极限论文

求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析中的一个非常重要的内容,并且极限的思想方法也一直贯穿于整个数学分析的学习中.一些基本学分析的关键.而求极限的方法也是多种多样.在本文中,通过归纳与总结,罗列出几种在学习中常用的求极限的方法,并用具体实例加以说明.关键词：极限；不动点；洛必达法则；定积分；泰勒公式1 引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限也是研究数学分析的限存在,则考虑如何计算此极限.本文主要针对第二个问题展开论述,即在极限存在的情况下,如何求得极限. 2 极限的若干求法2.1 利用不动点法求极限定理1[1]：设数列{}n x 满足()n n x f x =+1,()11x f x ≠,()()02≠+++=ad edx c bx ax x f ,且()x f 有两个互异的不动点1λ和2λ,则当且仅当0=b ,a d 2=,042>+ac e 时有2212111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--++λλλλnn n n x x x x .而当11121<--λλx x 时,有 2lim λ=∞→n n x .例1 设数列{}n x 满足01>x ，且21x x ≠,nn n x x x 2421+=+，其中0>a ，,,2,1 =n 求极限n n x ∞→lim . 解 令函数()xx x f 242+=,由()x x f =解得不动点21=λ,22-=λ.又因为01>x ,所以122112111<+-=--x x x x λλ.故由定理1得2lim 1==∞→λn n x .2.2 利用重要极限及其推广求极限 2.2.1 利用 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求极限 当所给函数中含有恒等变形将函数化成11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()11x x +的形式,然后利用重要极限公式1lim 1x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或它的变形形式()10lim 1x x x e →+=求解. 例2 求极限xx x )111(lim -+∞→. 解 xx x )111(lim -+∞→.1111lim 111lim 111111lim 11e e x x x x x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→-∞→2.2.2 利用1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的推广求极限定理2[2]：设 ()x α,()x β在点0x (0x 可以为无穷大)的某一邻域(0x 点除外)内连续,且满足如下条件：(1)()0lim 0=→x x x α,()∞=→x x x β0lim ；(2)()()k x x x x =→βα0lim (k 为常数或无穷大),则有()()()()()k x x x x x e ex x x ==+→→βαβα00lim 1lim .例3 求xx x x 3221211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.解 因为02121lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x ,∞=∞→x x 3lim ,2321213lim 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x ,所以由定理2得233221211lim e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.2.2.3 利用1sin lim0=→xxx 求极限当极限形式中含有三角函数时,一般等变换,然后利用重要极限1sin lim 0=→xxx 来求解.例4 求极限202cos 1lim x x x -→.解 202cos 1lim x xx -→.2sin 2lim sin 2lim 2220=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→x x x x x x 注 利用这两个重要极限及其推广来求函数的极限时要仔细观察所给函数的形式,只有形式符合或经过恒等变形后符合我们经常使用的变形：()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→= ()()1lim (1)()x x e x ϕϕϕ→∞+= 2.3 利用极限的四则运算法则求极限函数和数列都有相应的极限四则运算法则,下面以函数极限的四则运算法则为例来进行说明.定理3(函数极限的四则运算法则)[3]：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在则函数g f ±，g f ⋅当0x x →时极限也存在,且(1)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±； (2)[])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=；又若0)(lim 0≠→x g x x ,则g f /当0x x →时极限存在,且有(3))(lim /)(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x x x →→→=.注 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞仍成立.例5 求极限2324lim 222---→x x x x .解 2324lim 222---→x x x x而4)2(lim 2=+→x x ,5)12(lim 2=+→x x ,故由极限的四则运算法则可得54122lim 2324lim 2222=++=---→→x x x x x x x . 例6 求极限321lim 3--+→x x x .解 321lim3--+→x x x.41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim 33=++--=++-++-+=→→x x x x x x x x x注 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先要对函数施行各种恒等变形.