17第十七讲 极值的第三充分条件
第17讲 可积的充要条件
b
证 (必要性) 设 f 在 [a,b] 上可积,且J
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 || T ||< δ 时, 有
= ∫a
f (x)dx.
∑n
f (ξi )Δxi − J
i =1
<ε ,
2
即
∑ J
−ε
2
<
n i =1
f (ξi )Δxi
<J
+ε .
2
由性质1,得
J
−
ε 2
≤
s(T
)
≤
S (T
)
上的分割 T ,
使
ω
ϕ k′
≥
δ
的所有小区间
Δ
k′
的总长
∑ ∆ tk′ < ε , 而在其余∆ k′′上的ωkϕ′′ < δ .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
设 = F (t) f (ϕ(t)) , t ∈[α , β ].
可积的充要条件
由以上可知：T 中小区间∆ k′′上，ωkF′′ < η, 至多在所 有∆ k′上ωkF′ ≥ η, 而这些小区间总长至多 为
∑ 使 S(T ) − s(T ) < ε , 即 ωiΔxi < ε . i =1
几何意义 由上和与下和的几何意 义知道，上述充
要条件的几何意义为： y 图中包围曲线 y = f ( x)的 一系列小矩形面积之和
∑ωi Δ xi < ε
T
y = f (x)
可以达到任意小,只要对
Oa
bx
[a, b] 的分割 T足够地细.
16-8.多元函数有极值的充分条件PPT
函数有极值的充分条件定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数， 一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ， 令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00， 则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值； （3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例题 求由方程y x z y x 22222+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值 将方程两边分别对y x ,求偏导⎩⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,解,21|,0|,21|zz C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,当21-=z 时，041>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，041<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.第一步 解方程组,0),(=y x f x 0),(=y x f y 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C .第三步 定出2B AC -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤三、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）求函数的极值的步骤。
17第十七章 现场简易振动诊断的实施步骤-推荐下载
第十七章现场简易振动诊断的实施步骤1 实施现场简易振动诊断的6个步骤现场诊断实践表明，对机器设备实施振动诊断，必须遵循正确的诊断程序，才能使诊断工作有条不紊地进行，并取得良好的效果。
反之，如果方法步骤不合理，或因考虑不周而造成某些环节上的缺漏，则将影响诊断工作的顺利进行，甚至中途遇挫，无果而终。
我们在这一章，专门讨论实施现场简易振动诊断方法步骤的有关问题。
通观振动诊断的全过程，诊断步骤可概括为3个环节，即：准备工作、诊断实施、决策与验证。
下面，我们围绕这3个方面的内容，归纳为6个步骤介绍。
1.1 了解诊断对象诊断的对象就是机器设备。
在实施设备诊断之前，必须对它的各个方面有充分的认识了解，就像医生治病必须熟悉人体的构造一样。
经验表明，诊断人员如果对设备没有足够充分的了解，甚至茫然无知，那么，即使是信号分析专家也是无能为力的。
所以了解诊断对象是开展现场诊断的第一步。
了解设备的主要手段是开展设备调查。
表3-1所列内容，可供调查时参考。
概括起来，对一台列为诊断对象的设备要着重掌握5个方面的内容：1、设备的结构组成对设备的结构主要掌握两点：1) 搞清楚设备的基本组成部分及其联接关系。
一台完整的设备一般由三大部分组成，即：原动机（大多数采用电动机，也有用内燃机、汽轮机、水轮机的，一般称辅机）、工作机（也称主机）和传动系统。
要分别查明它们的型号、规格、性能参数及联接的形式，画出结构简图，如图3-1所示。
2) 必须查明各主要零部件（特别是运动零件）的型号、规格、结构参数及数量等，并在结构图上标明，或另予说明。
这些零件包括：轴承型式、滚动轴承型号、齿轮的齿数、叶轮的叶片数、带轮直径、联轴器型式等。
2、机器的工作原理和运行特性这主要了解以下内容：1) 各主要零部件的运动方式：旋转运动还是往复运动；2) 机器的运动特性：平稳运动还是冲击性运动；3) 转子运行速度：低速（＜600r/min)，中速（600 ~ 60000r/min ) 还是高速（＞60000r/min)；匀速还是变速；4) 机器平时正常运行时及振动测量时的工况参数值，如：排出压力、流量、转速、温度、电流、电压等。
函数极值充分条件
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因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
y
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 于是得极值的必要条件： 可微函数的极值点一定是导数为零. 下面给出极值的充分条件.
