极值的判断条件
高考数学中的条件极值问题详解
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
二元函数取极值的条件
二元函数取极值的条件
判断二元函数极值方法如下：
设：二元函数f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),
即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；
记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²
B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y
C=∂²f(x0,y0)/∂y²
∆=AC-B²
如果：∆>0
A0,f(x0,y0) 为极小值；
如果：∆0
f(0,0)=0 为最小值。
求解函数极值方法：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。
此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。
扩展资料
判断函数极值定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果极值点不是边界点，就一定是内点。
因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
微积分第三章第3.6节 二元函数的极值与条件极值
解 为求驻点，解联立方程组
f x'( x, y) 3x2 3 y 0
f
' y
(
x,
y)
3
y2
3
x
0
得到两个驻点：（0，0），（1，1）。
由于
f
'' xx
(0,0)
0,
f xy''(0,0)
3,
f
'' yy
(0,0)
0
故[ f xy''(0,0)]2
f
'' xx
有 f ( x,0) x2 ，即函数取负值，而对原点附近任何的 y，
f (0, y) y2 ，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。
如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中 选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给 出：
定理 3.6.2 设函数 z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点 ( x0 , y0 ) 附
3
3 33
在该点处 S 3 3 R2 。 4
在闭区域 D 的边界上，即在直线 x=0，y=0 及 x y 2 上，S 恒等
于零，因此 S 在 ( 2 , 2 ) 处达到最大值，换言之，当 x y z 2 时，
33
3
即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。
Hale Waihona Puke 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不
受限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。
函数的极值
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
三、极值的第一充分条件
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
Байду номын сангаас极大
极小
三、极值的第一充分条件
f ( x) 在 x0 处连续，在 x0 的 定理2（第一充分条件）设函数 某去心邻域 U ( x0 , )内可导 f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 1）当 x ( x0 , x0 ) 时， 则 f ( x) 在 x0处取得极大值； f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 2）当 x ( x0 , x0 ) 时， 则 f ( x) 在 x0处取得极小值； 则 f ( x) 在 x0 处没有极值。 f ( x )不改变符号， 3）当 x U ( x0 , )时，
函数的极值
一、极值定义
极值：邻域内取到的最大值（最小值），局部最值。 极值只能在定义域的内部取得，不能在端点取到。 区间内部的最值点是极值点。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
二、极值的必要条件
定理1（必要条件）可导的极值点，导数为零。 注：1）导数为0的点可能是极值点； 2）极值点不一定导数为0
3）导数为0的点和不可导点可能是极值点（可疑点） 如果yx0 为可疑点，如何判断它是否为极值点？
六、小结
极值点实际是单调区间的分界点。
极大
极小
七、课后练习
极值点：单调区间的分界点
四、计算函数极值的步骤
二元函数极值点的判别条件
二元函数极值点的判别条件
定义设二元函数z=f(x,y)的定义域为D,点M0(x0,y0)(M∈D)的某一邻域在D内有定义,对于该邻域内异于M0的任何点(x,y),如果f(x,y)> f(xo,yo),则称点Mo(x,yo)是函数z=f(x,y)的一个极小值点,称f(x0,yo)为函数z=f(x,y)的一个极小值.如果f(x,y)< f(xo, yo),则称点Mo(xo,yo)是函数z=f(x,y)的一个极大值点,称f(xo,yo)为函数z=f(x,y)的一个极大值。
极小值点和极大值点统称极值点;极小值和极大值统称极值。
显然,如果二元函数z=f(x,y)在点(xo，yo)取得极值,则一元函数z=f(x,yo)在点x取得极值,一元函数z=f(xo,y)在点yo取得极值,此得到极值点的必要条件。
定理1(必要条件)设二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值,且fx(xo,yo)，fy(o,yo)存在,则fx(xo,yo)=0,fy(xo,yo)=0。
称两个偏导数都为0的点为二元函数z=f(x,y)的驻点,驻点不一定就是极值点(充分条件)设二元函数z=f(x,y)在点Mo(xo,yo)的某一邻域内连续,且有连续的一二阶偏导数,又Mo(xo,yo)是驻点,令则
(1)当△<0时,点Mo(x,yo)是极值点.且当A<0时,点Mo(xo,yo)是极大值点;当A>0时，Mo(x,y)是极小值点;
(2)当△>0时,点Mo(x0,y)不是极值点;
(3)当△=0时,Mo(x,yo)可能是极值点,也可能不是极值点,需另作讨论。
条件极值
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
二元函数求极限的极值与拐点判断
二元函数求极限的极值与拐点判断在数学中，二元函数是指由两个变量组成的函数，即f(x,y)。
求二元函数的极限、极值和拐点是解析几何中的重要问题之一。
本文将讨论二元函数求极限的极值与拐点判断的方法。
一、二元函数的极限对于二元函数f(x,y)，当点P(x0,y0)沿着不同的路径趋向于(x0,y0)时，如果存在一个确定的实数L，使得对于任意给定的正数ε>0，总存在正数δ>0，使得当0<√[(x-x0)²+(y-y0)²]<δ时，有|f(x,y)-L|<ε，那么L就是f(x,y)在点P(x0,y0)的极限。
二、二元函数的极值判断1. 求极值的必要条件：首先，求二元函数的极值需要满足以下必要条件，即函数在极值点处存在一阶偏导数，并且这些偏导数等于零。
2. 求极值的充分条件：其次，可以通过求解二元函数的二阶偏导数来判断极值的类型。
- 若二阶偏导数的判别式Δ=fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx>0，则函数在该点处取极小值；- 若Δ>0，并且fxx<0，则函数在该点处取极大值；- 若Δ<0，则函数在该点处没有极值；- 若Δ=0，情况可能比较复杂，需要进一步分析。
三、二元函数的拐点判断拐点是指函数曲线从凸向上转为凹向上，或从凹向上转为凸向上的点。
求二元函数的拐点需要满足以下条件：1. 求拐点的必要条件：函数处于拐点，意味着函数的二阶导数存在。
因此，首先需要求解二元函数的二阶偏导数。
2. 求拐点的充分条件：通过求解二元函数的二阶偏导数可以判断函数的凸凹性。
- 若fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx>0，则函数在该点处为凸向上；- 若fxx·fyy-(fxy)²>0，并且fxx<0，则函数在该点处为凹向上；- 若fxx·fyy-(fxy)²<0，则函数在该点处存在拐点。
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极值的判断条件
极值是指函数在某一点上取得最大值或最小值的点。
在二元函数中，判断极值的条件主要有两种：
1.首先需要判断该点是否在函数的定义域内，如果不在，那么它
不可能是极值点。
2.其次判断该点是极大值还是极小值，需要通过函数在该点的一
阶导数和二阶导数来判断，主要有如下条件：
•如果该点处的一阶导数为0，并且二阶导数大于0，那么这个点是函数的极小值点。
•如果该点处的一阶导数为0，并且二阶导数小于0，那么这个点是函数的极大值点。
•如果该点处的一阶导数为0，并且二阶导数等于0，那么这个点可能是局部极值也可能不是，需要进一步分析。
注意，在这些条件中，一阶导数的符号也是很重要的。
对于函数的极值点的判断条件可能有其他的表述方式，这取决于具体的数学理论，请注意区分。