例如分子、穷多项的和(或积)为有限项. 2.4 利用导数的定义求极限定义1(导数的定义)[3]：函数()x f y =在0x 的某领域内有定义,若极限()()000lim x x x f x f x x --→存在,则称函数在点0x 处可导.并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作()0x f '.例7 设()x f 在1=x 处的导数()31='f ,求极限()()xx f x f x --+→11lim 0. 解 ()()xx f x f x --+→11lim 0 ()()()()()()()()()().6111111lim 1111lim 00='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=--+-+=→→f f x f x f x f x f xx f f f x f x x 注 在运用此方法的过程中,首先要选好()x f .然后把所求极限表示成与()x f 在定点0x 的导数有关的形式.2.5 利用单侧极限与极限的关系求极限例8 设 ()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-=0,140,00,12x x x x x x f ，讨论()x f 在点0=x 处的极限是否存在.解 因为 ()()112lim lim 0-=-=--→→x x f x x ,, 显然()()1lim lim 00-==+-→→x f x f x x . 故()x f 在0=x 处的极限存在且()1lim 0-=→x f x .注 这种方法适用于求分段函数在分断点处的极限,首先必须考虑分段点的左右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在.否则,极限不存在. 2.6 利用初等函数的连续性求极限(1)任何初等函数在其定义区间上都是连续函数； (2)若)(x f 在0x x =处连续,则)()(lim 00x f x f x x =→.例9 求极限x x x 2cos )2ln(sin lim6π→.解 因为6π=x 在初等函数的定义域内,故由函数f 的连续性得23ln 2)6(2cos )2ln(sin lim 6==→ππf x x x .注 这种方法适用于求函数在连续点处的极限.2.7 利用拆项法求极限例10 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n . 解 由于()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ,因此可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅+⋅∞→12322212lim n n n .2111lim 21113121211lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=∞→∞→n n n n n 注 此方法主要应用于求数列各项和的极限.其中数列必须满足其各项通过拆项后能够相互抵消,以此来简便求极限运算的条件.2.8 利用泰勒展开式求极限[4]若函数()x f 在点0x 的邻域内存在直至n 阶导数,那么()x f 可以运用具有佩亚诺余项的泰勒公式来表示()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+=00200''00'0!)(!2)()()()( (1) 其中()()()n n x x x R 0-=ο.()x R n 称为佩亚诺余项,(1)式称为具有佩亚诺余项的泰勒公式.例11 求xxx x +-+→121lim0.解 在这里可用泰勒公式求解,考虑利用泰勒公式,当0→x 有.于是()()().212lim 21221lim 121lim000=+=---++=+-+→→→x x xxx xx x xxx x x x οοο注 在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理. 2.9 利用定积分的定义求极限 定积分也可以称为和式的极限.即()()k nk k ba n x f dx x f ∆⋅=∑⎰=∞→1lim ξ. 这里定积分的值与区间[]b a ,分法无关,与k ξ的取法也无关.关键是确定()x f b a ,,三个量.所以利用定积分定义求和式的极限分)的积分和式的极限.然后利用定积分的定义求得积分和的极限.例12 计算极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→33321lim n n n nn . 解 由于33321nn n n +++因此令()x x f =,10≤≤x ,它是n 等分区间[]1,0,k ξ取区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n k n k ,1的右端点构成的积分和.易知函数()x f 在[]1,0可积.于是由定积分的定义可知:321lim 101==⋅⎰∑=∞→dx x n n k nk n . 即.321lim 11==⋅=⎰∑=∞→dxx nn k nk n2.10 利用无穷小量的性质求极限定理4(无穷小量的性质)：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.即如果()0lim 0=→x f x x ,()x g 在0x 的某一邻域内有界,那么()()0lim 0=⋅→x g x f x x .例13 求x x x 1sin lim 20⋅→.解 因为11sin ≤x有界,且0lim 20=→x x ，所以由无穷小量时的无穷小量.则有02sin lim=∞→xxx .注 运用定理4来求函数极限,要求所给函数可以分解为两个函数的积,其中一个函数极限为0,另一个函数只要求有界,对其极限并无要求. 2.11 利用等价无穷小量代换求极限在求乘除表达式的极限时,巧妙运用等价无穷小代换,可以简化计算并求出相应的极限值.定义2(等价无穷小量的定义)[3]： 若1)()(lim0=→x g x f x x ,则称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量,记作()()x g x f ~ ()0x x →.定理5[3]：设函数h g f ,,在()0x U ︒内有定义，且有()()x g x f ~ ()0x x →. (1)若()()A x g x f x x =→0lim ,则()()A x h x g x x =→0lim ；(2)若()()B x f x h x x =→0lim,则()()B x g x h x x =→0lim .