O
x
定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
定理 6.10 的几何说明
y
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
x
o
y
x
o
y
x0
x0 是极值点情形
x0
o
x0
x
o
x
x0 不是极值点情形
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根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可 以知道定理的几何意义十分明显. 出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似. 在这里仅给
证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
高考数学冲刺复习极值定理考点深度剖析
高考数学冲刺复习极值定理考点深度剖析在高考数学的复习中，极值定理是一个非常重要的考点，它不仅在函数、导数等章节中频繁出现，而且对于解决实际问题也具有重要意义。
在冲刺复习阶段，对极值定理进行深度剖析，有助于我们更好地理解和掌握这一知识点，从而在考试中取得优异成绩。
一、极值定理的基本概念极值定理是指在给定的区间内，函数取得最大值或最小值的情况。
具体来说，如果函数在某一点处的导数为零，且在该点左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；反之，如果在某一点处的导数为零，且在该点左侧导数为负，右侧导数为正，那么该点就是函数的极小值点。
需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点，例如函数＼（f(x)＝ x^3\）在＼（x ＝ 0\）处导数为零，但不是极值点。
此外，极值点也可能出现在区间的端点处。
二、极值定理的应用1、求函数的极值要求函数的极值，首先需要求出函数的导数，令导数等于零，解出可能的极值点。
然后通过判断导数在极值点两侧的符号，确定是极大值还是极小值。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^2 4x ＋ 3\），其导数为＼（f'（x)＝ 2x 4\）。
令＼（f'（x) ＝ 0\），解得＼（x ＝ 2\）。
当＼（x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\）；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），因此＼（x ＝ 2\）是函数的极小值点，极小值为＼（f(2) ＝－1\）。
2、求函数在区间上的最值求函数在区间上的最值，需要先求出函数在区间内的极值，然后再比较极值与区间端点处函数值的大小。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）在区间＼（0, 3\）上的最值。
首先求出导数＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\），令＼（f'（x) ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）和＼（x ＝ 2\）。
然后分别计算＼（f(0) ＝ 1\），＼（f(2) ＝－3\），＼（f(3) ＝ 1\），比较可得函数在区间＼（0, 3\）上的最大值为＼（1\），最小值为＼（－3\）。
党的十七届三中全会精神
党的十七届三中全会精神中国共产党第十七届中央委员会第三次全体会议，于2008年10月9日至12日在北京举行。
出席这次全会的有，中央委员202人，候补中央委员166人。
中央纪律检查委员会常务委员会委员和有关方面负责同志列席了会议。
党的十七大代表中从事农业农村工作的部分基层同志和研究农业、农村、农民问题的部分专家学者也列席了会议。
全会由中央政治局主持。
中央委员会总书记胡锦涛作了重要讲话。
全会听取和讨论了胡锦涛受中央政治局委托作的工作报告，审议通过了《中共中央关于推进农村改革发展若干重大问题的决定》。
回良玉就《决定(讨论稿)》向全会作了说明。
全会充分肯定党的十七届一中全会以来中央政治局的工作。
一致认为，中央政治局全面贯彻党的十七大和十七届一中、二中全会精神，高举中国特色社会主义伟大旗帜，以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，深入贯彻落实科学发展观，继续解放思想，坚持改革开放，推动科学发展，促进社会和谐，团结带领全党全国各族人民紧紧抓住发展机遇，积极应对来自国际国内形势复杂变化和自然界的严峻挑战，奋勇夺取抗击南方部分地区严重低温雨雪冰冻灾害和四川汶川特大地震抗震救灾斗争重大胜利，成功举办北京奥运会、残奥会，圆满完成神舟七号载人航天飞行任务，全面推进社会主义经济建设、政治建设、文化建设、社会建设和党的建设，各项工作取得新进展，社会安定团结大局得到巩固和发展。
全会全面分析了形势和任务特别是经济形势，强调我国总体形势是好的，经济保持较快增长，金融业稳健运行，我国经济发展的基本态势没有改变。
当前，国际金融市场动荡加剧，全球经济增长明显放缓，国际经济环境中不确定不稳定因素明显增多，国内经济运行中也存在一些突出矛盾和问题，我们必须增强忧患意识、积极应对挑战。
最重要的是要把我国自己的事情办好。
