ∴PANB＝OOPA＝OONB，即P3N＝O4P＝1.255x， 解得：OP＝x，PN＝34x， ∴点 N 的坐标是x，34x.
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动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的 “变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函 数思想、转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法、数形结合法等.
解答动点问题的题目要学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问 题来解决，寻找动点问题中的特殊情况.
(1)等腰三角形的存在性问题 如果问题中△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC， ③CA＝CB三种情况.已知腰长，画等腰三角形用圆规画圆；已知底边，用 刻度尺、圆规画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法与代数 法，把几何法与代数法相结合，可以使得解题又快又好.
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列 三边长、分类列方程、解方程并检验.