例14 求23202sin lim⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x .解 因为当0→x 时,有，故有42lim2sin lim23202320=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→x x x x x x x x .注 (1)由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,当0→x 时,常用的等价无穷小代换有:x x ~sin ，x x ~tan ，()x x ~1ln +，x e x ~1-，()ax x a~1+，x x 21~11-+，x x ~arctan 等.(2)等价无穷小代换只能在乘积和商中进行,不能在加减运算中代换,否则会导致错误.2.12 利用级数收敛的必要条件求极限定理6(级数收敛的必要条件)[3]：若级数∑∞=1n n u 收敛,则0→n u ()∞→n .例15 求()()[]21!11lim ---∞→n n n n . 解 设()()[]21!11--=-n n u n n ，则 ()()[]()12211!1!lim lim -∞→+∞→--⋅=n n n n n n n n n n u u .101111lim 1<=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=-∞→n n n n由比式判别法可知∑∞=1n n u 收敛.则由定理6可知()()[]0!11lim 21=---∞→n n n n . 注 此方法主要应用于对级数通项求极限,首先判定级数∑∞=1n n u 收敛，然后利用此必要条件求出它通项的极限.2.13 利用洛必达法则求不定式极限在不定式极限中,00型与∞∞型是基本的不定式形式,可以直接使用洛比达法则进行求解.2.13.1 00型不定式极限对于0型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理7[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()0lim lim 0==→→x g x f x x x x ；(2)在点,且()0≠'x g ；(3)()()A x g x f x x =''→0lim(A 可为实数,也可为∞±或∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=→→00lim lim . 例16 求()()x x x +→1ln 4sin lim 0. 解 ()()()x x x x x x +=+→→114cos 4lim 1ln 4sin lim 02.13.2 ∞∞型不定式极限对于∞∞型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理8[3]：若函数f 和函数g 满足： (1)()()∞==++→→x g x f x x x x 0lim lim ；(2)在0x 的某右邻域()0x U+内两者都可导,且()0≠'x g ； (3)()()A x g x f x x =''+→0lim (A 可为实数，也可为∞±,∞),则()()()()A x g x f x g x f x x x x =''=++→→00lim lim . 例17 求()xx x 1ln lim ++∞→. 解 ()()[]x x x x x x ''+=++∞→+∞→1ln lim1ln lim .011lim=+=+∞→x x 2.13.3 其它类型不定式极限不定式极限还有∞⋅0，∞1,00，0∞，∞-∞等类型.这些类型必须经过变换化为0型或∞∞型的不定式极限,然后才能利用洛必达法则来求极限. 例18 求()xx x 10cos lim →.解 这是∞1类型的不定式极限,首先我们对它作恒等变形()()x xxex cos ln 11cos =.其指数部分,可先求得()()0tan lim cos ln 1lim 00=-=→→x x x x x . 从而有()1cos lim 01==→e x xx .注 (1)要注意条件,在所求极限没有化为00或∞∞的形式时不可使用洛必达法则. (2)应用洛必达法则,否则会引起错误.(4)当()()x g x f a x ''→lim 不存在时,洛必达法则失效,但并不能说极限不存在,此时要用其它的方法求函数的极限. 2.14 利用换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元法对其进行恒等变形,使函数形式简化容易求出极限.例19 求xx x x x ln 9lim 3-→解 令9-=x x p ,则有()9ln ln +=p x x .故()().9911lim9ln lim ln 9lim 003=+=+=-→→→洛必达法则p p p x x x p p x x 2.15 利用极限定义求极限 2.15.1 利用函数极限的定义定义3(函数极限的εδ-定义)[3]：设函数f 在点0x 的某个空心领域()δ'︒;0x U 内有定义,A 为定数.若对任给的0>ε,存在正数为极限.例20 用极限定义证明1365lim23=-+-→x x x x . 证明 因为()，3333961325222-=--=-+-=--+-x x x x x x x x x所以,对0>∀ε,取εδ=,当δ<-<30x 时,就有.由函数极限的εδ-定义可得：1365lim 22=-+-→x x x x . 2.15.2 利用数列极限的定义定义4(数列极限的N -ε 定义)[3]：设{}n a 为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有ε<-a a n ,则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限.例21 证明13lim 22=-∞→n n n . 证明 由于的,故当⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ε3,3max N 时,(2)式成立.由数列极限的N -ε定义有：13lim 22=-∞→n n n . 注 (1)在数列极限的N -ε定义中N 不一定限于正整数,而只要它是正数即可. (2)此方法通常应用于极限已知用于证明的情况. 