要更加自觉、更加坚定地抓好发展这个党执政兴国的第一要务，更加自觉、更加坚定地推动科学发展，坚定信心、冷静观察，多管齐下、有效应对，采取灵活审慎的宏观经济政策，着力扩大国内需求特别是消费需求，保持经济稳定、金融稳定、资本市场稳定，保持社会大局稳定，做好保障和改善民生工作，继续推动经济社会又好又快发展。
17第十七讲 内能及利用
空气 吸入_______
压燃式 _________ 高 _______ 载重汽车、大型拖拉机
往复 冲程：活塞在________ 运动中从汽缸的一端运动到另一 相同点 2 次，曲轴和飞轮 端。一个工作循环活塞往复运动______
2 4 个冲程，做功______ 1 转动_______ 周，经历______ 次
大的特性 D．物体的内能越大，温度越高
重难点· 需提高
解题技巧：热机的效率是指用来做有用功的能量与燃料完全燃烧 放出的能量之比，减少热的损失，可以提高效率；物体内能与温 度和质量有关，温度越高，质量越大，内能越大；用水循环来降 低热机的温度，主要是利用水比热容较大的特性。
重难点· 需提高
【例6】下列有关热机效率、燃料热值、物体内能、比热容的说 法中，正确的是( C ) A．热机所用燃料的热值越大，效率越高 B．热机所用燃料的化学能转化成的内能越多，效率越高
重难点· 需提高
【例5】甲汽油机的热机效率比乙汽油机的热机效率高，这表明 ( D) A．甲做功比乙多 B．甲做功比乙快
C．甲消耗的汽油比乙少
D．以相同的速度行驶相同的路程，乙消耗的汽油多 解题技巧：主要考查对热机效率的理解，热机的效率是热机用来
做有用功的能量与燃料完全燃烧放出的能量之比。做同样多的功，
基础知识· 细解读
二、燃料的热值(5年1考，2016年考查) 1．热值 完全燃烧 放出的热量与其质量之比，叫做这 (1)定义：某种燃料_________ 种燃料的热值。 J/kg 。 (2)单位：_______ (3)热值的理解 热值反映的是某种物质的一种燃烧特性，同时反映出不同燃料燃 烧过程中，化学能转变成内能的本领大小，也就是说，它是燃料 燃料的种类 有关，与燃料的形态、质量、 特性 ，只与___________ 本身的_______
二元函数极值的充分条件
二元函数极值的充分条件一、引言在数学中，极值是一个非常重要的概念，它可以帮助我们求解许多实际问题。
在二元函数中，极值也是一个非常重要的概念。
本文将介绍二元函数极值的充分条件。
二、二元函数二元函数是指具有两个自变量的函数，通常用f(x,y)表示。
其中x和y 可以是任意实数。
在平面直角坐标系中，可以将二元函数表示为一个三维曲面。
三、极值在一元函数中，极值分为最大值和最小值。
而在二元函数中，极值则包括最大值、最小值和鞍点（即既不是最大值也不是最小值的点）。
四、局部极值局部极值指的是在某一区域内取得的最大或最小的函数值。
如果一个点处取得了局部极大（或局部极小）的函数值，则这个点被称为局部极大（或局部极小）点。
五、全局极值全局极值指的是在整个定义域内取得的最大或最小的函数值。
如果一个点处取得了全局极大（或全局极小）的函数值，则这个点被称为全局极大（或全局极小）点。
六、二元函数极值的充分条件在一元函数中，我们可以通过求导数来判断极值点。
而在二元函数中，我们需要使用偏导数来判断极值点。
具体地说，如果一个点处的偏导数都为0，则这个点可能是极值点。
七、二元函数的偏导数在二元函数中，我们需要计算两个偏导数：f(x,y)对x的偏导数和f(x,y)对y的偏导数。
具体计算方法如下：1. 对x求偏导：将y视为常量，对x求一阶导数。
2. 对y求偏导：将x视为常量，对y求一阶导数。
八、判断极值点在得到二元函数的偏导数后，我们需要判断哪些点是极值点。
具体步骤如下：1. 求出所有可能的极值点（即使得两个偏导数都为0的点）。
2. 对于每一个可能的极值点，计算它们所在位置处的二阶偏导数矩阵（也称海森矩阵）。
3. 判断该矩阵是否正定或负定。
如果是正定，则该点为局部极小点；如果是负定，则该点为局部极大点；如果不是正定也不是负定，则该点为鞍点。
4. 对于所有的局部极小点和局部极大点，比较它们的函数值，得到全局极小点和全局极大点。
九、海森矩阵海森矩阵是一个二阶矩阵，它的元素为二元函数在某一点处的二阶偏导数。
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2a 5
是极大值点,
f
2a 5
=
2
−
3 5
2 5
3
a
5 3
是极大值 ; x 0= 是极小值点, f (0) 0 是极小值 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
y
1
x1
-1 O
1
x
-1
-2
(1) a > 0
最大值与最小值
y
1
-1 O
1x
f (4)(0) < 0 ,
n = 4是偶数，所以 f (0) = 0 是极大值.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
注 定理6.13也是判定极值的充分条件. 例如 x = 0 是
f
(x)
=
e−1
,x2
x≠0
0, x = 0
的极小值点, 但是因为 f (k)(0) = 0, k = 1, 2, ,
极值判别
最大值与最小值
由于
f ′′′( x) = 6x(35x3 − 60x2 + 30x − 4),
= f ′′′(0) 0 , f ′′′(1) > 1 ,
因此 x = 1 不是极值点 ( n = 3 是奇数 ). 又因
f (4)( x) = 24(35 x3 − 45 x2 + 15 x − 1) ,
最大值与最小值
证 由泰勒公式, 有
f (x)=
f ( x0 ) +
f
(n)( x0 ) n!
