高中数学 第二章 向量在物理中的应用举例例题讲解素材 北师大版必修4
高中数学北师大版必修四第二章：向量应用举例
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积
找出相应关系；④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标 运算找出相应关系；④把几何问题向量化.
跟踪训练2
如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
题型探究
类型一 平面向量在解析几何中的应用 例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，
F分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，FD的方程；
解 由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， → → 设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则DM∥DE. → → DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
解答
反思与感悟
利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向 量法则进行运算.
跟踪训练 1
在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分
线所在的直线方程. → → 解 AB＝(3，4)，AC＝(－8，6)， ∠A的平分线的一个方向向量为 → → AB AC 4 4 3 1 7 3 a＝ ＋ ＝ ， ＋－ ， ＝－ ， . → → 5 5 5 5 5 5 |AB| |AC| 设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
知识点二
点到直线的距离公式
思考
n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在 → 直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量PM，n有怎样的关系？
(北师大版)数学必修四：2.7《在物理中的应用》ppt课件
（2）某同学在单杠上做引体向上， 手臂握杠的姿势怎样最合适？
[例2] 两根等长的绳子挂一个物体，但绳端不保
持同一高度。分析其中一条绳子受到的拉力
的大小与如图夹角ө的关系。
问：当ө（450≤ө <900）逐渐 增大时， 的大小怎样变化？
思考：一条河的两岸平行，和的宽度为d，一艘
船从A处出发航行到对岸。船航行的速度为 ，
向量在物理中的应用
[例1] 两根等长的绳子挂一个物体，分析绳子受到 的拉力 的大小与两绳子间的夹角 的关系。
讨论：
（1）当θ逐渐增大时， 的 大小怎样变化？ 为什么？ （2）当θ为何值时，│ │ 最小，最小值是多少？
（3）当θ为何值时， │ │=│ │
生活小问题：
（1）两人一起抬桌子，怎样抬最省力？
水的流速为
为什么？
，船如何航行所花费时间最少？
[例3] 光滑半球固定在水平面上没，球心的正上 方固定一个小滑轮，细绳一端系一个小球置于 半球面的A点，细绳绕过滑轮，在另一端施一 拉力 缓缓地拉细绳，使小球沿球面向上移动， 在此过程中，小球对半球的压力 ，细绳拉力 的大小变化情况是（ ） A 变大 ， 不变 B 变小 ， 变大 C 变大 ， 变小 D 不变 ， 变小
北师大版必修4 第2章-7 向量应用举例
(2)由(1)得 F(x)＝x＋x 1＋x＝x＋1x＋1(0<x<1)，设 0<x1<x2<1，
则 F(x1)－F(x2)＝x1＋x11＋1－x2＋x12＋1
＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)1－x11x2 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由 0<x1<x2<1，得 x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0， 得 F(x1)－F(x2)>0，即 F(x1)>F(x2)． ∴F(x)在(0，1)上为减函数．
证明 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d. ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0. ∵B→C＝D→C－D→B＝d－c，∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0， ∴A→D⊥B→C.即 AD⊥BC.
过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点． 由已知，|O→A|＝75( 6－ 2)，|O→C|＝150，∠COD＝45°. 在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75 2，CD＝75 2. 又ED＝BC＝OA＝75( 6－ 2)， ∴OE＝OD＋ED＝75 6.又BE＝CD＝75 2. 在Rt△OEB中，OB＝ OE2＋BE2＝150 2， sin∠BOE＝OBEB＝12，∴|O→B|＝150 2，∠BOE＝30°. 故没有风时飞机的航速为150 2 km/h，航向为西偏北30°.
(2)∵直线l1与l垂直， ∴l1的一个方向向量v＝(－2,1)． ∴直线l1的斜率为－12. ∴直线l1的点斜式方程为y－0＝－12(x－2)． 整理得x＋2y－2＝0. 故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.
北师大版高中数学第二章7 向量应用举例
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7 向量应用举例
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考纲定位
重难突破
1.了解直线法向量的概念． 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题及一些实际问题． 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物
重点：向量方法在几何、物理中的应用． 难点：1.法向量的理解．
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2．点到直线的距离公式
设点 M(x0，y0)为平面内任一点，则点 M 到直线 l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离 d＝
|ax0＋by0＋c| ______a_2_＋__b_2____.
