人教A版高中数学必修五高一《数列》单元测试卷.doc
必修5--《数列》-单元测试卷--(有答案)
必修5--《数列》-单元测试卷--(有答案)必修5 数列单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．S n是数列{a n}的前n项和，log2S n＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{a n}( ) A．是公比为2的等比数列 B．是公差为2的等差数列C．是公比为12的等比数列 D．既非等差数列也非等比数列2．一个数列{a n}，其中a1＝3，a2＝6，a n＋2＝a n＋1－a n，则a5＝( )A．6 B．－3 C．－12 D．－63．首项为a的数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( ) A．a n－1 B．Na C．a n D．(n－1)a4．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为( ) A．63 B．64 C．127 D．1285．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于( )A．－8 B．8 C．－98D.986．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．57．已知{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( )A．4 B.14C．－4 D．－148．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a17＝10，则S19＝( )A．55 B．95 C．100 D．1909．S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{S n}中也是确定常数的项是( )A．S7 B．S4 C．S13D．S1610．等比数列{a n}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是( )A．2n－1 B．2n C．2n＋1D．2n＋211．已知等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和S n取得最大值的自然数n是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________. 14．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.15．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________. 16．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S11≠S12，且S11最大，求{b n}的公差d的范围．19．(12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求a n与b n；(2)证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn<34.20．(12分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n ＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22．(12分)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－2a n－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．(1)求证：数列{an2n}是等差数列；(2)若数列{a n}的前n项和为S n，求S n.必修5 数列 单元测试题 答案一、选择题1.解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D2.解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D 3解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2.∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127. 答案 C5解析 a 2－a 1＝－1－－3＝83，b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3，∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A 6解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)，∴n ＝3. 答案 B 7解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎨⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4. 答案 A8解析S19＝a1＋a192×19＝a3＋a172×19＝102×19＝95. 答案 B9解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案 C10解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)，∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝a11－251－2＝31.∴a1＝1，∴a n＝2n－1. 答案 A11解析由d<0知，{a n}是递减数列，∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0. ∴S5＝S6且最大．答案 B12解析a，b，c成等比数列，∴b2＝ac>0. 而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac<0.∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．答案 C二、填空题13．解析设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q4，∴q＝± 3.∴x＝2q＝±2 3. 答案±2 314. 解析由题意，得a1＝67，a2＝127，a3＝57，a4＝107，a5＝37，a6＝67，a7＝127，…，∴a2013＝a3＝57. 答案5715．解析S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1. 答案 116．解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案15三、解答题17．解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21，∵a1≠0，∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n，即a n＝2a n－1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n ＝2n －1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②得 －B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n . 18．解 (1)证明：设{a n }的公比为q ，则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0， ∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4，∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝＋d q ＝64，b 3S 3＝＋3dq 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3n ＋n ＋∵2n ＋3n ＋n ＋>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.20．解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －2＝6n 2－22n .21．解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5. 故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n2n }是以12为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12，∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－2n1－2－n·2n＝2n－1－n·2n，∴S n＝(n－1)·2n＋1.。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试A卷
第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。
第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。
人教A版高中数学必修五高二复习：数列单元测试题