2.16 利用中值定理求极限 2.16.1 微分中值定理定理9(拉格朗日中值定理)：若函数f 满足 (1)f 在闭区间[]b a ,上连续；(2)f 在()b a ,内可导；则在内()b a ,至少存在一点ξ,使得()()()ab a f b f f --='ξ. 此式也可变形为:()()()()a b a f ab a f b f -+'=--θ ()10<<θ.例22 求xx e e xx x sin lim sin 0--→.解 令()x e x f =,则由中值定理可得:()()x f x f e e x x sin sin -=-()()()x x x f x x sin sin sin -+'-=θ ()10<<θ. 从而有()10<<θ.因为()x e x f ='连续, 所以()()()10sin sin ='=-+'f x x x f θ.从而有xx e e x x x sin lim sin 0--→=1. 2.16.2积分中值定理定理10(积分第一中值定理)[3]：若f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ.例23 求极限dx ax a ⎰+→103032lim .解 由积分第一中值定理可得:3232lim 32lim 301030=+=+→→⎰ξa dx ax a a . 注 这种方法适用于所求极限中含有积分的形式,运用积分定理将含有积分的形式化为一般形式再求极限.2.17 利用两个准则求极限 2.17.1 利用极限的迫敛性[3] 2.17.1.1 数列的迫敛性设收敛数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足：存在正数0N ,当0N n >时有n n n b c a ≤≤,则数列{}n c 收敛,且a c n n =∞→lim .2.17.1.2 函数的迫敛性设()()A x g x f x x x x ==→→0lim lim ,且在某()δ';0x U 内有()()()x g x h x f ≤≤.则()A x h x x =→0lim .例24 求nn n n a n ++++++=22222212 的极限. 解 因为0112lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n n ,0112lim 12lim 22=+=+∞→∞→nn n n n n 故由数列的迫敛性可得0lim =∞→n n a .例25 求9cos lim 2-+∞→x xx x . 解 因为1cos 1≤≤-x ,所以当+∞→x 时,有故由迫敛性可得09cos lim2=-+∞→x xx x .注 利用极限的迫敛性求极限,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列或函数,使得n n n b c a ≤≤或)()()(x g x h x f ≤≤.然后利用它们的极限和夹逼定理来得到所要求得的结果.2.17.2 利用单调有界准则[5]定理11(单调有界准则)：单调有界数列必有极限，且极限就是数列的上确界或下确界. 例26 证明下列数列的极限存在，并求其极限2321222222,22,2个n n a a a a ====.证明 从这个数列的构造来看n a 显然是单调递增的，而且122a a =,232a a =,12-=n n a a ,所以得数列的通项为 则有22221=⋅<=-n n a a .因此数列{}n a 有上界，故由单调有界准则可知，数列{}n a 的极限存在. 假设l a n n =∞→lim ,在递推公式122-=n n a a 两端同时取极限，可得l l 22=.由此解得 ()舍去或0,2==l l .因此有2lim =∞→n n a .注 利用“单调有界准则”讨论递推数列极限问题通常分为两个步骤,首先,讨论数列极限是否存在,这是问题的关键；当判定数列极限存在时,然后根据数列的通项递推公式求出极限. 3 小结本文主要归纳了数学分析中求极限的一些常用方法.而这些方法也只是众多求解极限方法的一小部分,可见求极联系,才能在求极限的过程中游刃有余,并且要想熟练掌握求极限的各种方法,必须通过大量的练习,在练习中体会.参考文献[1]郑华盛.非线性递推数列极限的不动点解法[J].高等数学研究,2012,15(5):1-2.[2]甘媛.幂指函数极限的推广及应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报,2011,10(6): 45-46.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[4]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报,2002,20(1):42-43.[5]于邵权,李宏伟.递推数列极限的一种求法[J].高等数学研究,2011,14(5):47-48.Some Methods of Solving LimitationPang Dandan(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:limitation has been a very important content in mathematical analysis,and the thought method of the limitation has been throughout the learning of the mathematical analysis. Some basic concepts such as differential and integral definition contacts with limitation closely. Therefore it is the key to do well in mathematical analysis to master the algorithm of the limitation expertly.But the algorithm of the limitation is diverse.In this text,through summing up and summary,I enumerate several ways which are commonly used in studying ,and use specific examples to illustrate them.Key words: Limitation;fixed point;L'Hospital's rule;definite integration;Taylors formula。