(x
−
x0 )(n)
+
o(( x
−
x0 )n )
=f ( x0 ) + µn( x) ( x − x0 )n .
其中= µn( x)
f
(n)( x0 ) n!
+
o (1) ,
它在某邻域
U ( x0;δ
)
内恒与 f (n)( x0 ) 同号.
极值判别
最大值与最小值
对于 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) = 0 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别.
定理6.13（极值的第三充分条件）
设 f 在点 x0 的某邻域内存在直到 (n − 1) 阶的导数,
且 f (n)( x0 )存在.
若f ′( x ) = f ′′( x ) = = f ( x (n−1) ) = 0,
-1
(2) a < 0
5
= (3) a 0= , f ( x) x 3 . 请读者自行讨论.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
例3
求 f ( x=)
x2
+
432 x
的极值点与极值
.
解 f ( x) 的定义域为 x ≠ 0,
f ′( x=)
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
又当 f (n)( x0 ) < 0 时 , 有
µn( x)( x − x0 )n < 0 , x ∈U ( x0;δ ),
故 f ( x) ≤ f ( x0 ) , x ∈U ( x0;δ ), 即 x0 是极大值点 .
(ii) 当 n 为奇数时, 有
极值判别
最大值与最小值
为了更好地加以判别，我们列表如下：
(1) a > 0
x (−∞, 0)
0
(0,
2a 5
)
y′ + 不存在 −
y增
0
减
2a 5
(
2a 5
,
+
∞)
0
+
−
3 5
2 5
2 3
a
5 3
增
即 x 0= 是极大值点，f (0) 0 是极大值 ;
x=
2a 5
是极小值点
,
f
2a 5
=
−
3 5
2 5
2 3
a
5 3
是极小值.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
(2) a < 0
极值判别
最大值与最小值
x (−∞, 2a )
5
2a 5
y′ +
0
( 2a , 0) 0 5
− 不存在
2
y
增
−
3 5
2 5
3
a
5 3
减
0
(0, + ∞)
+
增
即
x
=
极值判别
最大值与最小值
例 4 求函数 f= ( x) x4( x − 1)3 的极值.
解 由 f ′( x=) x3( x − 1)2(7 x − 4)= 0 , 求得 x1 = 0 ,
= x2
1= , x3
4 7
是稳定点.
又因
f ′′( x) = 6x2( x − 1)(7 x2 − 8x + 2),
(x
−
x0 )n
< >
0, 0,
x ∈ ( x0 − δ , x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) .
从而 µn( x)( x − x0 )n 在 x0 左右两侧异号 , 这就说明
了 x0 不是极值点.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
0
0
0
f (n)( x0 ) ≠ 0 , 则
(i)
n 为偶数时,
x0
是
极小值点,
极大值点,
当 当
f (n)( x0 ) > 0 , f (n)( x0 ) < 0;
(ii) n 为奇数时, x0不是极值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
f ′′(0) =
f ′′(1) = 0 ,
f
′′
4 7
>
0
,
所以由第二充分条件,
求得极小值为
f
4 7
=
− 6912 . 823543
而对于稳定点 x1 与 x2 却无法知道结果, 我们尝试
用第三充分条件来进行判别.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
注 极值的判别法( 定理6.11和6.12 ) 都是充分条件. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理定理6.11和6.12的 条件.
数学科分析学出第六版章社微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
当 x ≠ 0 时,
f ′= ( x)
5 3
2
x3
−
2a 3
x−
1 3
=
3
1 3x
(5x
−
2a).
当 a ≠ 0 时, 稳定点为 x=
2a 5
,
不可导点为 x=
0;
当 a = 0 时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
(i) 当 n 为偶数, 而 f (n)( x0 ) > 0 时 , 有
µn( x)( x − x0 )n > 0 , x ∈U ( x0;δ ), 故 f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈U ( x0;δ ), 即 x0 是极小值点 ;
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
第十七讲 函数极值的例， 第三充分条件
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
2
例2 求函数 f ( x=) ( x − a)x 3 的极值点与极值 .
5
2
解 f ( x=) x 3 − ax 3 在 (−∞, +∞) 上连续 .
所以无法用定理 6.13 来判别.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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2
x
−
432 x2
.
令 = f ′( x) 0= , 得x 6 . 又因为
f
′′(6)
= 2 + 8x634
x=6
= 6 > 0,
由定理6.12, x = 6是极小值点, f (6)=108是极小值.
试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§4 函数的极值与最大（小）值