从位移、速度和力到向量的概念
从位移、速度、力到向量
子洲县职教中心 数学 导学案2013-2014学年第 一 学期 高二 年级 3班 组 姓名 编写者 王治强 审核者 使用时间2013年 10 月 日课题 ：从位移、速度、力到向量学习目标：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别； （2）理解向量的几何表示 重点难点：向量及向量的有关概念、表示方法 自主学习 （一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）（二）、新课学习学习过程1、数量与向量的区别？2.向量的表示方法？ ① ② ③④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作 .3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： . 向量与有向线段的区别：（1） .（2） . 4、零向量、单位向量概念：① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.② 叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义： 叫相等向量。
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 合作交流 1.判断 （1）平行向量是否一定方向相同？ABCDA(起点)B（终点）a（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，①分别写出图中与向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 相等的向量；②分别写出图中与向量−→−OD 、−→−OE 、−→−OE 共线的向量.达标训练1．下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4.下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行 5.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.DEOAB CF。
从位移、速度、力到向量
§1从位移、速度、力到向量预习案学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.4，在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.重点：向量的有关概念。
难点：共线向量的理解。
知识学习1、向量的概念向量是的量；数量是的量；2，向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的_________表示向量的大小，箭头的指向表示_________________⑵以A为起点，B为终点的有向线段记作AB（注：起点在前，终点在后）. 已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，也称为模，记作AB.有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a，b，c，表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？3：两个特殊的向量零向量：_________________的向量；单位向量：_____________________的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量. 若向量a，b平行，记作：//a b.规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0//a.②零向量的方向不确定，是任意的.4,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）平行向量和共线向量5. 平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a、b、c是平行向量，则可记为////a b c. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.预习自测：1. 下列各量中不是向量的是（ ）.A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2. 下列说法正确的是（ ）.A ．向量AB 与向量BA 的长度不等B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C ．零向量没有方向D ．任一向量与零向量平行3. 某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（ ）.A ．东偏南30B ．南偏东30C ．东偏南45D ．南偏东254. 物理中的作用力与反作用力 一对平行向量.（是或不是）5、、下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段；6、下列说法中正确的是①若//a b ，则a b =； ②若a b =，则a b =； ③若a b =，则//a b ； ④若a b =，则a b =.探究案例1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD ，OE ，OF 相等的向量.变式：与AB 相等的向量有哪些？例2如下图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE 平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性.训练案1. 在四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( ) .A.AD 与CB C.AC 与BDB.OB 与OD D.AO 与OC2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数；②若两个向量平行，则两个向量相等；A B CC E③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度有零上和零下温度，所以温度是向量；④非零向量a 的单位向量是a a .3. 下列命题中，正确的是（ ）. A.a b =⇒a b = B.a b >⇒a b > C.a b =⇒//a b D.0a =⇒0a = 4， 若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形5. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的向量.6. 下列命题中，说法正确的有 ①若a b =，b c =，则a c =；②若//a b ，//b c ，则//a c ；③若a b =，则a b =或a b =-；④若AB DC =，则A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点.7. 在腰为2，底边为3的等边ABC ∆中，则底边BC 上的中线向量AD 的模为A B C D。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
从位移、速度、力到向量
B A 上面的向量记为AB, A为向量的起点， B为向量的终点；
也可记为a
有向线段的三要素：起点、方向、长度 向线段的起点和终点字母表示，如 AB .