3．两平行线间距离
|c1－c2|
直线 l1：ax＋by＋c1＝0 与直线 l2：ax＋by＋c2＝0(a2＋b2≠0 且 c1≠c2)的距离 d＝___a_2_＋__b_2__.
10 2.
答案：
10 2
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探究一 向量在解析几何中的应用 [典例 1] 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是圆 C 上的任意一点，点 N 在 线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N，求点 N 的轨迹方程．
高中数学 第二章 向量应用举例教案 北师大版必修4
向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h - a , −→−CH = h - b , −→−BC = b - a∵−→−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→−AB∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h ∴−→−AH ⊥−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点[展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=2 2．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)由向量的坐标运算 −→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。
(北师大版)高中数学必修四：2.7《向量在物理中的应用举例》例题讲解
向量在物理中的应用举例向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．１．解决力学问题例1 质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．解：如图1，物体受三个力：重力G （竖直向下，大小为mg Ｎ），斜面对物体的支持力F （垂直于斜面，向上，设其大小为F Ｎ），摩擦力f （与斜面平行，向上，大小为f Ｎ）．由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0， 即G F f ++=0． ①记垂直于斜面向下、大小为1N 的力为e 1，与斜面平行向下、大小为1N 的力为2e ，以e 1，e 2为基底，则()()F F f f =-=-00，，，，由e 1旋转到G 方向的角为θ，则=G (cos sin )θθ，mg mg ．由①得过且过++=G F f （cos θ-mg F ，sin θ-mg f ）(00)=，， cos mg θ∴-F 0=，sin θ-mg f 0=，故F cos mg θ=，f sin mg θ=．例2 有两根柱子相距20m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m ，求此时绳子所受的张力．的力分别记为解：如图2所示，设重力作用点为C ，绳子AC BC ，所承受CE CF ，，重力记为CG ．由C 为绳子的中点知CE CF =．由CE CF CG +=，知四边形CFGE 为菱形．又cos cos 0.02FCG DCB ∠=∠=≈，18.92445cos 0.02CGCE CFFCG ∴====∠．即绳子所受的张力为445N ．2．解决与位移、速度有关的问题例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4m/s ，这时气象台报告实际风速为2m/s ．试求风的实际方向和汽车的速度大小．分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地． 风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地=v 风车+v 车地． 如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD 是ACDB 的对角线．4m/s AC =，302m/s ACD AD ∠==，，90ADC ∴∠=．在Rt ADC △中，cos3023(m/s)DC AC ==·．即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为．例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此法继续操作下去．（1） 作图说明，当45α=时，操作几次赛车的位移为0．（2） 若按此操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件，请写出其中两个． 解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形． 赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．（2）若按此法操作n 次赛车能回到出发点，则操作n 次赛车的位 移为0，赛车位移路线构成一个正n 边形，由平面几何知识，360n α=（多边形外角和定理），360(3)n n n α*∴=∈N 且≥．若60α=，则6n =，即操作6次可回到起点． 若15α=，则24n =，即操作24次可回到起点．评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．。
高中数学北师大版必修4第二章平面向量.7向量应用举例.2
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练2 某人在静水中游泳，速度为4 向前进？实际前进的速度大小为多少？
解
2.7.2
3 km/h，水的流
速为4 km/ h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方
→ 如图所示，设此人的实际速度为 OB ， →
本 课 时 栏 目 开 关
水流速度为 OA .
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为
研一研·问题探究、课堂更高效
解 (1)由力的平衡及向量加
2.7.2
法的平行四边形法则，
本 课 时 栏 目 开 关
|G| 得－G＝F1＋F2，|F1|＝cos θ，
|F2|＝|G|tan θ， 当 θ 从 0° 趋向于 90° 时，|F1|，|F2|都逐渐增大.
|G| 1 (2)由|F1|＝cos θ，|F1|≤2|G|，得 cos θ≥2.
2.7.2
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → 1→ 4→ → 2→ → ∴ BP ＝ BC ＋C P ＝7 BC ＋7 BA . CD ＝3 BA － BC . 1→ 4→ 2→ → → → 从而 BP · CD ＝(7 BC ＋7 BA )· (3 BA － BC ) 8 2 1 2 10 2 → → ＝ a － a － a cos 60° ＝0.∴ BP ⊥CD .