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2013.9一：选择题（每题5分，共50分）1．等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于………（ ）A ．245B ．12C ．445D ．62．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则91a a ⋅的值为……（ ）A ．3B ．9C ．±3D ．±93.{}n a 为等差数列，2-=d ，5031741=++++a a a a ，则=++++421062a a a a ( ) (A). 60 (B). 82- (C). 182 ( D). 96-4、已知等比数列{a n } 的前n 项和为n S , 若S 4=1,S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=( ) A ．7 B ．16 C ．27 D ．645．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(23*N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列B ．等差数列C ．从第二项起是等比数列D ．从第二项起是等差数列6．等差数列{a n }中，4,84111073=-=-+a a a a a .记n n a a a S +++= 21，S 13等于（ ）A ．168B ．156C ．152D ．787．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab8．{}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知等差数列{a n }的前m 项和为100，前3 m 项的和为－150，则它的前2m 项的和为 （ ）A ．25B ．—25C ．50D ．7510．．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是（ ） A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列 B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列设二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．43,)1(112161211=⋅+++++=+n n n S S n n S 且 ，则n 的值为 12．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处的温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山的山顶相对于山脚处的高度是13．设数列{a n }的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n 则 14．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为n S 、n T ，若77,322b a n n T S nn 则++==15．等比数列}{n a 公比为q ，前n 项和为n S ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 为 数列单元过关答题纸一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题（共75分）16.等比数列{a n }的前n 项和n S ，且a 3=23, S 3= 29,求n a 的表达式.17．数列{a n }的前n 项和为n S ，且11=a ，113n n a S +=，)2(≥n求:（I ）432,,a a a 的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值.18.数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足n n a S =2 .(n S －21)（1）求n S 的表达式； （2）设n b = 12+n S n ,求数列{}n b 的前n 项和n T19. 已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，已知,153,1193==S a（1）求n a ； （2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .20．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
人教A版高中数学必修5单元提分试卷等比数列
单元提分卷（6）等比数列1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24 B.0C.12D.242、已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=( ) A.33B. 72C. 84D. 1893、等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=L ( ) A.12B.10C.8D.32log 5+4、若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.65、在等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若51T =，则下列一定正确的是（ ） A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a =6、设数列{}n a ,( ).A.若2*4,,n n a n N =∈则{}n a 为等比数列. B.若2*21,n n n a a a n N ++⋅=∈,则{}n a 为等比数列. C.若*2,,m n m n a a m n N +⋅=∈,则{}n a 为等比数列. D.若*312,n n n n a a a a n N +++⋅=⋅∈,则{}n a 为等比数列.7、三个数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则,,a b c 间的关系为( ). A. b a c b -=-B. 2b ac =C. a b c ==D. 0a b c ==≠8、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A. 3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C. 3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-9、在等比数列{}n a 满足135a a +=,且公比2q =,则35a a +等于( ). A.10 B.13 C.20 D.25 10、在等比数列{}n a 中，首项10a <,要使数列{}n a 对任意正整数n 都有1n n a a +>,则公比q 应满足( ). A. 1q > B. 01q << C.112q << D. 10q -<<11、已知等比数列{}n a 中, 12451,8a a a a +=+=-则公比q 等于( ). A.-2 B.2 C. 23- D.3212、设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=,则12n a a a L 的最大值为__________13、若三个正数,,a b c 成等比数列,其中5a =+5c =-则b =__________. 14、已知数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =__________15、三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列,且22,1,a b 依次成等比数列,则11a b+=__________ 16、首项为3的等比数列的第n 项是48,第23n -项是192,则n =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析： 答案：C解析：由题意可设公比为q ，则21344a a a =+， 又13a =，∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===.3答案及解析： 答案：B解析：564756189a a a a a a +=∴=,()313231031210log log log log a a a a a a +++=L L()53563log 5log 910a a ===.4答案及解析： 答案：B解析：111192,(),383n n n a a q --=∴=⋅Q 则128()327n -=，13n ∴-=，即4n =.5答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得123451a a a a a ⋅⋅⋅⋅=, 即15243()()1a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,又215243()()a a a a a ⋅=⋅=,所以531a =,得31a =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，那它一定是常熟数列，但要注意的是等比数列中不能有0.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：C 解析：10答案及解析： 答案：B解析：()11110n n n a a a q q -+-=->对任意正整数n 都成立,而10a <只能01q <<11答案及解析： 答案：A 解析：12答案及解析：答案：64 解析：13答案及解析： 答案：1解析：∵,,a b c 成等比数列,∴((25525241b ac ==+⋅-=-=. ∵ b 为正数,∴1b =.14答案及解析： 答案：1 解析：15答案及解析： 答案：2± 解析：16答案及解析： 答案：5 解析： 设公比为q ,则1212424348163192644n n n n q q qq q ----⎧⎧==⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎩⎩,得2q =±.由()1216n -±=,得5n =.。