特别注意：把有向线段（即向量）任意 平移，向量不变，即看作同一向量，因 为向量的大小和方向没有改变。
a
c 等小写字母表示；或用表示有 2.字母表示法： 用 a、 b、
(4).下列说法正确的是 ( A ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是 0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
（3）错
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中：
（ 1 ）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC相等吗？
解：（ 1 ） OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3：在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量，其中与AB相等的
从力位移加速度到向量教学设计
从位移、速度、力到向量教学设计：龙涛1、教材的作用和地位向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
2、教学目标（1）知识目标：理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；（2）技能目标：理解向量的几何表示，会用字母表示向量；（3）能力目标：了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；（4）德育目标：通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力。
3、教学重点：本节重点是向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示。
4、教学难点：向量概念的理解5、学法：引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系．由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用. 对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向．讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．6、教具：多媒体或实物投影仪，尺规7、授课类型：新授课8、教学过程【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些（物理）量问题1：（多媒体演示）老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？学生：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
向量的概念与性质
向量的概念与性质向量，作为研究物理、数学等学科中的基本概念之一，具有广泛的应用价值。
在本文中，我们将讨论向量的概念以及其所具有的一些重要性质。
一、向量的概念向量可以被理解为带有方向和大小的量，常用以描述位移、速度、力等物理量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，位移向量可以表示一个物体从初始位置到最终位置的位移情况，速度向量可以表示运动物体在某一时刻的速度大小和方向。
二、向量的性质1. 向量的加法和乘法运算向量的加法定义为两个向量相加得到的结果，其几何意义为将一个向量平移至另一个向量的尾部，连接两个向量的首尾即可得到结果向量。
向量的乘法通常有数量积和向量积两种形式，数量积的结果为一个标量，表示两个向量之间的夹角关系；向量积的结果为一个向量，垂直于原向量所在的平面。
2. 向量的共线性若两个向量的方向相同或相反，称它们共线；若两个向量的大小和方向都相同，称它们相等；若一个向量的大小为零，称它为零向量。
共线向量有以下性质：共线向量的数量积为零，零向量与任何向量的数量积为零。
3. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，用于衡量一个向量在某个方向上的分量。
投影的大小等于向量的模长与两向量之间夹角的余弦值的乘积。
4. 向量的线性运算向量具有线性运算的性质，即向量与标量的乘法和向量的加法满足以下规则：若a是一个实数，u、v、w是任意向量，则有：(a*u) + (a*v) = a*(u+v)；a*(u+v) = (a*u) + (a*v) = a*u + a*v。
5. 向量的单位化向量的单位化是将一个向量的大小调整为1，其方向不变。
通过将向量除以其模长即可得到单位向量，单位向量用帽子 (^) 表示。
单位向量在物理中有着重要的应用，例如在力学中，单位向量常用于表示力的方向。
总结向量作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用。
通过向量的加法和乘法运算，我们可以对向量进行各种运算操作。
北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿
北师大版高中数学必修第二册《位移、速度、力与向量的概念》评课稿一、课程概述《位移、速度、力与向量的概念》是北师大版高中数学必修第二册中的一节课。
本课程主要介绍了位移、速度、力以及向量的基本概念和相关的计算方法。
通过学习该课程，学生将能够理解和运用这些概念，为后续学习物理学打下基础。
二、教材分析《位移、速度、力与向量的概念》这节课是数学必修第二册的一部分。
教材采用了北师大版的教材，该教材在内容和难度上都与国家教育要求相符合。
本节课的内容紧密结合了实际生活中的运动问题，通过一系列的案例引导学生进行思考和分析。
三、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够达到以下教学目标：1.理解位移、速度、力和向量的含义和定义；2.掌握位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法；3.在实际问题中应用位移、速度、力和向量的概念、公式和方法；4.培养学生的逻辑思维、问题解决和数学建模能力。
通过这些教学目标的达成，学生将能够全面理解和运用位移、速度、力和向量的概念，为后续学习和应用打下坚实的基础。
四、教学重点与难点本节课的教学重点如下：1.位移、速度、力和向量的概念和定义；2.位移、速度、力和向量的基本计算公式和方法。
本节课的教学难点如下：1.向量的加法和减法运算；2.掌握向量的模长和方向角的计算方法；3.几何问题的向量表示和分解。
针对这些重点和难点，教师应采取合适的教学方法和策略，引导学生加深理解和掌握。
五、教学内容与步骤5.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.位移的概念和计算方法；2.速度的概念和计算方法；3.力的概念和计算方法；4.向量的概念和计算方法。
5.2 教学步骤本节课的教学步骤如下：步骤一：引入通过一个日常生活中的运动场景或问题引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣和思考。
步骤二：位移的概念和计算方法首先介绍位移的概念和定义，然后介绍位移的计算方法和公式。
通过具体的例子，引导学生理解位移的概念和计算方法，并进行相关的练习。
必修4-2.1 从力、速度、位移到向量
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本课所学的知识点有哪些？ 向量的概念及几何表示； 零向量、单位向量、相等向量、共线向量．
你有何收获？
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1、P75习题2-4，A组1、2、3、4， 2、高中同步测控优化设计“训练与测评 ”P13 3、预习：P76、§2从位移的合成到向量的加法
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向量a与b相等，记作a b .
因此，当用有向线段 表示向量时，起点可以任 意选取，同向且等长的有 向线段都表示同一向量， 或者说向量可以在平面内 平行移动 .
A1B1 A2 B2 A3 B3
13
B1 B2
B3 A2 A1 A3
4、平行向量： 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合， 则称这两个向量平行或共线 .