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
2.7.2
1.向量方法在几何中的应用 已知，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)证明线段平行问题，包括 相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔
本 课 时 栏 目 开 关
a＝λb ⇔
x1y2－x2y1＝0 .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用 向量垂直的等价条件：a⊥b⇔ a· b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0 . a· b (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝ |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 2 2 2 x2 ＋ y x ＋ y 1 1 2 2 .
北师大版高一数学必修4第二章§7.2向量的运用举例
一、几何中的应用举例
例2 如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
思路分析
C D
解决此类问题一般是将相关的线 E
段用向量表示，利用向量的三角形 A
H
法则和平行四边形法则，结合题目
F
B
中的已知条件进行运算，得出结果，
再翻译成几何语言 .
证明 :设AD , BE交于点H，以下只需
uuur CB
0，所以uAuCur
uuur CB,
A ∠ACB=90°.
b
O
B
2.一条河的两岸平行，河宽d 500 m，一艘船从A ur
出发航行到河的正对岸B处.航行的速度 v1 ur
10km / h，水流的速度 v2 2 km / h，问行驶航程最
短时，所用的时间是多少？
思路分析 如图，已知v v1 v2， v1 10 km / h, v2 2 km / h， v v2，求t.
例大小4 为已5知0力NFr，与一水个平质方量向为的8夹k角g的为木30块°受（力斜Fr向的上作）用，在
动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力
r F
和摩擦力
r f
所做的功分别为多少？（g=10
m/s2）
分析：本题是向量在物理学中“力学
问题”上应用的例子，可以清楚地看
r f几何问题的“三步曲”：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何元素.
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
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向量在物理中的应用举例
向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．
１．解决力学问题
例1 质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对于物体的摩擦力和支持力的大小．
解：如图1，物体受三个力：重力G （竖直向下，大小为mg
Ｎ），斜面对物体的支持力F （垂直于斜面，向上，设其大小为F Ｎ），摩擦力f （与斜面平行，向上，大小为f Ｎ）．
由于物体静止，故这三个力平衡，合力为0，
即G F f ++=0． ①
记垂直于斜面向下、大小为1N 的力为e 1，与斜面平行向下、大小为1N 的力为2e ，以e 1，e 2为基底，则()()F F f f =-=-00，，，，由e 1旋转到G 方向的角为θ，则
=G (cos sin )θθ，mg mg ． 由①得过且过++=G F f （cos θ-mg F ，sin θ-mg f ）(00)=，
， cos mg θ∴-F 0=，sin θ-mg f 0=， 故F cos mg θ=，f sin mg θ=．
例2 有两根柱子相距20m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2m ，求此时绳子所受的张力．
解：如图2所示，设重力作用点为C ，绳子AC BC ，所承受
的力分别记为CE CF ，
，重力记为CG ．由C 为绳子的中点知CE CF
=
．
由CE CF CG +=，知四边形CFGE 为菱形．
又cos cos 0.02FCG DCB ∠=∠=≈， 18.92445cos 0.02
CG CE CF FCG ∴====∠． 即绳子所受的张力为445N ．
2．解决与位移、速度有关的问题
例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4m/s ，这时气象台报告实际风速为2m/s ．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
分析：这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，先要用物理概念建立解题意向，再使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，最后利用解直角三角形的技巧把问题解决．
解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地．
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地=v 风车+v 车地． 如图3，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD 是
ACDB 的对角线．
4m/s AC =，302m/s ACD AD ∠==，，
90ADC ∴∠=． 在Rt ADC △
中，cos3023(m/s)DC AC ==·．
即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为
．
例4 一位模型赛车手摇控一辆赛车，向正东方向前进1米，逆时针方向转弯α度，继续按直线向前行进1米，再按逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此法继续操作
下去．
（1） 作图说明，当45α=时，操作几次赛车的位移为0．
（2） 若按此操作赛车能回到出发点，α应满足什么条件，请写出其中两个．
解：（1）作图，如图4，赛车位移路线构成一个正八边形．
赛车所行路程为8米，操作8次赛车的位移为0．
（2）若按此法操作n 次赛车能回到出发点，则操作n 次赛车的位
移为0，赛车位移路线构成一个正n 边形，由平面几何知识，360
n α
=（多边形外角和定理），360
(3)n n n α*∴=∈N 且≥． 若60α=，则6n =，即操作6次可回到起点．
若15α=，则24n =，即操作24次可回到起点．
评注：本题是向量位移的应用，培养了同学们动手操作绘图能力，分析问题及解决问题的能力．。