人教A版高中数学必修五必修5数列测试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高一数学《数列》单元检测题及参考答案一、选择题：1．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 （ D ）A ．7B ．15 C.30 D ．312．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为（ D ）A ．32B ．64C ．256D ．±643. 若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7=45，a 2＋a 5＋a 8=39，则a 3＋a 6＋a 9的值是 （ D ） A ．39B ．20C ．19.5D ．334．非常数数列}{n a 是等差数列，且}{n a 的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为 （ C ）A ．51B ．5C ．2D ．215．在等比数列}{n a 中, n a >0，且2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么3a +5a =（A ）A 5B 10C 15D 206．S n 为等差数列{a n }的前n 项之和，若a 3=10，a 10=－4，则S 10－S 3等于 （ A ） A ．14 B ．6 C ．12 D ．217．正项等比数列｛a n ｝满足：a 2·a 4=1，S 3=13，b n =log 3a n ， 则数列｛b n ｝的 前10项的和是（ D ） A ．65 B ．－65 C ．25 D ．－258．在等差数列}{n a 中，3a 、8a 是方程0532=--x x 的两个根，则10S 是 （ B ） A. 30 B. 15 C. 50 D. 259． 若某等差数列中，前7项和为48，前14项和为72，则前21项和为 （ B ） A. 96 B. 72 C . 60 D. 48 10．已知等差数列}{n a 的通项公式为,12+=n a n 其前n 项和为S n ，则数列}{nS n的前10项的和为（ C ）A. 120B. 70C. 75D. 100二、填空题：11. 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于1, 那么前8项之和等于 17 .12. 已知数列的通项公式372-=n a n ,则n S 取最小值时n = 18 , 此时n S = 324 .15．数列{ a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于__ 2n-3 _.16. 数列{a n }为等差数列，S 100=145，d =21，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为__60_ .三、解答题15．（14分）在等比数列}{n a 中，S n 为其前n 项的和。
人教A数学必修5_高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列
高中同步测试卷(五)单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.582．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( )A ．49B ．42C ．35D ．285．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2017为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 009＋a 2 016＝( )A ．10B ．15C ．20D ．406．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份面包的个数为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．658．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3) D ．(2，3) 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.10110012．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝－a n ＋a m ＋m ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝( ) A ．2 017 B.12 017 C ．－2 017 D ．－12 017二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________． 15．已知等差数列的前三项依次是m ，6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________． 16．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N *)．(1)判断数列{c n }是否为等差数列，并说明理由；(2)如果a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，试求数列{a n }的公差d 及通项公式．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝8a 2n－n ＋1，求数列{b n }的通项公式．20．(本小题满分12分)设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1，0.(1)当a 为何值时，a 4＝0?(2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．参考答案与解析1．【解析】选B.因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，所以a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12. 2．【解析】选C.因为a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．【解析】选B.由已知得a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2，即2a 1＋10d ＝a 21＋4a 1d ＋4d 2.又a 1＝2，所以4d 2－2d ＝0，所以2d (2d －1)＝0，所以d ＝0或d ＝12.又因为{a n }中各项都不相等，所以d ＝12.4．【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列， 所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7×a 4＝7×6＝42.5． 【解析】选B.由题意知a 1＋a 2 017＝a 2＋a 2 016＝2a 1 009＝10，解得a 1 009＝5，所以a 2＋a 1 009＋a 2 016＝3a 1 009＝15，故选B.6．【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．【解析】选C.因为a n ＝2n －1，b 1＝2，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b 2＝2b 1－1＝3，b 3＝2b 2－1＝5，b 4＝2b 3－1＝9，b 5＝2b 4－1＝17，b 6＝2b 5－1＝33.8．【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，所以a 1＝39，所以S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，所以当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C.9．【解析】选D.因为数列{a n }是递增数列， 又a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.10．【解析】选D.由a n ＋1＞a n ， 得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2， 所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3， 只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .11． 【解析】选A.由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 12．【解析】选A.令m ＝1，得a n ＋1＝－a n ＋a 1＋1，即a n ＋1＝－a n ＋1＋1，于是a n ＋1＝2－a n ，因此a 2＝2－a 1＝1，a 3＝2－a 2＝1，a 4＝2－a 3＝1，…，即a n ＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2 017，故选A. 13．【解析】因为数列从第三项开始每一项都等于它前面两项的和． 所以x ＝5＋8＝13. 【答案】1314． 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，每3项一循环，故a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3. 【答案】－ 315．【解析】由已知得12m ＝2m ＋10，所以m ＝1， 故a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11， 所以d ＝5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋5(n －1)＝5n －4， 所以a 10＝5×10－4＝46. 【答案】4616．【解析】log 2(2 a 1·2 a 2·…·2 a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（a 5＋a 6）2＝10×42＝20.【答案】2017． 【解】(1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1， 解得n ＝50，故199是这个数列的第50项．18．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，则c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1) ＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，所以数列{c n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117， 两式相减得13d ＝－13，所以d ＝－1， 因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，所以13a 13＝130， 所以a 13＝10＝a 1＋12d ＝a 1－12， 所以a 1＝22，所以a n ＝22＋(n －1)×(－1)＝23－n .19．【解】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝12＋n －12＝n2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(3)因为a n ＝2n，所以S n ＝8a 2n －n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋1＝2n 2－n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2×12－1＋1＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n 2－n ＋1－[2(n －1)2－(n －1)＋1]＝4n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝14n －3，n ≥2.20．