哈尔滨
北京
重庆 广州
上海
5
飞机向东北方向飞行了150km，飞行时间为半 小时，那么飞行速度的大小是300km/h，方向是 东北 . 假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家 2000m . 从家到学校，可能有长短不同的几条路 . 无论走那条路，你的位移都是东偏北30°方向移 动了 2000m .
B（终点）
A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
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2、向量的几何表示：用有向线段表示 .
向量AB 的大小，也就是有向线 段 AB 的长度（也称 模），记作| AB | .
长度为0 的向量称为零向量，记 作0 或0.
长度为单位1的向量，叫作单位向量 .
思考: “向量就是有向线段, 有向线段就是向量.”的说法 对吗?
F 图2-7
解 （1）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的 向量中，与向量DE相等的向量有：AF和FC； （2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向 量中，与向量DF相等的向量有：BE，EB，EC， CE，BC，CB，FD .
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B
( 2)方 向 不 同 的 两 个 向 量 定 一不 平 行 ; ( 3)向 量 就 是 有 向 线 段 ; (4)向 量0 0; (5)向 量AB大 于 向 量 CD . 其中正确命题的个数是 A.0
B .1 C .2 D.2
1.下 列 说 法 是 否 正 确 A.若 | a || b |, 则a b B .若 | a | 0, 则a 0 C .若 | a || b |, 则a b或a b D .若 a // b, 则a b E .若 a b, 则 | a || b | F .若 a b, 则a与b不 是 共 线 向 量 G .若 a 0, 则 a 0
2.有向线段的三要素：起点、方向、长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB
AB
uu u r 即为线段AB的长度记作 | AB（读为模） |
3. 向量如何表示？
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长 度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量AB
A B
②代数表示也可以为： a、b、c…
小结
位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又 有方向的量，在物理中称为矢量。
一、向量的概念
向量：即有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
（数量：只有大小，没有方向的量） 例1.判断下列哪些是向量？ 浮力、密度、质量、路程、面积 向量有：浮力
二、向量的表示
1.有向线段——具有方向和长度的线段
B A
单位向量：长度为1的向量.
注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫 平行向量又叫共线向量.
a // b
注意：我们规定，零向量与任一向量平行，即对 任意向量 a ， 都有 0 // a
6.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4 c a=b=c
从位移、速度和力
向量的概念
学习目标
1．了解向量产生的物理背景及几何背景。 2. 理解向量的概念、几何表示。 3. 理解零向量、单位向量、相等向量和共线 向量的含义。
思考？
老鼠由A向西北逃窜，猫 在B处向东追去。猫能否 追到老鼠？
A
B
不能，因为方向错了。
民航每天都有从北京飞往 上海、广州、重庆、哈尔 滨等地的航班。每次飞行 都是民航客机的一次位移.北京
=A2B2=A3B3=A4B4
B3
注：1.若向量 a b相等，则记为 a= b ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。
练 习 ： 判 断 下 列 命 题否 是正 确 (1)向 量AB和 向 量BA长 度 相 等 ;
例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与 OA、OB、OC 相等的向量。
解：OA=CB=DO=EF
OB=DC=EO=FA OC=AB=ED=FO
C
B
A
O
F
D
E
课堂小结：
向量的表示AB或a 有向线段 向 向量的大小 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量 量 向量的方向
平行向量 (共线向量)
印刷体中用黑体小写字母a、b、c…表示
uu u r uur uuu r 或 AB, BA, BC
大小记作: a , b , c
uu u r uuu r uuu r 或 | AB |,| BC |,| BC |
说明1： 我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，
起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图：他们都表示
某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度是： 平均出手角度θ=43.242 平均出手速度大小为v=28.35m/s
F
G
起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又 受到竖直向上的起重机拉力的作用。
拉力的大小超过重力时，物体被吊起。
F θ
汽车爬坡时，牵引力大小为F.
方向倾斜向上，与水平方向成θ角.
a a
同一个向量。
练习: 1.向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
说明2： 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
B D B D
A
C
A
C
有向线段AB、CD 是不同的。
向量 AB、CD 是同一个 向量。
4.零向量： 长度为0的向量，记为 0 ；
哈尔滨
重庆
上海
由于飞行的距离和方向各 不相同,因此,它们是不同 的位移.
广州
从家到学校,可能有 长短不同的几条路
北
学校 30 家
东
无论走哪条路,你的位移都是向东偏 北 30 方向移动了2000m
飞机向东北飞行了150km, 飞行时间为半小时,飞行 的速度为?
北
东
大小是300km/h,方向是东北.