【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S13＝13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列， 因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0， 可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝n (12－2d )＋n （n －1）2d＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－ d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2，因为d ＜0， 所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大． 因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132， 所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 21．【解】(1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝a 2＋a 1＝3， a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.22．【解】(1)法一：因为a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1，a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1.故当a ＝－23时，a 4＝0.法二：因为a 4＝0，所以1＋1a 3＝0，得a 3＝－1.因为a 3＝1＋1a 2，所以a 2＝－12.因为a 2＝1＋1a ，所以a ＝－23.故当a ＝－23时，a 4＝0.(2)证明：因为b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1， 所以b n ＝1b n ＋1＋1.a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n . 因为a 1＝a ＝b n ，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n ＝b n －1，所以a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…，所以a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1.所以a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．。
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高中数学学习材料唐玲出品高一数学《数列》单元测试卷班级：_____________ 姓名:一、选择题（每小题5分,共60分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n n n a nn B ．12)3()1(++-=n n n a n nC ．121)1()1(2--+-=n n a n n D ．12)2()1(++-=n n n a n n2、已知数列｛n a ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则4a 等于( ).A 、 1B 、2C 、 3D 、 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 、 4-B 、 4±C 、2-D 、2±4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 、 4- B 、6- C 、 8- D 、 10-5、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A 、5 B 、6 C 、 5 或6 D 、 6或76、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知59355,9a Sa S ==则（ ）． A ．1B ．1-C ．2D ．127、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5524-+=n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ） （A ）5160 （B ）6051（C ）2019 （D ）878、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-n mA 、1B 、43 C 、21 D 、83 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．1210、若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n-B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -11、数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n ＝3＋2a n （n ∈N *），则这个数列是 A ．等比数列 B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差12、等比数列{}n a 中,0n a >,a 5a 6=9,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+二、填空题（每小题5分,共20分）13、在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则n ＝_______．14、在等差数列{a n }中，已知1231215,78,155,n n n n a a a a a a S --++=++==则___________________.n =15、已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，1a =1，则n a = 16、已知2(),1x f x x =+则111()()()(1)(2)(2008)____________.200820072f f f f f f +++++++=三、解答题（共70分）17、（本小题满分10分）等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.18、（本小题满分12分）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。
人教A版高中数学必修五高二《数列》单元检测题.doc
高二数学《数列》单元检测题班级:_________ 姓名:__________ 座号:_______ 成绩:_________一、选择题：1．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 （ ）A ．7B ．15 C.30 D ．312．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为（ ）A ．32B ．64C ．256D ．±643. 若{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7=45，a 2＋a 5＋a 8=39，则a 3＋a 6＋a 9的值是 （ ）A ．39B ．20C ．19.5D ．334．非常数数列}{n a 是等差数列，且}{n a 的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为 （ ）A ．51B ．5C ．2D ．21 5．在等比数列}{n a 中, n a >0，且2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么3a +5a =（ ）A 5B 10C 15D 206．S n 为等差数列{a n }的前n 项之和，若a 3=10，a 10=－4，则S 10－S 3等于 （ ）A ．14B ．6C ．12D ．217．正项等比数列｛a n ｝满足：a 2·a 4=1，S 3=13，b n =log 3a n ，则数列｛b n ｝的前10项的和是（ ）A ．65B ．－65C ．25D ．－258．在等差数列}{n a 中，3a 、8a 是方程0532=--x x 的两个根，则10S 是 （ ）A. 30B. 15C. 50D. 259． 若某等差数列中，前7项和为48，前14项和为72，则前21项和为 （ ）A. 96B. 72 C . 60 D. 4810．已知等差数列}{n a 的通项公式为,12+=n a n 其前n 项和为S n ，则数列}{nS n 的前10项的和为 （ ） A. 120 B. 70 C. 75 D. 100二、填空题：11.等比数列的公比为2, 且前4项之和等于1, 那么前8项之和等于 ___.12.已知数列的通项公式372-=n a n ,则n S 取最小值时n = __ , 此时n S = __ .13.数列{ a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于 ____ .14.数列{a n }为等差数列，S 100=145，d =21，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为___ . 15.已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
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高一数学《数列》单元测试卷
班级：_____________ 姓名:
一、选择题（每小题5分,共60分）
1、数列⋯--,9
24
,715,58,1的一个通项公式是
A ．12)1(3++-=n n n a n
n B ．1
2)
3()1(++-=n n n a n n
C ．121)1()1(2
--+-=n n a n n D ．1
2)2()1(++-=n n n a n n
2、已知数列｛n a ｝的通项公式)(43*
2N n n n a n ∈--=,则4a 等于( ).
A 、 1
B 、2
C 、 3
D 、 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )
A 、 4-
B 、 4±
C 、2-
D 、2±
4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 、 4- B 、6- C 、 8- D 、 10-
5、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A 、5 B 、6 C 、 5 或6 D 、 6或7
6、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知
5935
5,9a S
a S ==则（ ）． A ．1
B ．1-
C ．2
D ．
1
2
7、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5524-+=n n B A n n ，则1313
a b 的值为（ ） （A ）
5160 （B ）60
51
（C ）2019 （D ）87
8、已知方程0)2)(2(2
2=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为
4
1
的等差数列，则=-n m
A 、1
B 、
43 C 、21 D 、8
3 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
10、若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222
123n a a a a ++++=L
A.2(21)
n
-
B.21(21)3n -
C.41n -
D.1(41)3
n
-
11、数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n ＝3＋2a n （n ∈N *
），则这个数列是 A ．等比数列 B ．等差数列
C ．除去第一项是等比
D ．除去最后一项为等差
12、等比数列{}n a 中,0n a >,a 5a 6=9,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+
二、填空题（每小题5分,共20分）
13、在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则
n ＝_______． 14、在等差数列{a n }中，已知1231215,78,155,n n n n a a a a a a S --++=++==
则___________________.n =
15、已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，1a =1，则n a = 16、已知2(),1
x f x x =+
则111()()()(1)(2)(2008)____________.200820072
f f f f f f +++++++=L L
三、解答题（共70分）
17、（本小题满分10分）等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.
18、（本小题满分12分）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。
19、（本小题满分12分） 数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++L ，求n S 。
20、（本小题满分12分）已知数列{n a }中，1a =2，123n n a a +=+． （1）求n a ； （2）令n n b n a =g ，求数列{n b }的前n 项和n S ．
21、（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和2
n S n n =+
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1
1
n n n b a a +=
，求数列{n b }的前n 项和n T .
22、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,42n n a S a +==+。
（1）设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2) 求数列{}n a 的通项公式。
《数列》单元考试卷参考答案
一. 填空题: 13. 7 14. 10. 15. 12
n a =+
16. 4015 17、d=
3
2
，n=50 18、解：由已知，得
5111
3162,(13)
242,13
n a a -⎧⋅=⎪
⎨-=⎪
-⎩①②
由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得
()21324213
n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5．
19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,
1
101099185,2
a d a d +=⎧⎪
⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n
n b
n n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴Λ*)(,62231N n n n ∈-+⋅=+
20．解:（1）1
1(1)2(1)(2)21(2)
n n
n S n n a S S n n n -==⎧⎧==⎨⎨
-≥-≥⎩⎩Q
前三项：2，3，5不成等差数列，所以数列{}n a 不是等差数列. （2）由（1）知当2n ≥时，1 2.n n a a +-=
111
111(),2n n n n a a a a ++∴
=-
1223123341
2111111111111[()()()]6211111111111()(),62623213423
3 1.
n n n n n n n b a a a a a a a a a a a a a a n n b +++=+++=+-+-++-=
+-=+-=-<++∴<L L
21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.
（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n n n a a b c -=+ 1
32-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31
n n c n n
22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=
22、解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，
因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于
21a a c -=， 322a a c -=，
L L
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
L ． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，
，．。